专题04 样本估计总体的五大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第二册

专题04 样本估计总体的五大常考题型 题型一：总体百分位数的估计 题型二：茎叶图考点 题型三：用中位数的代表解决实际问题 题型四：平均数的和差倍分性质 题型五：方差与标准差的高级考点 题型一：总体百分位数的估计 1．某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的70%分位数为（   ） A．26 B．32 C．35 D．38 【答案】D 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【详解】由于,这组数据的70%分位数为第5个数38， 故选：D 2．已知一组数据为，则这组数据的分位数是（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合百分位数定义即可求解. 【详解】数据从小到大排序为：，共8个，则， 则这组数据的分位数是：. 故选：C 3．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分． 【答案】86.25 【分析】利用给定的频率分布直方图，借助频率及百分位数的求法估计分位数即可． 【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 因此分位数位于内，， 所以估计这50名学生成绩的分位数为86.25分． 故答案为：86.25 4．某卫星主要用于开展低轨星座系统新技术试验，其主要功能用于记录飞行过程中观测到的低轨行星的数目，已知该卫星连续7天内观测到的低轨行星数目分别为：9，13，12，12，14，10，14，则这组样本数据的（   ） A．极差是5 B．众数是12 C．均值是12 D．50%分位数是12.5 【答案】AC 【分析】对于A，根据极差的定义分析判断，对于B，根据众数的定义分析判断，对于C，根据平均数的定义计算判断，对于D，根据百分位数的定义计算判断. 【详解】对于A，这7个数的极差为，所以A正确， 对于B，这7个数的众数为12和14，所以B错误， 对于C，这7个数的均值为，所以C正确， 对于D，这7个数从小到大排列依次为9，10，12，12，13，14，14， 因为，所以这组数的50%分位数是12，所以D错误. 故选：AC 5．高一（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，175，172，172，176，180，则这7人的第40百分位数为（    ） A．168 B．170 C．172 D．171 【答案】C 【分析】将数据按升序排列，结合百分位数的定义运算求解即可. 【详解】将数据按升序排列可得168，170，172，172，175，176，180， 因为，所以这7人的第40百分位数为第3位数172. 故选：C. 6．梵净山位于贵州省铜仁市的江口､印江､松桃三县交界处，是具有2000多年历史的文化名山.梵净山山势雄伟､层峦叠嶂，溪流纵横､飞瀑悬泻.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的分位数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直方图中频率和为即可求解； （2）由百分位数的定义，结合直方图即可求解； 【详解】（1）由图可知：，解得：. （2）根据频率分布直方图可知： ， 所以分位数在区间内，令其为， 则， 解得： 所以满意度评分的分位数为. 7．某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示. (1)估计这40名读书者中年龄分布在区间上的人数； (2)估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数； 【答案】(1)30 (2)众数为55；第80百分位数为66 【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案； （2）最高矩形中点横坐标即为众数；根据百分位数的定义可求得样本的第80百分位数； 【详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为： 所以40名读书者中年龄分布在区间上的人数为：； （2）由频率分布直方图可知，40名读书者年龄的众数约为55； 年龄在区间上的频率为： 年龄在区间上的频率为：， 故第80百分位数位于之间，设为， 所以，解得， 所以这40名读书者年龄的第80百分位数约为66. 8．甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，则甲同学数学考试成绩的第75百分位数是（    ） A．118 B．121 C．122 D．123 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义计算． 【详解】已知数据按从小到大排列为：， ，因此第75百分位数是第8个数123. 故选：D． 9．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由长方形的面积和为1求出，再由第75百分位数的定义求解； 【详解】因为，所以. 参赛成绩位于内的频率为， 第75百分位数在内， 设为，则， 解得5，即第75百分位数为85， 故选：C. 10．《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重单位：千克，根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，根据调查的数据，估计该地中学生体重的分位数是 ． 【答案】 【分析】先根据频率分布直方图判断分位数的位置，然后列方程求解即可. 【详解】因为前2组的频率和为， 前3组的频率和为， 所以分位数在内， 设分位数为，则，解得. 故答案为： 题型二：茎叶图考点 11．从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穗长度情况，那么下列说法错误的是（    ） A．小麦麦穗长度的极差是3.9 B．小麦麦穗长度的中位数等于众数 C．小麦麦穗长度的中位数小于平均数 D．小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6 【答案】B 【分析】根据茎叶图可得这14组数据，然后求极差，中位数，众数，平均数，百分位数即可求解. 【详解】由题可知最大的数是11.7，最小的数是7.8，故极差为3.9，A正确； 中位数为：；众数为：9.7； 平均数为：     ， ，故第75百分位数为：10.6， 由以上数据可知：ACD正确，B错误， 故选：B. 12．如图是某电视台主办的歌手大赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0~9中的一个），则下列结论不正确的是（　　） A．甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等 B．甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高 C．甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低 D．甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高 【答案】ABC 【分析】通过茎叶图，逐一对各项进行计算判断，从而得到结果. 【详解】对于选项A和B，甲、乙两位选手得分的茎叶图中，每个茎上的叶的数目相同， 乙的所有叶上的数字之和是37，甲的所有叶上的数字之和是20+m<30， 所以甲选手的平均分一定比乙选手的平均分低，所以选项A中的结论与选项B中的结论均不正确； 对于选项C和D，甲选手得分的中位数和众数均为85，乙选手得分的中位数和众数均为84， 所以C中结论不正确，D中结论正确. 故选：ABC. 13．某市甲、乙两个监测站在10日内分别对空气中某污染物实施监测，统计数据（单位：g/m3）如图所示，以下说法正确的是（    ） A．这10日内任何一天甲监测站的大气环境质量均好于乙监测站 B．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的中位数小于乙监测站读数的中位数 C．这10日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值是167 D．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的平均值小于乙监测站读数的平均值 【答案】C 【分析】根据茎叶图数据逐个判断各个选项即可. 【详解】由茎叶图易知A错误； 甲监测站污染物浓度的中位数是，乙监测站污染物浓度的中位数是167，B错误； 这10日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值，即众数是167，C正确； 甲监测站该污染物浓度的平均值 ，，D错误; 故选:C． 14．第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行．中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．第一场得分的中位数为 B．第二场得分的平均数为 C．第一场得分的极差大于第二场得分的极差 D．第一场与第二场得分的众数相等 【答案】ABD 【分析】结合选项逐个分析，中位数从小到大排序取中间位置可得，平均数利用公式可得，极差利用最大值与最小值的差可得，众数通过观察数字出现的次数最多可得. 【详解】对于A，将第一场得分按从小到大排序可知中位数为，A正确； 对于B，第二场得分的总分为，则平均数为，B正确； 对于C，第一场得分的极差为，第二场得分的极差为，C错误； 对于D，第一场和第二场得分的众数均为0，D正确． 故选：ABD． 15．某组数据的茎叶图如图所示，其众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据茎叶图中数据算出即可. 【详解】由图中数据可得， 所以 故选：A 16．第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．第一场得分的中位数为 B．第二场得分的平均数为 C．第一场得分的极差大于第二场得分的极差 D．第一场与第二场得分的众数相等 【答案】C 【分析】根据茎叶图按顺序排列第一场、第二场得分分数，中间两数的平均数即为中位数，出现次数最多的数为众数，最大数减最小数为极差，求出相应数据即可判断各项正误. 【详解】由茎叶图可知第一场得分为：0,0,0,0,0,2,3,7,10,12,17,19，中位数为，众数为0，极差为19，第二场得分为：0,0,0,0,3,6,7,7,9,10,10,24，众数为0，平均数为，极差为24，所以选项C的说法是错误的. 故选：C 【点睛】本题考查茎叶图，根据茎叶图计算样本数据的中位数、众数及平均数，属于基础题. 17．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下．由此可估计甲，乙两班同学的数学成绩情况，则下列结论不正确的是（    ）    A．甲班数学成绩的极差比乙班大 B．甲班数学成绩的中位数比乙班大 C．甲班数学成绩的平均值比乙班小 D．甲班数学成绩的方差比乙班小 【答案】C 【分析】由茎叶图计算极差、中位数、平均数分别判断ABC，由数据的集中程度判断D. 【详解】对于A，甲、乙班数学成绩的极差分别为，故A正确； 对于B，甲、乙班数学成绩的中位数分别为，故B正确； 对于C，甲班数学成绩的平均数为， 乙班数学成绩的平均数为， 故C错误； 对于D，从茎叶图可以看出，甲班的数学成绩比乙班的数学成绩较为集中，即甲班数学成绩的方差比乙班小，故D正确； 故选：C. 18．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为 ． 【答案】13 【分析】根据茎叶图计算平均数和中位数即可求解. 【详解】由甲班的平均分和乙班的中位数可得： ，解得， 故， 故答案为：13 19．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（    ） A．95，94 B．92，86 C．99，86 D．95，91 【答案】B 【分析】从茎叶图进行数据分析,利用中位数和众数的定义即可得到. 【详解】从茎叶图进行数据分析可得： 把数据从小到大排列得到：76，79，81，83，86，86，87，91，92，94，95，96，98，99，101，103，114 所以中位数是92，众数为86. 故选：B 20．甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委评分情况的茎叶图如图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86．若正实数a、b、G满足：，，则的最小值为 ． 【答案】/2.25 【分析】结合茎叶图，由条件求出，由此可得，再由基本不等式求的最小值. 【详解】因为甲班成绩的中位数为81，故． 因为乙班成绩的平均数是86，所以 解方程得． 因为，所以，又G为正实数，所以． 因为，且a、b为正实数，所以，， 从而，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 题型三：用中位数的代表解决实际问题 21．箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名.在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上､下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）.图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图.AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重.则（    ） A．该地区2023年5月有严重污染天气 B．该地区2023年6月的AQI值比5月的AQI值集中 C．该地区2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中 D．从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月 【答案】ACD 【分析】根据给定信息，结合图示，逐项判断即得. 【详解】对于A，图2所示中5月份有AQI值超过200的异常值，A正确； 对于B，C，图2中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说明5月的AQI值比6月的AQI值集中，B错误，C正确； 对于D，虽然5月有严重污染天气，但从图 2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小， AQI值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月，D正确. 故选：ACD 22．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩（满分100分）统计如下表： 班级 平均分 众数 中位数 甲班 79 70 87 乙班 79 70 79 (1)请你对下面的一段话给予简要分析： 甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！” (2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据中位数的数值特征即可求解； （2）分别从中位数和平均分进行分析即可. 【详解】（1）由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好． （2）甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，说明两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助； 乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率． 23．某次考试后．某班成绩的平均分为85，中位数82，众数为80．后发现漏计算了一个同学的成绩，他的得分为85．当补上该生成绩后，该班成绩平均值、中位数、众数分别会有什么样的影响？ 【答案】平均值不变；中位数可能不变，可能变大；众数可能不变，也可能变为80和85 【分析】平均值不受影响；原中位数和众数都小于平均数，可得中位数的变化情况；众数通常不会因为一个数据而受影响，最极端的情况是在原先统计时，85分的学生恰好比80分的学生少一人可判断众数. 【详解】平均值不变，因为漏掉的这名学生的得分恰好是平均数；原中位数和众数都小于平均数，因此，补上这名学生的成绩后，中位数可能不变，可能变大；而众数通常不会因为一个数据而受影响，最极端的情况是在原先统计时，85分的学生恰好比80分的学生少一人，这时80仍然是众数，85也是众数，所以众数可能不变，也可能变为80和85. 24．某市有11名选手参加了田径男子100米赛的选拔比赛，前5名可以参加省举办的田径赛，如果各个选手的选拔赛成绩均不相同，选手小强已经知道了自己的成绩，为了判断自己能否参加省举办的田径赛，他还需要知道这11名选手成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】中位数恰好是第6名，比中位数成绩高即可确认自己能否进入省田径赛． 【详解】因为11名选手成绩的中位数恰好是第6名，知道了第6名的成绩， 小强就可以判断自己是否能参加省举办的田径赛了，其余数字特征不能反映名次． 故选：B． 25．位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛.则其他位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（   ） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据中位数的定义判断可得出结论. 【详解】判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前名， 所以只要知道其他位同学的成绩中是不是有个高于他， 也就是把其他位同学的成绩排列后看第个的成绩即可， 小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛， 这个第名的成绩就是这位同学成绩的中位数. 故选：C. 26．学校田径运动会有 15名运动员参加跳高比赛，预赛成绩各不相同，取前 8 名参加决赛，某同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道这15 名运动员成绩的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】根据第8名运动员的成绩是这组数据的中位数可判断. 【详解】共有15名运动员参加比赛，取前8名参加决赛，将15名运动员的成绩从大到小排列，第8名运动员的成绩是这组数据的中位数，所以为了判断自己是否能进入决赛，还需要知道这15 名运动员成绩的中位数. 故选：C. 27．高三年级有名同学参加男子百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道名同学成绩的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】成绩的中位数为排名第的同学的成绩，由此可确定只需知道中位数即可. 【详解】共名同学参加百米竞赛，则成绩的中位数为排名第的同学的成绩， 若要判断自己是否能进入决赛，只需知道名同学成绩的中位数. 故选：C. 28．某机构调查了17种食品的卡路里含量，结果如下： 173，191，182，190，172，147，146，139，175，136，179，153，107，195，135，140，138. (1)求这组数据的平均数、中位数； (2)用哪种集中趋势参数来代表这组数据更加合适？ 【答案】(1)平均数为158.71，中位数为153 (2)中位数 【分析】（1）将这组数据按从小到大排列，即可求出平均数和中位数； （2）根据该组数据有极端值107可判断. 【详解】（1）将这组数据按从小到大排列为107，135，136，138，139，140，146，147，153，172，173，175，179，182，190，191，195， 所以平均数为， 中位数为153； （2）由于该组数据有极端值107，所以用中位数来代表更加合适. 29．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（    ） A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，众数为0 C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为1，中位数为1 【答案】D 【分析】利用平均数、中位数、众数的定义及计算公式，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：对A：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，4，4，4，4，6，8， ∴A不正确； 对B：∵平均数和众数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，0，0，0，0，0，10， ∴B不正确； 对C：∵中位数和众数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，2，2，3，3，3，8， ∴C不正确； 对D：假设过去10天新增疑似病例数据存在一个数据x，x≥8，而总体平均数为1，则过去10天新增疑似病例数据中至少有7个0，故中位数不可能为1， 所以假设不成立，故符合没有发生大规模群体感染的标志， ∴D正确； 故选：D. 30．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（    ） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．众数 【答案】C 【分析】根据题意，结合数据的中位数的概念进行分析，即可求解. 【详解】判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，其成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数. 故选：C. 题型四：平均数的和差倍分性质 31．若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是 ． 【答案】10，12 【分析】利用平均数、方差的性质可得答案. 【详解】若一组数据的平均数为4，方差为3， 则数据的平均数和方差分别是. 故答案为：. 32．已知数据的平均数为2，那么数据的平均数为 ． 【答案】7 【分析】根据平均数的概念和公式计算即可. 【详解】因为的平均数为2，所以. 所以的平均数为： . 故答案为：7. 33．已知一组数的平均数为3，则另一组数的平均数为 . 【答案】7 【分析】利用平均数的定义，先求得的总和即可得出结果. 【详解】根据题意可得，所以； 则， 所以其平均数为. 故答案为：7 34．样本的平均数为5，则的平均数为 ． 【答案】12 【分析】由的平均数求的平均数,可由平均数的性质可直接得到. 【详解】样本的平均数为5即, 则的平均数为. 故答案为：12. 35．已知一组数据，，，，，的平均数为16，则另一组数据，，，，，的平均数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据平均数的定义直接计算. 【详解】由题意得， 得，所以所求的平均数为． 故选：C 36．一个样本的数据在60左右波动，各个数据都减去60后得到一组新数据，算得其平均数是6，则这个样本的平均数是（　　） A．6.6 B．6 C．66 D．60 【答案】C 【分析】利用新老数据平均数的关系可求原来数据的平均数. 【详解】设原来的一组数据是， 则每一个数据都减去得到新数据且求得新数据的平均数是， 所以，即， 所以，故样本的平均数是. 故选：C 37．（1）一般地，如果的平均数为，且a，b为常数，那么的平均数为 ． （2）在分层抽样时，如果将总体分为k层，第j层抽取的样本量为，样本平均数为，．记，则所有数据的样本平均数为 ． 【答案】 【分析】根据平均数的计算公式分析即可. 【详解】（1）由题意，，故 ； （2）由题意，第j层抽取的样本总和为，故总体的总和为，又总量为，故所有数据的样本平均数为. 故答案为：； 38．为了增加学生的锻炼机会，某中学决定每年举办一次足球和乒乓球比赛，据统计，近年来，参加足球比赛的学生人数分别为、、、、，它们的平均数为，已知这年，参加乒乓球比赛的学生人数分别为、、、、，它们的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平均数公式可求得结果. 【详解】由已知可得， 由平均数公式可得 . 故选：A. 39．已知：，，…，的平均数为a．则，，…，的平均数是 ． 【答案】或 【分析】由题可得,再利用平均数的定义求解即可 【详解】由题,所以, 则，，…，的平均数: , 故答案为： 40．若一组数据的平均数为3，则的平均数为（    ） A．3 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】根据平均数的和差倍分性质计算即可. 【详解】根据题意可知． 对于， 其平均数为． 故选B． 题型五：方差与标准差的高级考点 41．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】根据平均数，极差，中位数的计算即可比较求解，利用方差的性质即可求解C. 【详解】样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为，极差为4，中位数为2， 去掉1和5后的数据的平均数为，极差为1，中位数为2，故平均数和极差都发生变化，中位数不改变， 由于去掉1和5后，数据的波动性更小，故相比较于原数据，方差变小，故ABC错误，D正确. 故选：D. 42．样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2，7的极差为，中位数为，则 . 【答案】/ 【分析】将数据从小到大排列，求出数据的极差和中位数，即可求得答案. 【详解】由题意知样本数据从小到大排列为2，6，7，10，15，18，20，24，42，57， 故极差为，中位数为， 故， 故答案为： 43．样本数据5.8，5.9，5.9，6.0，6.1，6.1，6.3，6.1的极差与第70百分位数之差为（    ） A． B． C．5.6 D．5.8 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用极差、第70百分位数的定义求解. 【详解】依题意，样本数据从小到大排列为5.8，5.9，5.9，6.0，6.1，6.1，6.1，6.3，极差为， 由，得样本数据的第70百分位数为6.1， 所以所求差为. 故选：B 44．已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【答案】C 【分析】根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图， 对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于， 所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确； 对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学， 其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确； 对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差， 由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确； 对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性， 所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确. 故选：C. 45．设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据平均数与标准差的性质，结合已知条件可得，然后根据二次函数与指数函数的性质求解最大值． 【详解】样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 则样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 依题意有，得． 由，知在上单调递增， 当时，取到最小值， 所以， 即当时，取得最大值4． 故选：C． 46．若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方差的计算公式直接计算. 【详解】设数据，，，的平均数为， 则方差， 即； 则数据，，，的平均数为， 则方差， 故选：C. 47．一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平均数、方差、极差、中位数定义及性质求解即可． 【详解】由题意可得，，，. 故选：ACD． 48．有一组样本数据：6，，，…，，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，…，的方差为 . 【答案】 【分析】代入平均数和方差公式，即可求解. 【详解】根据题意新数据的平均数为， 设其方差为， 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 49．若数据的平均数为2，方差为3，则（   ） A．数据，，，的平均数为20 B． C．数据，，，的标准差为 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用平均数，方差公式逐项计算即可求解. 【详解】对于A，由平均数公式，得数据，，…，的平均数为，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由方差公式，得数据，，…，的方差为，标准差为，C正确； 对于D，由， 得，即， 所以，D正确. 故选：BCD 50．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为 和 ． 【答案】 19 4 【分析】根据平均数和标准差的性质可得选项. 【详解】解：∵，，…，的平均数为10，标准差为2， ∴，，…，的平均数为：，标准差为：． 故答案为：19，4 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 样本估计总体的五大常考题型 题型一：总体百分位数的估计 题型二：茎叶图考点 题型三：用中位数的代表解决实际问题 题型四：平均数的和差倍分性质 题型五：方差与标准差的高级考点 题型一：总体百分位数的估计 1．某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的70%分位数为（   ） A．26 B．32 C．35 D．38 2．已知一组数据为，则这组数据的分位数是（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 3．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分． 4．某卫星主要用于开展低轨星座系统新技术试验，其主要功能用于记录飞行过程中观测到的低轨行星的数目，已知该卫星连续7天内观测到的低轨行星数目分别为：9，13，12，12，14，10，14，则这组样本数据的（   ） A．极差是5 B．众数是12 C．均值是12 D．50%分位数是12.5 5．高一（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，175，172，172，176，180，则这7人的第40百分位数为（    ） A．168 B．170 C．172 D．171 6．梵净山位于贵州省铜仁市的江口､印江､松桃三县交界处，是具有2000多年历史的文化名山.梵净山山势雄伟､层峦叠嶂，溪流纵横､飞瀑悬泻.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的分位数. 7．某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示. (1)估计这40名读书者中年龄分布在区间上的人数； (2)估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数； 8．甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，则甲同学数学考试成绩的第75百分位数是（    ） A．118 B．121 C．122 D．123 9．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（    ） A． B． C． D． 10．《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重单位：千克，根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，根据调查的数据，估计该地中学生体重的分位数是 ． 题型二：茎叶图考点 11．从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穗长度情况，那么下列说法错误的是（    ） A．小麦麦穗长度的极差是3.9 B．小麦麦穗长度的中位数等于众数 C．小麦麦穗长度的中位数小于平均数 D．小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6 12．如图是某电视台主办的歌手大赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0~9中的一个），则下列结论不正确的是（　　） A．甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等 B．甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高 C．甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低 D．甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高 13．某市甲、乙两个监测站在10日内分别对空气中某污染物实施监测，统计数据（单位：g/m3）如图所示，以下说法正确的是（    ） A．这10日内任何一天甲监测站的大气环境质量均好于乙监测站 B．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的中位数小于乙监测站读数的中位数 C．这10日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值是167 D．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的平均值小于乙监测站读数的平均值 14．第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行．中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．第一场得分的中位数为 B．第二场得分的平均数为 C．第一场得分的极差大于第二场得分的极差 D．第一场与第二场得分的众数相等 15．某组数据的茎叶图如图所示，其众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 16．第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．第一场得分的中位数为 B．第二场得分的平均数为 C．第一场得分的极差大于第二场得分的极差 D．第一场与第二场得分的众数相等 17．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下．由此可估计甲，乙两班同学的数学成绩情况，则下列结论不正确的是（    ）    A．甲班数学成绩的极差比乙班大 B．甲班数学成绩的中位数比乙班大 C．甲班数学成绩的平均值比乙班小 D．甲班数学成绩的方差比乙班小 18．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为 ． 19．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（    ） A．95，94 B．92，86 C．99，86 D．95，91 20．甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委评分情况的茎叶图如图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86．若正实数a、b、G满足：，，则的最小值为 ． 题型三：用中位数的代表解决实际问题 21．箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名.在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上､下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）.图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图.AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重.则（    ） A．该地区2023年5月有严重污染天气 B．该地区2023年6月的AQI值比5月的AQI值集中 C．该地区2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中 D．从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月 22．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩（满分100分）统计如下表： 班级 平均分 众数 中位数 甲班 79 70 87 乙班 79 70 79 (1)请你对下面的一段话给予简要分析： 甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！” (2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议． 23．某次考试后．某班成绩的平均分为85，中位数82，众数为80．后发现漏计算了一个同学的成绩，他的得分为85．当补上该生成绩后，该班成绩平均值、中位数、众数分别会有什么样的影响？ 24．某市有11名选手参加了田径男子100米赛的选拔比赛，前5名可以参加省举办的田径赛，如果各个选手的选拔赛成绩均不相同，选手小强已经知道了自己的成绩，为了判断自己能否参加省举办的田径赛，他还需要知道这11名选手成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 25．位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛.则其他位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（   ） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．以上都不对 26．学校田径运动会有 15名运动员参加跳高比赛，预赛成绩各不相同，取前 8 名参加决赛，某同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道这15 名运动员成绩的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 27．高三年级有名同学参加男子百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道名同学成绩的（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 28．某机构调查了17种食品的卡路里含量，结果如下： 173，191，182，190，172，147，146，139，175，136，179，153，107，195，135，140，138. (1)求这组数据的平均数、中位数； (2)用哪种集中趋势参数来代表这组数据更加合适？ 29．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（    ） A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，众数为0 C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为1，中位数为1 30．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（    ） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．众数 题型四：平均数的和差倍分性质 31．若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是 ． 32．已知数据的平均数为2，那么数据的平均数为 ． 33．已知一组数的平均数为3，则另一组数的平均数为 . 34．样本的平均数为5，则的平均数为 ． 35．已知一组数据，，，，，的平均数为16，则另一组数据，，，，，的平均数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 36．一个样本的数据在60左右波动，各个数据都减去60后得到一组新数据，算得其平均数是6，则这个样本的平均数是（　　） A．6.6 B．6 C．66 D．60 37．（1）一般地，如果的平均数为，且a，b为常数，那么的平均数为 ． （2）在分层抽样时，如果将总体分为k层，第j层抽取的样本量为，样本平均数为，．记，则所有数据的样本平均数为 ． 38．为了增加学生的锻炼机会，某中学决定每年举办一次足球和乒乓球比赛，据统计，近年来，参加足球比赛的学生人数分别为、、、、，它们的平均数为，已知这年，参加乒乓球比赛的学生人数分别为、、、、，它们的平均数为（    ） A． B． C． D． 39．已知：，，…，的平均数为a．则，，…，的平均数是 ． 40．若一组数据的平均数为3，则的平均数为（    ） A．3 B．6 C．5 D．2 题型五：方差与标准差的高级考点 41．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数 42．样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2，7的极差为，中位数为，则 . 43．样本数据5.8，5.9，5.9，6.0，6.1，6.1，6.3，6.1的极差与第70百分位数之差为（    ） A． B． C．5.6 D．5.8 44．已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 45．设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（    ） A．1 B． C．4 D． 46．若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（   ） A． B． C． D． 47．一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（    ） A． B． C． D． 48．有一组样本数据：6，，，…，，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，…，的方差为 . 49．若数据的平均数为2，方差为3，则（   ） A．数据，，，的平均数为20 B． C．数据，，，的标准差为 D． 50．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为 和 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $