第1章 四边形（知识清单）数学新教材湘教版八年级下册

第一章 四边形 知识点1 多边形 1. 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形，这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点． 2. 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等．下图中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF．三角形ABC可以记作“△ABC”． 图1 3. 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角． 4. 多边形的外角与相邻的内角互为补角．如下图，∠A，∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD＋∠DCE＝180°． 5. 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线．如下图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线． 6. 和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形． 7. 边形内角和等于．正多边形的每个内角的度数为(n≥3)． 8. 在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 知识点2 中心对称和中心对称图形 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 2. 中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形是全等图形； （2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 3 .中心对称作图：作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤： （1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O． （2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝OA；重复上述操作，作出点B的对称点B'，点C的对称点C'． （3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示． 4. 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点就是它的对称中心． 5. 中心对称图形的性质 （1）对称点的连线被对称中心平分； （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分． 6. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形． 知识点3 三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． 3.其他性质：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形． （3）三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行． 数量关系：可以证明线段的倍分关系． （4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半． 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分． 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等． 知识点4 平行四边形的定义及表示 1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2. 平行四边形的表示：如图所示，平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． 3. 平行四边形的基本元素（边、角、对角线） 图示 基本元素 主要内容 边 邻边 AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对 对边 AB和DC，AD和BC，共有两对 角 邻角 和，和，和，和，共有四对 对角 和，和，共有两对 对角线 AC和BD，共有两条 知识点5 平行四边形的性质 1. 性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分． 2. 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．平行四边形的性质可从边、角、对角线、对称性等几个方面来探究，归纳如下表： 图示 性质 数学语言 边 对边平行且相等 AB∥DC，AD∥BC，AB＝DC，AD＝BC 角 对角相等，邻角互补 ＝，＝，＋＝180°，＋＝180°等 对角线 对角线互相平分 AO＝CO，BO＝DO 对称性 中心对称图形，对角 线的交点为对称中心 知识点6 平行四边形的判定 1. 平行四边形的判定方法 图示 判定方法 符号语言 边 判定定理1：一组对平行且相等的四边形是平行四边形 AB∥CD且AB＝CD， 四边形ABCD是平行四边形 判定定理2：两组对分别相等的四边形是平行四边形 AB＝CD，AD＝BC， 四边形ABCD是平行四边形 判定方法：两组对边别平行的四边形是平行四边形 AB∥CD，AD∥BC， 四边形ABCD是平行四边形 对角线 判定定理3：对角线相平分的四边形是平行四边形 OA＝OC，OB＝OD， 四边形ABCD是平行四边形 2. 灵活选择平行四边形的判定方法 （1）若已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行； （2）若已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等； （3）若已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分； （4）若已知条件与角有关，可证明两组对角分别相等． 知识点7 菱形的定义 1. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是平行四边形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若AB=AD，则ABCD是菱形． 知识点8 菱形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 对称性 轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 知识点9 菱形面积的计算 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是平行四边形 菱形的面积= 两条对角线 乘积的一半 知识点10 菱形的判定 拓展：（1）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形． 知识点11 矩形的定义 1. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是平行四边形． 3. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，则ABCD是矩形． 知识点12 矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 对称性 轴对称图形，对角线的交点是它的对称轴，共有两条 中心对称图形，对称中心是两条对角线7的交点 知识点13 矩形的判定 知识点14 正方形的定义 1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，且，则ABCD是正方形． 知识点15 正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 对称性 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，有四条对称轴 中心对称图形，对称中心是对角线的交点 知识点16 正方形的判定 知识点17 中点四边形 1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH就是中点四边形． 2. 常见的中点四边形形状归纳 原四边形 中点四边形 任意四边形（包括平行四边形） 平行四边形 两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形) 菱形 两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形） 矩形 两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形） 正方形 知识点18 菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系 正方形既是菱形，又是矩形． 菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且都是平行四边形．常见关系使用举例： 一．多边形的对角线 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 【典例1】从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（    ） A．11条 B．12条 C．13条 D．14条 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形的特点，多边形的对角线的定义，从多边形一个顶点出发的对角线数等于总顶点数减3（排除自身和两个相邻顶点），由正n边形从一个顶点出发有条对角线，由此即可求解． 【详解】解：∵ ，从一个顶点出发的可连接顶点数为， ∴ 对角线数为， 故选：A． 【典例2】银川市金凤区某中学要举办数学文化节，需要制作一种多边形的宣传标牌．已知从这个多边形的一个顶点出发，最多可以引出12条对角线，则它的边数为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了多边形对角线的计算，根据多边形中，从一个顶点出发可以引出（是多边形的边数）条对角线的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意，设多边形的边数为， ， 解得，， ∴这个多边形的边数为15， 故答案为：15． 二．平行四边形性质与判定易错点 1.平行四边形的判定需满足一组条件即可，不可混淆性质与判定的逻辑方向（性质：由平行四边形推结论；判定：由结论推平行四边形）。 2.一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 3.表示平行四边形时，顶点字母顺序必须正确，不可打乱。 【典例1】如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 【典例2】如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，面积转化知识点，掌握平行四边形对角线互相平分和全等三角形面积相等的性质是解题的关键． 逐个分析三个结论：①通过列举全等三角形的对数判断是否为4对；②利用平行四边形对角线互相平分和三角形三边关系求出的范围；③通过全等三角形的面积相等，将四边形的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴对角线互相平分，即 ∵ ∴ 在和中， ∴ 同理可证 此外，还有 ，，， ∴图中共有6对全等三角形，结论①错误； ∵四边形是平行四边形 ∴ 在中，根据三角形三边关系： ∵ ∴，结论②正确 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，结论③正确 综上所述，正确的结论是②和③． 故选：C． 三．三角形的中位线 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 三角形的三条中位线将原三角形分成4 个全等的小三角形；三条中位线围成的三角形，周长是原三角形的，面积是原三角形的。 【典例1】如图，在中，点为边的中点，点为边的中点．若，，则的长为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键 由三角形中位线定理推出，，，即可求解． 【详解】解：∵点为边的中点，点为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3 ． 【典例2】如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用三角形的中位线，得到，，即可求解． 【详解】解：∵点、、分别是、、的中点，，， ∴，是的中位线，，， ∴，， ∴四边形的周长为． 四．矩形的性质与判定易错点 1.混淆 “矩形的对角线相等” 与 “平行四边形的对角线互相平分”，忽略矩形对角线相等的特殊性。 2.判定时误用 “对角线相等的四边形是矩形”，必须强调先满足平行四边形，再加上对角线相等才是矩形。 3.忽略直角三角形斜边中线定理的前提：必须是直角三角形，且中线在斜边上 【典例1】矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角互补 C．对边相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】本题考查矩形和平行四边形的性质：矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的性质外，还具有对角线相等、四个角均为直角等特有性质．根据矩形和平行四边形的性质，逐一分析选项． 【详解】解：选项A：对角相等 平行四边形的对角相等，矩形作为平行四边形的一种，同样满足此性质．因此A是两者共有的性质，排除． 选项B：对角互补 矩形对角互补，但平行四边形对角不一定互补，故B符合题意． 选项C：对边相等 平行四边形和矩形的对边均相等，因此C是两者共有的性质，排除． 选项D：对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分，矩形作为平行四边形，同样满足此性质．因此D是两者共有的性质，排除． 故选：B． 【典例2】如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是__________． 【答案】4 【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝2，即可得出答案． 【详解】解：∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB＝2， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴AC＝2AO＝4 故答案为：4． 四．菱形面积的应用 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 【典例1】若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为（    ） A．8 B．12 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求出另一条对角线的长度，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：如图所示，在菱形中，对角线交于点O，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【典例2】如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是证明是等边三角形． 连接，由垂直平分线得到，可得，然后根据的直角三角形的性质以及勾股定理求解，即可求解，然后证明是等边三角形，再求出，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交对角线于点F， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴ ∴， ∵菱形中，， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴菱形的面积 故选：D． 重难点01 多边形对角线的条数问题 1．过六边形的一个顶点可以引出几条对角线（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边形的一个顶点可以引出条对角线，即可求解． 【详解】解：过六边形的一个顶点可以引出对角线的数量为条． 2．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点出发作对角线，可将此边形分成个三角形． 【详解】解：从边形的一个顶点出发作对角线，则最多可将该边形分成个三角形， 由题意可得，则． 3．若从多边形的一个顶点出发可以画出8条对角线，则这个多边形是（   ） A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形对角线的公式． 从n边形的一个顶点出发的对角线条数为，据此求解即可． 【详解】解：∵ 从n边形的一个顶点出发可画出条对角线， ∴， ∴， ∴ 这个多边形是十一边形， 故选：B． 4．下列说法中错误的有（   ）个． ①如果，那么点C为线段的中点；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度的数学原理为：两点确定一条直线；③连接两点间的线段，叫做这两点间的距离；④点C在线段上，点M、N分别是线段的中点．若，则线段；⑤从多边形一个顶点出发可以作6条对角线，则这个多边形是九边形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了线段的中点的定义、两点之间线段最短、多边形对角线条数问题、线段的和差计算，根据线段中点的定义可判断①；根据两点之间，线段最短可判断②；根据两点间的距离的定义可判断③；根据线段的和差关系和线段中点的定义可判断④；从n边形的一个顶点出发可以作条对角线，据此可判断⑤． 【详解】解：①如果，那么当点C在线段上时，点C为线段的中点，原说法错误； ②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度的数学原理为：两点之间，线段最短，原说法错误； ③连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，原说法错误； ④点C在线段上，点M、N分别是线段的中点．若，则线段，原说法正确； ∵点M、N分别是线段的中点， ∴， ∴， ∴； ⑤从多边形一个顶点出发可以作6条对角线，则这个多边形是九边形，原说法正确． ∴说法错误的有①②③，共3个， 故选：B． 5．若一个多边形的内角和比它的外角和的倍大，则这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数是（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，多边形对角线的条数问题，解题关键是掌握多边形的内角和与外角和定理． 先求出多边形的边数，再求出这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 则， 解得：， 所以这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数是6， 故选：C． 6．一个八边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查多边形的对角线．n（)边形从一个顶点可以做条对角线． 将代入计算即得． 【详解】解：从八边形的一个顶点可引出的对角线的条数有条． 故选：D． 7．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【答案】27 【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 8．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【分析】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【详解】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 重难点02 多边形内角和与外角和综合应用 1．一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 【答案】B 【分析】根据任意四边形外角和为，以及外角的比例求出四个外角的度数，再计算对应内角，判断锐角个数即可． 【详解】解：设四个外角的度数分别为，，，， ∵任意多边形的外角和为， ∴， 解得， ∴四个外角分别为，，，， ∵内角与相邻外角和为， ∴四个内角分别为，，，， ∵锐角是小于的角，此处和为锐角， ∴这个四边形有2个锐角． 2．下列命题是真命题的是（    ） A．内错角相等 B．多边形的外角和小于内角和 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．相等的角是对顶角 【答案】C 【详解】解：A．只有两条平行直线被第三条直线所截，得到的内错角才相等，故选项A是假命题； B．任意多边形的外角和恒为，三角形内角和为，此时外角和大于内角和，故选项B是假命题． C．平行于同一条直线的两条直线互相平行是平行线的基本性质，故选项C是真命题． D．相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行产生的同位角相等，但不是对顶角，故选项D是假命题． 3．四边形的四个外角中最多有钝角（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和外角的关系，利用内角和定理是解题关键． 四边形的外角与内角互补，外角为钝角当且仅当内角为锐角，因此，问题转化为求四边形内角中最多有多少个锐角． 【详解】解：∵四边形的内角和为，且每个锐角小于， ∴若四个内角均为锐角，则内角和，矛盾， ∴最多有三个内角为锐角． ∵每个锐角内角对应一个钝角外角， ∴最多有三个钝角外角． 故选：B． 4．若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 【答案】5 【分析】根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用任意多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为． 由多边形内角与相邻外角和为，得： 解得： 则外角为． 任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等， 该多边形边数为． 5．五边形的外角和是________． 【答案】/360度 【分析】根据多边形外角和定理求解，任意多边形的外角和与边数无关，为固定值. 【详解】解：多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和均为，与边数无关， 五边形的外角和为． 6．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】/340度 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 7．如图，是五边形的4个外角，若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角和，先求出相邻的外角为，由多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：， 与相邻的外角为， ， 故答案为． 8．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 重难点03 平行四边形的性质及应用 1．下列图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，平行四边形的性质，轴对称图形是指沿一条直线对折后两边能完全重合的图形，据此判断各选项是否一定满足条件即可求解． 【详解】解：A.直角三角形不一定是轴对称图形（如含30°的直角三角形），故A不符合； B.平行四边形不一定是轴对称图形（如一般平行四边形），故B不符合； C.等腰梯形一定是轴对称图形（有一条对称轴），故C符合； D.梯形不一定是轴对称图形（如直角梯形），故D不符合． 故选：C． 2．下列命题是假命题的是（   ） A．同个三角形中，等边所对的角相等 B．若，则 C．平行四边形的对角线相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【分析】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 根据等腰三角形的性质，有理数的乘方运算及平行四边形的性质、角平分线的性质逐项分析． 【详解】解：A、同个三角形中，等边所对的角相等，正确，是真命题，不符合题意； B、若，则，故正确，是真命题，不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定相等，是假命题，符合题意； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意； 故选C． 3．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 4．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键． 根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可． 【详解】面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍， ，即， ，， 四边形为平行四边形， 设点A到的距离为h， ， ∴四边形的面积为： 故选：C． 5．如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是__秒． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形性质、全等三角形判定及等边三角形判定与性质，解题关键是分类讨论与的位置关系，利用全等三角形建立含t的方程。 当时，可证，从而，解得；当不平行时，证明，可得是等边三角形，四边形是平行四边形，即有，解得． 【详解】解：当时，如图： 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 由得：， ； 当不平行时，如图： ， 四边形是等腰梯形， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ，， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， 综上所述，为或． 6．如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本作图：在上截取，使，交于点，连接；作的平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：（请补全下面证明过程） 证明：四边形是在平行四边形 平分      又 ． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）按照要求作图即可； （2）四边形在是平行四边形，则，，由平分得到，又由，得到，则，得到，由，，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：∵四边形在是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，， 7．如图，在中，的角平分线交于点E，点F在线段上，，连接交于点P． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，进而可证，由角平分线的定义得，从而得出，可证，进一步可证结论成立； （2）作于点H，由等腰三角形的性质求出．证明是等边三角形，得出，由30度角的性质得出，利用勾股定理求出，然后根据三线合一即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵的角平分线交于点E， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，作于点H， ∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 重难点04 中心对称和中心对称图形的应用 1．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 2．如图，已知与关于点成中心对称，过点作直线分别交，于点，，给出下列结论：①点与点、点与点分别是关于点的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与关于点成中心对称．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据与关于点中心对称得到，，，即可得到，即可得到答案； 【详解】解：∵与关于点中心对称， ∴，，， 在与中， ∵， ∴， ∴点和点是关于中心的对称点， ∴与成中心对称， ∵点和点是关于中心的对称点， ∴直线必经过点， ∴四边形与四边形也关于点对称， ∴， 综上，正确的是①②③④． 3．如图，已知与成中心对称，点A是对称中心，则点C的对应点为点________． 【答案】 【分析】结合成中心对称的图形的性质解答． 本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握是解决本题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的图形的性质可得，点的对称点为点． 故答案为：． 4．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． (1)请在图中找出旋转中心O； (2)以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； (3)连接，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得和成中心对称，则点O即为线段与线段的交点，据此作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点作图即可； （3）根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，由网格的特点和勾股定理可得． 5．（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的设计，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． （1）（2）（3）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此设计图形即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求；      （3）如图所示，即为所求； 6．如图，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出的坐标； (3)画出绕点旋转后得到的，并写出的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)图见解析， 【分析】本题考查作图轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称、旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，可得出答案． （3）根据中心对称的性质作图，可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，． （2）解：如图所示，即为所求，． （3）解：如图所示，即为所求，． 重难点05 三角形中位线的实际应用 1．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 2．如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【答案】 【分析】根据中位线定理得到，即可求解． 【详解】解：由题可得：、为、的中点， 是的中位线， ， ， ． 3．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 4．如图，点A，B的坐标分别为， ，C为坐标平面内一点，，M为线段的中点． （1）若，点M的坐标为__________ ； （2）连接当取最大值时，点M的坐标为__________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中位线定理、点圆最值问题、坐标与图形性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）结合长度及度数和点B坐标，求出点C坐标，再结合点M为线段的中点及点A坐标即可求出点M的坐标； （2）根据题意，得出点C在以B为圆心，为半径的圆上，作点A关于原点的对称点D，结合中位线的性质得出，求出的最大值即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，过C作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，M为中点， ∴M坐标为； 故答案为：； （2）如图，∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴C， 当最大时，即最大，而D，B，C三点共线时，当C在的延长线上时，最大， ∵， ∴， ∴， ∴C坐标为， ∵，M为中点， ∴M坐标为． 故答案为：． 5．如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是______． 【答案】12米 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，由三角形的中位线得，即可求解；掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：点P，Q分别是的边和的中点， 是的中位线， （米）， 故答案为：米． 6．如图是人字梯及其侧面的示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点间的距离是________cm． 【答案】80 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理即可得到． 【详解】解：如图说是，连接， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为： ． 7．如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 对于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； 对于，首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 是的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得： 重难点06 矩形的判定与折叠问题 1．如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、点的坐标规律问题，先求出的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，根据此规律写出的坐标即可． 【详解】解：矩形的顶点，顶点， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：D． 2．如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质与折叠得到，设，再利用勾股定理，解出的值即可求出． 【详解】解：∵矩形纸片中，，，将沿翻折， ∴，，， ， 在中，， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 3．下列命题是假命题的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等 C．平行四边形的两组对边分别相等 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据平行四边形和矩形的性质与判定定理，判断各选项的真假． 本题考查了命题与定理的知识，了解平行四边形的判定、矩形的性质及矩形的判定方法是解题关键． 【详解】解： A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，是真命题； B、矩形的对角线相等，这是矩形的性质，正确，是真命题； C、平行四边形的两组对边分别相等，这是平行四边形的性质，正确，是真命题； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形，，是假命题. 故选：D． 4．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 5．如图，矩形纸片的长，宽，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后长_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 由折叠的性质得，设长为，根据矩形的性质得和，结合勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， 设长为， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得： ， 即长为cm， 故答案为：． 6．已知四边形是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：______，可使它成为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形的定义，结合平行四边形的性质，确定符合要求的添加条件． 【详解】解：当或或或时，平行四边形为矩形； 当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判断四边形为矩形．（答案不唯一） 7．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练运用这些性质和定理是解答本题的关键． （1）利用折叠的性质得到，结合矩形的性质，在直角三角形中通过勾股定理建立方程求解的长度； （2）先根据折叠和矩形的性质证明三角形全等，得到，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，最后结合三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， 四边形是长方形， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； （2）解：四边形是长方形， ， 由折叠的性质得， 又， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ． 8．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或或或 【分析】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 重难点07 菱形的性质与判定 1．如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，再通过菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，从而求出菱形的高． 【详解】解：如图，令交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ． ∵菱形面积， 设边上的高为h， ∵菱形面积， ∴， ． 2．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 3．如图，菱形的两条对角线相交于点O，若，，则菱形的面积是___________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，由勾股定理求出的长，再根据菱形的性质即可得到答案． 【详解】∵在菱形中，对角线相交于点， ， ， 则菱形的面积是． 4．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的判定定理以及菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，熟练掌握菱形的判定定理和性质是解题的关键． （1）根据平分得到，证明，得到，证明四边形是平行四边形，再根据即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，根据勾股定理，在中，求得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， 在中，是的中点， ， ， ， 在中，， ， ． 5．如图，矩形中，垂直平分对角线，垂足为O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)取边中点，连接，若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由线段的垂直平分线可得，然后证明，得到，再由四边相等的四边形是菱形证明即可； （2）先由三角形中位线定理得到，设，则，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴ ∵垂直平分对角线， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵为的中点， ∴ 设，则， ∵矩形中，， ∴， ∴， 解得， ∴ ∴菱形的面积． 6．如图，四边形是平行四边形，是对角线． (1)用尺规作图完成下面基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、．（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)猜想（1）中四边形的形状，完成下列证明： ∵是的垂直平分线， ∴，____________①，____________②． 又∵四边形是平行四边形， ∴． ∴____________③． 又∵， ∴____________④． ∴． ∴． ∴四边形是____________⑤． 【答案】(1)画图见解析 (2)四边形是菱形；, , ，，菱形 【分析】（1）根据作线段垂直平分线的作法即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得到，证明，即可证得四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图，的垂直平分线即为所求； （2）解：四边形是菱形， 证明：∵是的垂直平分线， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 7．如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用矩形的性质证明，得到，进而即可求证； （）由得四边形是菱形，即得，，，再利用矩形的性质和勾股定理求出和即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 重难点08 一元一次方程的含参问题 1．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 2．有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．先根据给定条件判断平行四边形是否为矩形或菱形，再结合正方形的判定定理(对角线互相垂直的矩形是正方形、邻边相等的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形)逐一分析不同条件组合能否判定为正方形，最终得出②③组合不能判定为正方形，其余符合条件的组合可以判定的结论． 【详解】解：A、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以②③组合不能判定为正方形，故此选项错误，符合题意； B、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ④矩形的对角线互相垂直说明是正方形(对角线垂直的矩形是正方形)； 所以②④组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； C、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； 所以①②组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； D、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以①③组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； 根据正方形的判断方法可知：满足条件①②或①③或②④或③④时，四边形是正方形． 故选：A． 3．在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，则______． 【答案】 【分析】本题考查运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答． 【详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 同理， 则， 故答案为：. 4．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 5．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∵点B落在边上的三等分点M处， ∴和， 设，则， 由折叠的性质得， 当时，则， 在中，，即， 解得； 当时，则， 在中，，即， 解得； 综上，线段的长为或． 6．如图，是正方形的对角线上的两点，且． (1)求证：； (2)若，则四边形的面积是___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可证明，再证明，据此结合全等三角形的判定定理可证明结论； （2）连接交于点O，利用正方形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，可证明，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∴ ． 7．如图，在正方形中，点，（不在正方形的顶点上）分别在，上，，连接． (1)求证：． (2)已知分别是的高线和的中线，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质得到，据此利用可证明结论； （2）由三角形的高线的定义和直角三角形的两锐角互余求出的度数，由全等三角形的性质得到的度数，再由直角三角形的性质得到，据此由等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是的高线， ∴，即 ． ∵， ． 是斜边上的中线， ， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 四边形 知识点1 多边形 1. 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作 ，这些线段叫作多边形的 ，线段的公共端点叫作多边形的 ． 2. 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等．下图中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF．三角形ABC可以记作“△ABC”． 图1 3. 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的 ，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的 ． 4. 多边形的外角与相邻的内角互为补角．如下图，∠A，∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD＋∠DCE＝180°． 5. 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的 ．如下图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线． 6. 和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形． 7. 边形内角和等于．正多边形的每个内角的度数为(n≥3)． 8. 在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 知识点2 中心对称和中心对称图形 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点 或 ．这个点叫做 （简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的 ． 2. 中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形是 图形； （2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所平分． 3 .中心对称作图：作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤： （1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O． （2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝ ；重复上述操作，作出点B的对称点 ，点C的对称点 ． （3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示． 4. 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点就是它的 ． 5. 中心对称图形的性质 （1）对称点的连线被对称中心平分； （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分． 6. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是 图形，又是 图形． 知识点3 三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 ． 2.三角形中位线定理：三角形的中位线 于第三边，并且等于它的 ． 3.其他性质：（1）三角形共有 中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形． （3）三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线 ． 数量关系：可以证明线段的 关系． （4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的 ． 结论2：三条中位线将原三角形分割成 全等的三角形． 结论3：三条中位线将原三角形划分出 面积相等的平行四边形． 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线 ． 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角 ． 知识点4 平行四边形的定义及表示 1. 平行四边形的定义：两组对边分别 的四边形叫做平行四边形． 2. 平行四边形的表示：如图所示，平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． 3. 平行四边形的基本元素（边、角、对角线） 图示 基本元素 主要内容 边 邻边 AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对 对边 AB和DC，AD和BC，共有两对 角 邻角 和，和，和，和，共有四对 对角 和，和，共有两对 对角线 AC和BD，共有两条 知识点5 平行四边形的性质 1. 性质定理：平行四边形的对边 ，对角 ，对角线 ． 2. 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．平行四边形的性质可从边、角、对角线、对称性等几个方面来探究，归纳如下表： 图示 性质 数学语言 边 对边平行且相等 AB∥DC，AD∥BC，AB＝DC，AD＝BC 角 对角相等，邻角互补 ＝，＝，＋＝180°，＋＝180°等 对角线 对角线互相平分 AO＝CO，BO＝DO 对称性 中心对称图形，对角 线的交点为对称中心 知识点6 平行四边形的判定 1. 平行四边形的判定方法 图示 判定方法 符号语言 边 判定定理1：一组对平行且相等的四边形是平行四边形 AB∥CD且AB＝CD， 四边形ABCD是平行四边形 判定定理2：两组对分别相等的四边形是平行四边形 AB＝CD，AD＝BC， 四边形ABCD是平行四边形 判定方法：两组对边别平行的四边形是平行四边形 AB∥CD，AD∥BC， 四边形ABCD是平行四边形 对角线 判定定理3：对角线相平分的四边形是平行四边形 OA＝OC，OB＝OD， 四边形ABCD是平行四边形 2. 灵活选择平行四边形的判定方法 （1）若已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行； （2）若已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等； （3）若已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分； （4）若已知条件与角有关，可证明两组对角分别相等． 知识点7 菱形的定义 1. 有一组邻边 的平行四边形叫做菱形，菱形是平行四边形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若AB=AD，则ABCD是菱形． 知识点8 菱形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边 AB∥CD，AD∥BC 四条边都 角 对角 ， 对角线 对角线 ，， 每条对角线平分一组对角 , 对称性 轴对称图形，对称轴是 所在的直线 中心对称图形，对称中心是 的交点 知识点9 菱形面积的计算 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是平行四边形 菱形的面积= 两条对角线 乘积的一半 知识点10 菱形的判定 拓展：（1）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形． 知识点11 矩形的定义 1. 有一个角是 的平行四边形叫做矩形，矩形是平行四边形． 3. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，则ABCD是矩形． 知识点12 矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边 AB∥CD，AD∥BC 对边 角 四个角都是 对角线 对角线 ， 对称性 轴对称图形， 是它的对称轴，共有两条 中心对称图形，对称中心是 的交点 知识点13 矩形的判定 知识点14 正方形的定义 1. 有一组 相等，并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，且，则ABCD是正方形． 知识点15 正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边 AB∥CD，AD∥BC 四条边均 角 四个角都是 对角线 对角线 ， 每条对角线平分一组对角 对称性 轴对称图形，对称轴是 ，有 条对称轴 中心对称图形，对称中心是 知识点16 正方形的判定 知识点17 中点四边形 1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH就是中点四边形． 2. 常见的中点四边形形状归纳 原四边形 中点四边形 任意四边形（包括平行四边形） 平行四边形 两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形) 菱形 两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形） 矩形 两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形） 正方形 知识点18 菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系 正方形既是 ，又是 ． 菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且都是平行四边形．常见关系使用举例： 一．多边形的对角线 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 【典例1】从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（    ） A．11条 B．12条 C．13条 D．14条 【典例2】银川市金凤区某中学要举办数学文化节，需要制作一种多边形的宣传标牌．已知从这个多边形的一个顶点出发，最多可以引出12条对角线，则它的边数为 ． 二．平行四边形性质与判定易错点 1.平行四边形的判定需满足一组条件即可，不可混淆性质与判定的逻辑方向（性质：由平行四边形推结论；判定：由结论推平行四边形）。 2.一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 3.表示平行四边形时，顶点字母顺序必须正确，不可打乱。 【典例1】如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 三．三角形的中位线 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 三角形的三条中位线将原三角形分成4 个全等的小三角形；三条中位线围成的三角形，周长是原三角形的，面积是原三角形的。 【典例1】如图，在中，点为边的中点，点为边的中点．若，，则的长为___________． 【典例2】如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 四．矩形的性质与判定易错点 1.混淆 “矩形的对角线相等” 与 “平行四边形的对角线互相平分”，忽略矩形对角线相等的特殊性。 2.判定时误用 “对角线相等的四边形是矩形”，必须强调先满足平行四边形，再加上对角线相等才是矩形。 3.忽略直角三角形斜边中线定理的前提：必须是直角三角形，且中线在斜边上 【典例1】矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角互补 C．对边相等 D．对角线互相平分 【典例2】如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是__________． 四．菱形面积的应用 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 【典例1】若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为（    ） A．8 B．12 C．20 D．24 【典例2】如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于（   ） A．2 B． C． D． 重难点01 多边形对角线的条数问题 1．过六边形的一个顶点可以引出几条对角线（    ） A． B． C． D． 2．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．若从多边形的一个顶点出发可以画出8条对角线，则这个多边形是（   ） A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形 4．下列说法中错误的有（   ）个． ①如果，那么点C为线段的中点；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度的数学原理为：两点确定一条直线；③连接两点间的线段，叫做这两点间的距离；④点C在线段上，点M、N分别是线段的中点．若，则线段；⑤从多边形一个顶点出发可以作6条对角线，则这个多边形是九边形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．若一个多边形的内角和比它的外角和的倍大，则这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数是（    ） A． B．5 C．6 D． 6．一个八边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 8．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 重难点02 多边形内角和与外角和综合应用 1．一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 2．下列命题是真命题的是（    ） A．内错角相等 B．多边形的外角和小于内角和 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．相等的角是对顶角 3．四边形的四个外角中最多有钝角（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 4．若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 5．五边形的外角和是________． 6．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 7．如图，是五边形的4个外角，若，则__________． 8．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 重难点03 平行四边形的性质及应用 1．下列图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形 2．下列命题是假命题的是（   ） A．同个三角形中，等边所对的角相等 B．若，则 C．平行四边形的对角线相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 3．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 4．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是__秒． 6．如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本作图：在上截取，使，交于点，连接；作的平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：（请补全下面证明过程） 证明：四边形是在平行四边形 平分      又 ． 7．如图，在中，的角平分线交于点E，点F在线段上，，连接交于点P． (1)求证：； (2)若，，求的长． 重难点04 中心对称和中心对称图形的应用 1．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A．B．C． D． 2．如图，已知与关于点成中心对称，过点作直线分别交，于点，，给出下列结论：①点与点、点与点分别是关于点的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与关于点成中心对称．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知与成中心对称，点A是对称中心，则点C的对应点为点________． 4．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． (1)请在图中找出旋转中心O； (2)以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； (3)连接，求的长度． 5．（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 6．如图，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出的坐标； (3)画出绕点旋转后得到的，并写出的坐标． 重难点05 三角形中位线的实际应用 1．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 2．如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 3．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 4．如图，点A，B的坐标分别为， ，C为坐标平面内一点，，M为线段的中点． （1）若，点M的坐标为__________ ； （2）连接当取最大值时，点M的坐标为__________ ． 5．如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是______． 6．如图是人字梯及其侧面的示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点间的距离是________cm． 7．如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 重难点06 矩形的判定与折叠问题 1．如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则长为（   ） A． B． C． D． 3．下列命题是假命题的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等 C．平行四边形的两组对边分别相等 D．对角线相等的四边形是矩形 4．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 5．如图，矩形纸片的长，宽，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后长_______． 6．已知四边形是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：______，可使它成为矩形． 7．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 8．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 重难点07 菱形的性质与判定 1．如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 3．如图，菱形的两条对角线相交于点O，若，，则菱形的面积是___________． 4．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 5．如图，矩形中，垂直平分对角线，垂足为O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)取边中点，连接，若，求菱形的面积． 6．如图，四边形是平行四边形，是对角线． (1)用尺规作图完成下面基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、．（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)猜想（1）中四边形的形状，完成下列证明： ∵是的垂直平分线， ∴，____________①，____________②． 又∵四边形是平行四边形， ∴． ∴____________③． 又∵， ∴____________④． ∴． ∴． ∴四边形是____________⑤． 7．如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 重难点08 一元一次方程的含参问题 1．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 3．在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，则______． 4．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 5．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 6．如图，是正方形的对角线上的两点，且． (1)求证：； (2)若，则四边形的面积是___________． 7．如图，在正方形中，点，（不在正方形的顶点上）分别在，上，，连接． (1)求证：． (2)已知分别是的高线和的中线，若，求的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $