第2章 图形与坐标（知识清单）数学新教材湘教版八年级下册

第二章 图形与坐标 知识点1 有序数对的概念 我们把有顺序的两个数ɑ与b组成的数对，叫做有序数对，记作． 知识点2 平面直角坐标系及有关概念 1. 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平位置和竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向． 2. 坐标轴 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 3. 象限 坐标平面被两条坐标轴分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向分别叫做第二象限、第三象限、第四象限.． 知识点3 建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 知识点4 平面直角坐标系内点的坐标 1. 点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫做点P的坐标. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 2. 点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3. 点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为、、、． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同． 知识点5 用坐标表示平移 （1）点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)或(x-a，y)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)或(x，y-b)． （2）图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 知识点6 轴对称与坐标变化 （1）关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数;反过来，横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称． （2）关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数;反过来，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称． 一．平面直角坐标系的概念及应用 1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向；轴和轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被轴和轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 特别注意：轴和轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 （1）对于平面内任意一点,过点分别轴、轴向作垂线，垂足在上轴、y轴对应的数a，b分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点的坐标。 （2）点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 （3）平面内点的与有序实数对是一一对应的。 【典例1】已知点，把A点向右平移3个单位，向下平移2个单位后的坐标为________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，点的平移规律为：向右平移横坐标加，向左平移横坐标减；向上平移纵坐标加，向下平移纵坐标减．根据平移规律计算平移后点的横纵坐标即可得到结果． 【详解】解：点，把A点向右平移3个单位，向下平移2个单位后的坐标为，即． 【典例2】若中，，，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形．点的坐标为________． 【答案】或或． 【分析】先建立平面直角坐标系，描出，连接，根据平行四边形对角线互相平分，进行分类讨论：①以为对角线，②以为对角线，③以为对角线，分别求出的中点坐标，再根据中点坐标公式求解即可． 【详解】如图，建立平面直角坐标系，描出，连接， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴分类讨论： ①以为对角线， 如图，作中点，连接并延长使得，连接， ∵，， ∴，即， ∵也是的中点，， ∴，即； ②以为对角线， 如图，作中点，连接并延长使得，连接， ∵，， ∴，即， ∵也是的中点，， ∴，即； ③以为对角线， 如图，作中点，连接并延长使得，连接， ∵，， ∴，即， ∵也是的中点，， ∴，即； 综上，的坐标为或或． 二．平面直角坐标系内点的特征 1.各象限内点的坐标的符号特征 点在第一象限⇔ ，； 点在第二象限⇔ ，； 点在第三象限⇔ ，； 点在第四象限⇔ ，. 2.坐标轴上点的坐标特征 点在横轴上⇔y＝0； 点在纵轴上⇔x＝0； 点在原点⇔x＝0，y＝0. 3.各象限角平分线上点的坐标 第一，三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. 4.平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等； 平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等. 【典例1】在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征． 先根据平移规律得到平移后点的坐标，再结合y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度， ∴平移后点的坐标为， ∵平移后的点落在轴上，且轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：． 故选：B． 【典例2】下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：关于原点对称的两点坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 选项A中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项B中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，符合关于原点对称的坐标特征，该项符合要求． 选项C中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项D中，与的横坐标相同，不互为相反数，该项不符合要求． 三．点的距离问题 1.点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. 2.平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段，铅锤线段. 3.两点之间的距离公式：. 4.中点公式：. 【典例1】在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第二象限内点的坐标符号特征求解即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴，， ∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 【典例2】已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题先根据第二象限点的坐标特征得到m、n的取值范围. 再判断点B横纵坐标的正负，结合象限坐标特征确定点B所在位置． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点B的横坐标小于0，纵坐标也小于0， ∴点B在第三象限，故C正确． 四．点的平移与轴对称 1.点平移的坐标特征 向左平移a个单位的坐标为； 向右平移a个单位的坐标为； 向上平移b个单位的坐标为； 向下平移b个单位的坐标为； 口诀：“右加左减，上加下减”. 2.点的对称点的坐标特征 关于x轴对称的点P1的坐标为 ； 关于y轴对称的点P2的坐标为 ； 关于原点对称的点P3的坐标为 ． 口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都要变号。 【典例1】如果点在平面直角坐标系的轴上，那么点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据x轴上的点纵坐标为0，先求出m的值，再计算横坐标得到P点坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴根据x轴上点的坐标特征得， 解得， 将代入横坐标计算得， ∴点坐标为． 【典例2】已知点A的坐标为，下列说法正确的是（    ） A．若点A在y轴上，则 B．若点A在一三象限角平分线上，则 C．若点A到x轴的距离是3，则 D．若点A在第四象限，则a的值可以为4 【答案】D 【分析】本题根据不同位置点的坐标特征，结合点到坐标轴距离的意义，逐个判断选项正误即可. 【详解】解：A选项：若点A在y轴上， ∵y轴上点的横坐标为0， ∴，选项给出，故A错误. B选项：若点A在一三象限角平分线上， ∵一、三象限角平分线上点的横纵坐标相等， ∴，解得，选项给出，故B错误. C选项：若点A到x轴的距离是3， ∵点到x轴的距离等于点纵坐标的绝对值， ∴，解得或，选项给出，不符合题意，故C错误. D选项：若点A在第四象限， ∵第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0， ∴，解得， ， 的值可以为，故D正确. 重难点01 直角坐标系中点的坐标 1．如果点在平面直角坐标系的轴上，那么点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据x轴上的点纵坐标为0，先求出m的值，再计算横坐标得到P点坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴根据x轴上点的坐标特征得， 解得， 将代入横坐标计算得， ∴点坐标为． 2．点在轴的右侧，到轴、轴的距离分别是7和8，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，y轴右侧的点横坐标为正，据此求解即可． 【详解】解：∵ 点在轴右侧， ∴ 点的横坐标大于． ∵ 点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴ 点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为． 结合横坐标大于，可得点的横坐标为，纵坐标为或， ∴ 点的坐标是或． 3．已知点A的坐标为，下列说法正确的是（    ） A．若点A在y轴上，则 B．若点A在一三象限角平分线上，则 C．若点A到x轴的距离是3，则 D．若点A在第四象限，则a的值可以为4 【答案】D 【分析】本题根据不同位置点的坐标特征，结合点到坐标轴距离的意义，逐个判断选项正误即可. 【详解】解：A选项：若点A在y轴上， ∵y轴上点的横坐标为0， ∴，选项给出，故A错误. B选项：若点A在一三象限角平分线上， ∵一、三象限角平分线上点的横纵坐标相等， ∴，解得，选项给出，故B错误. C选项：若点A到x轴的距离是3， ∵点到x轴的距离等于点纵坐标的绝对值， ∴，解得或，选项给出，不符合题意，故C错误. D选项：若点A在第四象限， ∵第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0， ∴，解得， ， 的值可以为，故D正确. 4．点到轴的距离是1，到轴的距离是3，且点在第二象限，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第二象限内点的坐标符号特征推导即可． 【详解】解：∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为， 又∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点坐标为． 5．在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是______． 【答案】 【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标． 【详解】解：设点M的坐标是， ∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4， ∴． 又∵点M在第二象限内， ∴， ∴点M的坐标为． 6．如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为中心，把旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是___ ． 【答案】或 【分析】根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点到x轴、y轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点的坐标是多少． 【详解】解：∵点在边上， ∴，； 若把顺时针旋转，如下图： 则点在x轴上，， ∴； （若把逆时针旋转，如下图： 则点到x轴的距离为10，到y轴的距离为2， ∴， 综上，旋转后点D的对应点的坐标为或． 故答案为：或． 7．在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)直接写出、、三点的坐标： (2)请画出向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后的，并写出、的坐标． 【答案】(1)，， (2)图见解析，， 【分析】（1）根据坐标系直接写出点的坐标； （2）根据平移的性质找到对应点，根据坐标系写出点的坐标；顺次连接，即可求解． 【详解】（1）解：根据坐标系可得，，； （2）解：如图所示： 根据坐标系可得，． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形，点A、B、C的对应点分别为、、． (2)在（1）的条件下，写出点，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查的是画关于y轴对称的图形，坐标与图形，熟记轴对称的性质并进行画图是解本题的关键． （1）分别确定、B，C关于y轴的对称点、、，再顺次连接即可； （2）根据点，的位置写出坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：依题意，，． 重难点02 确定物体的位置 1．小东家在学校西偏北方向米处，则学校在小东家（   ） A．西偏北方向米 B．北偏西方向米 C．东偏南方向米 D．东偏南方向米 【答案】C 【分析】根据位置的相对性求解即可． 【详解】解：∵位置具有相对性，当观测点互换时，方向互为反向，角度不变，距离不变，小东家在学校西偏北方向米处， ∴学校在小东家东偏南方向米处． 故选：C． 2．茂名市电白区博贺渔港是全国十大渔港之一，如题图所示，A，B是两个海上观测站的位置，A在博贺渔港O北偏东方向上，，则B在博贺渔港O的（    ）． A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏西方向 【答案】A 【分析】设正南方向与的夹角为，根据题意，得，根据方向角的意义解答即可． 本题考查了方向角的应用，熟练掌握方向角的意义是解题的关键． 【详解】解：设正南方向与的夹角为，根据题意，得， 故B在博贺渔港O的南偏东方向， 故选：A． 3．如图，下列能准确描述小明家相对于学校位置的是（   ） A．距离学校米处 B．南偏西方向米处 C．北偏东方向米处 D．南偏西方向米处 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角和距离表示位置．根据以正东，正北方向为基准，结合图形得出北偏东的角度和距离来描述物体所处的方向进行描述即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知：， ∴学校在小明家南偏西方向上的1200米处， 故选：B． 4．如图，在正方形网格中，点B在点A的南偏东方向上，则点B的位置可能是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】D 【分析】本题考查的是方位角的判定，理解方位角的含义是解本题的关键. 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可判断． 【详解】解：如图， 根据题意和图示可知： 射线表示南偏东方向，射线表示南偏东约方向，射线表示南偏东方向， ∴点B的位置可能是． 故选：D． 5．在平面内，下列说法能确定位置的是（    ） A．地图上，某地在东经，北纬处 B．小明在北京市四环路 C．一条船在北偏东方向上 D．小红坐在红星电影院排 【答案】A 【分析】根据位置的确定需要两个条件对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、地图上，某地在东经，北纬处；二者相交于一点，位置明确，能确定位置，故此选项符合题意； B、小明在北京市四环路；，没有明确具体位置，故此选项不符合题意； C、一条船在北偏东方向上；不能确定位置，故此选项不符合题意； D、小红坐在红星电影院排，没有明确具体位置，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个条件是解题的关键． 6．下列命题正确的是（    ）． A．内错角相等 B．一个角的度数为，则这个角的余角和补角的度数分别为， C．甲看乙的方向为北偏东，那么乙看甲的方向南偏西 D．在同一平面内，，，是直线，且，，则 【答案】B 【分析】依据平行线的性质判断A项，依据互余互补的定义判断B项，依据方位确定方法判断C项，依据平行线的判定判断D项，对各选项分析判断后即可求解． 【详解】解：A. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故此项错误； B. 一个角的度数为，则这个角的余角和补角的度数分别为，，故此项正确； C. 甲看乙的方向为北偏东，那么乙看甲的方向南偏西，故此项错误； D. 在同一平面内，，，是直线，且，，则，故此项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考平行线的性质和判断，互余互补的定义，以及方位的确定，明确各定义、性质、判定是解答此题的关键． 7．已知点，点，且轴，则m的值为 _____ ． 【答案】4 【分析】根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵点，点，且轴， ∴点A与点B的横坐标相等，即，解得：． 验证：当时，，点，两点横坐标相等，纵坐标不相等，即两点不重合，符合题意． 8．如果点在第四象限，则点在第______象限． 【答案】三 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，， ∴点在第三象限． 重难点03 实际问题中用坐标表示位置 1．图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键．由图形及其坐标得出具体的位置画出图形即可. 【详解】解：如下图所示，得到一个“箭头”的图形， 故选：D 2．小明从家里出发，沿正西方向走，再沿正北方向走到达学校，如果以小明家位置为原点，以正东、正北为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，以为单位长度，则学校位置用坐标表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定横纵坐标的正负，再结合单位长度换算即可得到学校坐标． 【详解】解：∵以小明家为原点，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，单位长度为，小明先沿正西方向走，正西是x轴负方向， ∴学校的横坐标为， ∵小明再沿正北方向走，正北是y轴正方向， ∴学校的纵坐标为， ∴学校的坐标为 ． 3．太原古县城是中国国家历史文化街区，下图是古县城内景点分布示意图．若隆恩寺的位置是，城隍庙的位置是，则县衙的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据隆恩寺 和城隍庙 的坐标确定平面直角坐标系的原点和坐标轴方向，再根据坐标系确定县衙的坐标． 【详解】解：以隆恩寺 和城隍庙 为参考， 设水平向右为 轴正方向，竖直向上为 轴正方向，由两点坐标可确定原点位置， 建立平面直角坐标系如下： 进而得到县衙的位置是 ． 4．如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合表示弘义阁的点的坐标和表示本仁殿的点的坐标，画出正确的平面直角坐标系，再读取表示乾清门的点的坐标，即可作答． 【详解】解：如图所示： 表示乾清门的点的坐标是， 故选：B ． 5．如图，在平面直角坐标系中，以二七纪念塔的位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个单位长度代表实际距离．观察图中位置，郑州博物馆对应的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的应用，熟练掌握坐标定义是解题的关键． 直接根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可． 【详解】解：由图上平面直角坐标系可得，郑州博物馆的坐标为． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 7．如图是学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示食堂、图书馆的位置； (2)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； 【答案】(1)图见解析，食堂的坐标为，图书馆的坐标为； (2)图见解析． 【分析】（1）根据满足旗杆的位置是，实验室的位置是确定坐标轴，两轴的交点即为坐标原点，找到原点后再根据食堂、图书馆的位置表示出坐标； （2）结合所给坐标在坐标系中描点即可． 【详解】（1）解：如图，以大门为坐标原点建立坐标系： 此时满足旗杆的位置是，实验室的位置是， 则食堂的坐标为，图书馆的坐标为； （2）解：根据办公楼的位置是，教学楼的位置是，描点如图所示： 8．（1）如图，写出平面直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标； （2）在平面直角坐标系内描出点，，，． 【答案】（1）所求各点的坐标为；（2）见解析 【分析】（1）根据点在平面直角坐标系中的位置，写出点的坐标即可； （2）根据点的坐标，在坐标系中描点即可． 【详解】解：如图，所求各点的坐标为： （2）A，B，C，D各点的位置如图所示． 重难点04 坐标系中的平移、对称 1．在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题关键． 坐标系中点的平移，水平移动改变坐标，垂直移动改变坐标；向右移动增加，向下移动减少． 【详解】解：∵蚂蚁从点出发，先水平向右爬行个单位， ∴坐标增加，得； ∵然后又竖直向下爬行个单位， ∴坐标减少，得； ∴此时蚂蚁的位置是. 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，则． 3．在直角坐标系中，点关于轴对称的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，利用“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”这一规律求解即可． 【详解】解：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， 又点的坐标是， 点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为， 即点关于轴对称的点的坐标为． 故选：A． 4．春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于直线对称，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称，先求出点、的中点坐标为，再结合点、的纵坐标相同，两点的连线平行于轴，得出其垂直平分线是垂直于轴的直线，从而得出直线为直线，即可得出结果，正确求出点、的中点坐标为是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于直线对称， ∴点、的中点坐标为，即 ， ∵点、的纵坐标相同，两点的连线平行于轴， ∴其垂直平分线是垂直于轴的直线， ∵点、的中点坐标为， ∴直线为直线， ∴直线一定经过点， 故选：B． 5．已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据点坐标及直线轴可知点和点的横坐标相等，再由，分类讨论求出的纵坐标即可． 【详解】∵，直线平行于轴，， ∴分类：①点在点的上方，则，即； ②点在点的下方，则，即． 综上，点的坐标或． 6．线段平行于轴，点的坐标为，点在点的右侧，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，关键是熟练应用坐标特征解题； 由于线段平行于轴，点和点的纵坐标相同，根据点在点的右侧求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为，线段平行于轴， ∴点的纵坐标与点相同为； 设点的横坐标为， ∴， ∵点在点右侧，， ∴， 解得， 故点的坐标为， 故答案为：． 7．如图，在直角坐标系中的顶点坐标分别为，，，那么在这个坐标系中以，，，为顶点画一个平行四边形，点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想． 根据平行四边形的性质和平移的性质，分三种情形即可解决问题． 【详解】解：的顶点坐标分别为，，， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得． 故答案为：或或． 8．点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数求出，的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴的对称图形（其中点分别是点的对应点）； (2)若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换以及关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键； （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，得到对应点坐标，再依次连接即可； （2）先作出，再根据对称坐标特征作出直线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，和直线即为所求： 重难点05 由平移方式确定点的坐标 1．在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质与平移规律，熟练掌握关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征及点的平移规律是解题的关键。根据平面直角坐标系中关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征，以及点的平移规律，逐一判断每个选项的正确性，从而选出正确答案。 【详解】∵关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 又∵点，的横坐标相同，纵坐标与互为相反数． ∴与关于轴对称，选项正确． ∵关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵将点向右平移个单位长度，横坐标为，得到的点为，不是点． ∴选项错误． 故选：A． 2．已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点和对应点的坐标确定平移规律，再利用中点坐标公式求出原端点的坐标，最后根据平移规律计算的坐标即可. 【详解】解：点平移后的对应点为， 平移规律为横坐标减，纵坐标加，即向左平移个单位，向上平移个单位， 设点的坐标为， 中点为， 由中点坐标性质得， 解得：， 点的坐标为， 根据平移规律，点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故选：B． 3．已知点A的坐标是，则点A向右平移2个单位长度后的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题． 【详解】解：点向右平移2个单位长度，可得点的坐标，即， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移之后点B的对应点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：由坐标系可得，则点B的对应点的坐标为，即． 5．已知点，将它先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是____________． 【答案】 【分析】根据坐标平移的变化规律，向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，计算得到点的横纵坐标即可求解． 【详解】解：点，将它先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到点，则点的坐标是，即， 6．在平面直角坐标系中，将点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为______． 【答案】 【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，计算即可得解． 【详解】解：∵点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴，， ∴点 N的坐标为． 7．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若将点向下平移6个单位得到点，此时，两点关于轴对称，求点的坐标． (2)若点在第二象限，且点到轴和轴的距离之和为6，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标的平移，关于轴对称的点的坐标特点，点到对称轴的距离，平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）根据点的平移规律求出点的坐标，进而根据关于轴对称的点的坐标特点列方程求解即可； （2）根据点在第二象限得到点到轴和轴的距离，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将点向下平移6个单位得到点， ∴点的坐标为， ∵，两点关于轴对称， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在第二象限， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点到轴和轴的距离之和为6， ∴， 解得：． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上． (1)写出A、B、C三点的坐标； (2)将三角形向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到三角形，并写出、的坐标． 【答案】(1)，， (2)图见解析，， 【分析】（1）根据平面直角坐标系作答即可； （2）找出平移后的点的位置，进而连线并写出、的坐标即可． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系可知，，； （2）解：如图，三角形即为所求，，． 9．如图所示，在平面直角坐标系中，点，，，向右平移5个单位长度后得到的． (1)画出平移后的； (2)若线段上有一点P的纵坐标为m，请直接写出平移后对应的点坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据平移变换的定义，当一个图形向右平移5个单位长度时，图形中每个点的横坐标增加5，纵坐标不变．因此点平移后变为，点平移后变为，点平移后变为，最终依次连接即可； （2）线段上有一点P的纵坐标为m，平移后点P的纵坐标不变，仍为m，但横坐标增加5，因此可得出平移后的点的坐标； （3）先求出的底，高为点到线段的垂直距离，即点与点的横坐标之差，从而利用三角形面积公式求得结果． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：∵线段在上，且有一点P的纵坐标为m， ∴平移后点P的纵坐标不变，仍为m， 而横坐标增加5，因此平移后点P的坐标为， 即． （3）解：． 重难点06 坐标与图形变换 1．如果点和点关于x轴对称，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a，b的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， 又∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴，， ∴， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，将该矩形沿翻折，点A的对应点为E，交x轴于点F．已知，，则点E的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换，理解题意是解题的关键． 过点作，交于点，由翻折的性质和矩形的性质可得：，，，，通过平行线的性质结合相等的角度可得，根据勾股定理可求出线段的长度，再根据等面积法求出线段的长度，最后再根据勾股定理可求出线段的长度，由此即可得到点的坐标． 【详解】解：过点作，交于点， 由题意可知：，，，， ， ， ， 设，则， 在中， ， 解得：， 则， ， ， 解得：， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．已知点，，点在轴上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长度，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时取得最小值，点即为所求点， 点， 点关于轴的对称点的坐标为， ，， ， 的最小值为. 4．已知点与点关于y轴对称，则________． 【答案】5 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，求出m与n的值，再计算的结果即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴． 5．已知点和点关于轴对称，则的值是______． 【答案】 【分析】利用关于y轴对称的点的坐标特征求出a与b的值，再计算的值即可 【详解】根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等 ∵点和点关于y轴对称 ∴， 则． 6．在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2028次变换后所得的点A的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——对称及点的坐标变化规律，得出点A的坐标重复变换的规律是解题的关键． 根据所给变换方式，得出每经过4次变换，点A的坐标重复一次，据此可解决问题． 【详解】解：根据所给变换方式可知， 每经过次变换，点A的坐标重复一次， ∵， ∴第2028次变换后点A的坐标与第4次变换后点A的坐标相同， 又∵第4次变换后点A的坐标为， ∴第2028次变换后点A的坐标为． 故答案为：． 7．在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长为1个单位长度． (1)将向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度后得到，请画出； (2)画出关于轴对称的，并写出点，的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）分别将点、、向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度得到对应点、、，即可得到； （2）先利用关于轴对称的点的性质得到点、、的对应点、、，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． ． 8．如图，请在平面直角坐标系中画出它关于轴对称的图形． 【答案】画图见详解； 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中关于轴对称的图形绘制，灵活运用关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”，先找出原图形各顶点的坐标，再求出它们关于轴对称的对应点坐标，最后顺次连接对应点，即可画出它关于轴对称的图形． 【详解】解：如图所示． 9．如图，在平面直角坐标系中的坐标分别是：． (1)将先向下平移7个单位，再向左平移2个单位得到，画出； (2)画出关于轴对称的，并写出各个顶点的坐标； 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据平移规律找出，进而连线即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征找出，进而连线并写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，可知． 重难点07 坐标与旋转规律问题 1．在直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意作平面直角坐标系，过点作轴于点，由得，，逆时针旋转后，，与轴夹角变为，即落在轴正半轴，即可得出的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵ ， ∴ ，， 由勾股定理得 ， 又∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， 由旋转的性质得 ，旋转角， ∴ ， ∴ 点在轴正半轴上， ∴ 的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的旋转变换，题目未给出图形，解题时需根据题意画出图形，再结合勾股定理与旋转性质进行分析． 2．如图，在平面直角坐标系中，将菱形绕点顺时针旋转得到菱形，按此方式绕点连续旋转2026次得到菱形．已知菱形的边长为1，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，交于点，根据菱形的边长为1，，证明是等边三角形，得出，求出，得出，连接，根据旋转可得，得出旋转周期为8，每旋转8次，图形回到原位，旋转2026次的位置与旋转2次的位置相同，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵菱形的边长为1，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， 根据旋转可得， ∵， ∴旋转周期为8，每旋转8次，图形回到原位， ∵， ∴旋转2026次的位置与旋转2次的位置相同， 旋转2次共顺时针转了， 原沿y轴正方向，顺时针转后，位于x轴上， 因此． 3．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、勾股定理，根据菱形的性质分别求出点、、、、、、的坐标，根据翻折的规律可知第次翻折是第次循环中的第次翻折，得到点的坐标． 【详解】解：如下图所示，连接，过点作轴， 由图可知，第一次翻折得到菱形， 四边形是菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， 由翻折可知， 轴， ， ，， ， 点的坐标为，点的坐标为， 第二次翻折得到菱形， 点的坐标为， 第三次翻折得到菱形， 点的坐标为， 第四次翻折得到菱形， 点的坐标为， 第五次翻折得到菱形， 点的坐标为 第六次翻折得到菱形， 点的坐标为， 由翻折可知， ， 是等边三角形，， ， ， ， 的坐标为， 每翻折次，菱形向右平移个单位长度， ， 第次翻折是第次循环中的第次翻折， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 故选：D． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，已知点A的坐标为，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第18次旋转后点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形性质，点的坐标，图形旋转性质等．先根据题意利用菱形性质求出点C的坐标，再根据旋转性质找出旋转规律，进而求出第18次旋转后点C的对应点的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为， ∵，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，即， ∵菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴旋转次为一个循环， ∴过点作轴，轴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ， ∴第一次旋转后，点的对应点坐标为， 同理：第二次旋转后，点的对应点坐标为， 第三次旋转后，点的对应点坐标为， 第四次旋转后，点的对应点坐标为，此时回到了点C的初始位置， ∵， ∴第18次旋转后点C的对应点的坐标对应的坐标，即， 故选：C． 5．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，点落在x轴负半轴，且，即可得到答案． 【详解】解：第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，, 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在x轴正半轴，， ……， 每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴， 而， 在x轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A的坐标为，点C的坐标为，先将矩形绕点A顺时针旋转，然后再让矩形绕点O以每秒的速度顺时针旋转，则旋转2025分钟后，点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出绕点A顺时针旋转后点C的坐标，再计算矩形绕点O旋转的总角度，根据旋转的周期性确定最终点C对应点的坐标． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵四边形为矩形，，， ∴，， ∴， 又∵矩形绕点A顺时针旋转， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为2025分钟， 又∵， ∴， ∴总旋转角度为：， 由于旋转是周期性的，每为一个周期， ∴，即旋转了506个完整周期后又额外旋转了， ∴点绕点O顺时针旋转后，得到的点C坐标为． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，并且．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点的坐标为 ______． 【答案】 【分析】作，由旋转的性质得，再根据矩形的性质可得，然后根据勾股定理得，则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点D， 由旋转的性质得． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 即， ∴点． 8．以原点为旋转中心，将点逆时针旋转得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接，作轴，垂足为，容易判断是等腰直角三角形，则，，结合旋转的性质可知，点在轴负半轴上，且，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，连接，作轴，垂足为， ∵，轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵点由点绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴、、三点共线，即点在轴负半轴上， ∴点的坐标为． 9．如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标． 【详解】解：∵点A与点C关于原点对称，， ∴． 故答案为：． 重难点08 已知两点关于原点对称求参数 1．点与关于原点对称，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D．5 【答案】C 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 2．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个点关于原点中心对称时，横纵坐标分别互为相反数，利用该性质计算即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴． 3．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 【详解】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解；∵、， ∴点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴，两点关于y轴对称， 故选：C． 5．若点关于原点对称的点坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，即可求解点的坐标． 【详解】解：已知点关于原点对称的点坐标为， 因此可得点的坐标为． 6．已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点B的坐标为_______． 【答案】 【分析】利用平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行求解． 【详解】解：点关于原点对称的点B的坐标为． 7．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则_． 【答案】36 【分析】根据关于原点对称的两点坐标关系，横、纵坐标均互为相反数，求出与的值，再计算乘方得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 8．平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是_________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出B与D关于原点对称，得出，解出即可． 【详解】解：∵平行四边形的四个顶点坐标分别是， ∴点A与点C关于原点对称， ∴点B与点D关于原点对称， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质，坐标与图形性质是解题的关键． 9．已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【答案】(1)， (2)图见解析， 【分析】（1）利用关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数的性质，列方程求解、； （2）先根据坐标平移与轴对称规则确定各点坐标，再将四边形分割为两个三角形，用面积公式计算总面积． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ，， ，． （2）解：，， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∵将点向右移动个单位长度得到点， ∴点的坐标是， ∵点关于轴的对称点为点， ∴点的坐标是， ∴四边形的形状如下图所示， ，，， ∴四边形的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 图形与坐标 知识点1 有序数对的概念 我们把有顺序的两个数ɑ与b组成的数对，叫做 ，记作． 知识点2 平面直角坐标系及有关概念 1. 平面直角坐标系 在平面内，两条互相 、 重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于 位置和 位置，取向 与向 的方向分别为两条数轴的正方向． 2. 坐标轴 水平的数轴称为 轴或 轴，竖直的数轴称为 轴或 轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的 ． 3. 象限 坐标平面被两条坐标轴分成四个部分：右上部分叫做第 象限，其他三个部分按逆时针方向分别叫做第 象限、第 象限、第 象限.． 知识点3 建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 知识点4 平面直角坐标系内点的坐标 1. 点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫做点P的坐标. 坐标平面内的点与 是一一对应的． 2. 点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3. 点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为 、 、 、 ． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的 坐标为0；y轴上的点的 坐标为0；原点的 坐标、 坐标都为0；原点既在 轴上，又在 轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的 坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的 坐标相同． 知识点5 用坐标表示平移 （1）点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)或(x-a，y)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)或(x，y-b)． （2）图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 知识点6 轴对称与坐标变化 （1）关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标 ，纵坐标互为 ;反过来，横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于 轴对称． （2）关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标 ，横坐标互为 ;反过来，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于 轴对称． 一．平面直角坐标系的概念及应用 1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向；轴和轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被轴和轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 特别注意：轴和轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 （1）对于平面内任意一点,过点分别轴、轴向作垂线，垂足在上轴、y轴对应的数a，b分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点的坐标。 （2）点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 （3）平面内点的与有序实数对是一一对应的。 【典例1】已知点，把A点向右平移3个单位，向下平移2个单位后的坐标为________． 【典例2】若中，，，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形．点的坐标为________． 二．平面直角坐标系内点的特征 1.各象限内点的坐标的符号特征 点在第一象限⇔ ，； 点在第二象限⇔ ，； 点在第三象限⇔ ，； 点在第四象限⇔ ，. 2.坐标轴上点的坐标特征 点在横轴上⇔y＝0； 点在纵轴上⇔x＝0； 点在原点⇔x＝0，y＝0. 3.各象限角平分线上点的坐标 第一，三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. 4.平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等； 平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等. 【典例1】在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 三．点的距离问题 1.点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. 2.平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段，铅锤线段. 3.两点之间的距离公式：. 4.中点公式：. 【典例1】在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 四．点的平移与轴对称 1.点平移的坐标特征 向左平移a个单位的坐标为； 向右平移a个单位的坐标为； 向上平移b个单位的坐标为； 向下平移b个单位的坐标为； 口诀：“右加左减，上加下减”. 2.点的对称点的坐标特征 关于x轴对称的点P1的坐标为 ； 关于y轴对称的点P2的坐标为 ； 关于原点对称的点P3的坐标为 ． 口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都要变号。 【典例1】如果点在平面直角坐标系的轴上，那么点坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知点A的坐标为，下列说法正确的是（    ） A．若点A在y轴上，则 B．若点A在一三象限角平分线上，则 C．若点A到x轴的距离是3，则 D．若点A在第四象限，则a的值可以为4 重难点01 直角坐标系中点的坐标 1．如果点在平面直角坐标系的轴上，那么点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．点在轴的右侧，到轴、轴的距离分别是7和8，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 3．已知点A的坐标为，下列说法正确的是（    ） A．若点A在y轴上，则 B．若点A在一三象限角平分线上，则 C．若点A到x轴的距离是3，则 D．若点A在第四象限，则a的值可以为4 4．点到轴的距离是1，到轴的距离是3，且点在第二象限，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是______． 6．如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为中心，把旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是___ ． 7．在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)直接写出、、三点的坐标： (2)请画出向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后的，并写出、的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形，点A、B、C的对应点分别为、、． (2)在（1）的条件下，写出点，的坐标． 重难点02 确定物体的位置 1．小东家在学校西偏北方向米处，则学校在小东家（   ） A．西偏北方向米 B．北偏西方向米 C．东偏南方向米 D．东偏南方向米 2．茂名市电白区博贺渔港是全国十大渔港之一，如题图所示，A，B是两个海上观测站的位置，A在博贺渔港O北偏东方向上，，则B在博贺渔港O的（    ）． A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏西方向 3．如图，下列能准确描述小明家相对于学校位置的是（   ） A．距离学校米处 B．南偏西方向米处 C．北偏东方向米处 D．南偏西方向米处 4．如图，在正方形网格中，点B在点A的南偏东方向上，则点B的位置可能是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 5．在平面内，下列说法能确定位置的是（    ） A．地图上，某地在东经，北纬处 B．小明在北京市四环路 C．一条船在北偏东方向上 D．小红坐在红星电影院排 6．下列命题正确的是（    ）． A．内错角相等 B．一个角的度数为，则这个角的余角和补角的度数分别为， C．甲看乙的方向为北偏东，那么乙看甲的方向南偏西 D．在同一平面内，，，是直线，且，，则 7．已知点，点，且轴，则m的值为 _____ ． 8．如果点在第四象限，则点在第______象限． 重难点03 实际问题中用坐标表示位置 1．图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 2．小明从家里出发，沿正西方向走，再沿正北方向走到达学校，如果以小明家位置为原点，以正东、正北为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，以为单位长度，则学校位置用坐标表示为（   ） A． B． C． D． 3．太原古县城是中国国家历史文化街区，下图是古县城内景点分布示意图．若隆恩寺的位置是，城隍庙的位置是，则县衙的位置是（   ） A． B． C． D． 4．如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，以二七纪念塔的位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个单位长度代表实际距离．观察图中位置，郑州博物馆对应的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 7．如图是学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示食堂、图书馆的位置； (2)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； 8．（1）如图，写出平面直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标； （2）在平面直角坐标系内描出点，，，． 重难点04 坐标系中的平移、对称 1．在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．在直角坐标系中，点关于轴对称的点是（    ） A． B． C． D． 4．春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于直线对称，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 5．已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 6．线段平行于轴，点的坐标为，点在点的右侧，且，则点的坐标是__________． 7．如图，在直角坐标系中的顶点坐标分别为，，，那么在这个坐标系中以，，，为顶点画一个平行四边形，点的坐标为______． 8．点与点关于轴对称，则________． 9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． (1)画出关于轴的对称图形（其中点分别是点的对应点）； (2)若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 重难点05 由平移方式确定点的坐标 1．在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 2．已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．已知点A的坐标是，则点A向右平移2个单位长度后的坐标是_____． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移之后点B的对应点的坐标为________． 5．已知点，将它先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是____________． 6．在平面直角坐标系中，将点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为______． 7．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若将点向下平移6个单位得到点，此时，两点关于轴对称，求点的坐标． (2)若点在第二象限，且点到轴和轴的距离之和为6，求的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上． (1)写出A、B、C三点的坐标； (2)将三角形向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到三角形，并写出、的坐标． 9．如图所示，在平面直角坐标系中，点，，，向右平移5个单位长度后得到的． (1)画出平移后的； (2)若线段上有一点P的纵坐标为m，请直接写出平移后对应的点坐标； (3)求出的面积． 重难点06 坐标与图形变换 1．如果点和点关于x轴对称，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，将该矩形沿翻折，点A的对应点为E，交x轴于点F．已知，，则点E的坐标为________． 3．已知点，，点在轴上，则的最小值为______． 4．已知点与点关于y轴对称，则________． 5．已知点和点关于轴对称，则的值是______． 6．在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2028次变换后所得的点A的坐标是______． 7．在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长为1个单位长度． (1)将向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度后得到，请画出； (2)画出关于轴对称的，并写出点，的坐标． 8．如图，请在平面直角坐标系中画出它关于轴对称的图形． 9．如图，在平面直角坐标系中的坐标分别是：． (1)将先向下平移7个单位，再向左平移2个单位得到，画出； (2)画出关于轴对称的，并写出各个顶点的坐标； 重难点07 坐标与旋转规律问题 1．在直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，将菱形绕点顺时针旋转得到菱形，按此方式绕点连续旋转2026次得到菱形．已知菱形的边长为1，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，已知点A的坐标为，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第18次旋转后点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A的坐标为，点C的坐标为，先将矩形绕点A顺时针旋转，然后再让矩形绕点O以每秒的速度顺时针旋转，则旋转2025分钟后，点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，并且．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点的坐标为 ______． 8．以原点为旋转中心，将点逆时针旋转得到点，则点的坐标为__________． 9．如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 重难点08 已知两点关于原点对称求参数 1．点与关于原点对称，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D．5 2．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A．B．C． D． 4．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 5．若点关于原点对称的点坐标为，则点的坐标为______． 6．已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点B的坐标为_______． 7．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则_． 8．平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是_________． 9．已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $