专题03 频率分布直方图的五大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第二册

专题03 频率分布直方图的五大常考题型 题型一：根据频率分布直方图求众数 题型二：根据频率分布直方图求平均数 题型三：根据频率分布直方图求中位数 题型四：根据频率分布直方图求方差、标准差 题型五：根据频率分布直方图求频数、频率 题型一：根据频率分布直方图求众数 1．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式．某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并记录得分（满分：100，所有人的成绩都在内），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）、众数及中位数． 【答案】(1) (2)平均数72分，众数约为75（分），中位数为（分） 【分析】（1）由所有频率之和为1列方程即可求解； （2）由频率分布直方图中平均数、众数以及中位数的计算公式直接计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，即，得． （2）由频率分布直方图可知这100人竞赛成绩的平均数约为 （分）． 众数约为（分）． 前3组的频率为，前4组的频率为， 所以中位数为（分）． 2．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数； (2)这50名学生的平均成绩． 【答案】(1)众数75，中位数. (2)76.2 【分析】（1）运用众数概念，中位数概念求解， （2）根据平均值计算方法求解. 【详解】（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求， 所以众数应为． 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等， 即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等． 因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求． 因为， 所以前三个小矩形面积的和为0.3．而第四个小矩形面积为，， 所以中位数应位于第四个小矩形内． 设中位数为x，， 解得， 故中位数应约为． （2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值， 取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可． 所以平均成绩为 ． 3．某社区通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据，并绘制出如图所示的频率分布直方图，由该图可以估计（    ） A．平均数>中位数 B．中位数>平均数 C．中位数>众数 D．众数>平均数 【答案】AC 【分析】首先计算众数，再估算中位数和平均数，或是根据频率分布直方图的特征判断平均数和中位数的大小. 【详解】由图可知，众数为， 估计中位数为，得， 估计平均数， 并且也可以从直方图的特征判断，此直方图在右边“拖尾”，所以平均数大于中位数. 所以平均数>中位数，中位数>众数. 故选：AC 4．某校100名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成、、、、五组（成绩均在内），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．a的值为0.035 B．估计这100名学生成绩的众数是75 C．估计这100名学生成绩的平均数为78 D．估计这100名学生成绩的中位数为 【答案】ABD 【分析】根据频率之和为1求判断A；根据众数定义判断B，根据频率直方图求平均值判断C，根据中位数的求法判断D. 【详解】由题意知，解得，故A正确； 估计这100名学生成绩的众数是，故B正确； 估计这100名学生成绩的平均数为，故C错误； 设这100名学生成绩的中位数为m，所以，，解得，故D正确． 故选：ABD． 5．某校高一（3）班的40位同学对班委会组织的主题班会进行了评分（满分100分），并绘制出如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ）    A．评分在区间内的有2人 B．评分的中位数在区间内 C．评分的众数是90分 D．评分的平均数大于90分 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图可计算内的频数，判断A；根据中位数以及众数以及平均数的计算方法可判断B，C，D. 【详解】根据频率分布直方图可知，评分在区间内的人数为，A错误； 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 故可以判断中位数在区间内，B正确； 由于众数为最高小长方形底边中点的横坐标，故众数是89分，C错误； 评分的平均数为： （分），D错误． 故选：B． 6．某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），将成绩分成，，，，五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．的值为0.015 B．这40名学生数学考试成绩的众数的估计值为75 C．总体中成绩落在内的学生人数约为105 D．估计这40名学生数学考试成绩的约为87 【答案】ABD 【分析】根据频率和等于1可求出，从而可判断A；根据众数的概念可判断B；求出成绩落在内的频率，再乘以总人数可判断C；求出各组对应的频率，可知在内，列式求解即可判断D. 【详解】根据频率和等于1得， 解得，故A正确； 由频率分布直方图可知，众数的估计值为75，故B正确； 总体中成绩落在内的学生人数约为，故C错误； 各组对应的频率分别为0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，故在内， 设，则，解得，故D正确． 故选：ABD. 7．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（    ） ①的值为0.005； ②估计成绩低于60分的有25人； ③估计这组数据的众数为75； ④估计这组数据的第85百分位数为86． A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】B 【分析】由所有组频率之和为1求得a，再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果. 【详解】对于①，由，得.故①正确； 对于②，估计成绩低于60分的有人.故②错误； 对于③，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75.故③正确； 对于④，设这组数据的第85百分位数为m，则，解得：，故④正确. 故选：B 8．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：高一参赛学生的成绩的众数、中位数. 【答案】众数为65，中位数为65 【分析】频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数. 【详解】用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值， 得众数为， 因为， 所以中位数在之间，设中位数为， 则，解得，所以中位数为. 9．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图).图中从左到右各小矩形面积之比为2:4:17:15:9:3，第二小组频数为12. (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)通过频率分布直方图估计总体的平均数、中位数、众数. 【答案】(1)频率是，样本容量是 (2)平均数为121.8，中位数为，众数为115 【分析】（1）直接根据公式计算频率和样本容量得到答案； （2）根据频率分布直方图分别求众数、平均数和中位数. 【详解】（1）第二组的频率是，样本容量是. （2）有频率分布直方图可知，在频率分布直方图中最高的小长方形的底边的中点就是这组数据的众数，即样本众数是115， 因为各组的频率分别是：0.04，0.08，0.34，0.30，0.18，0.06， 所以样本平均数是： ∵ ∴中位数在第四组，不妨设中位数为， 则有，解得 所以样本中位数为. 于是可以估计样本平均数为121.8，中位数为，众数为115. 10．2022年起，某省将实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85：C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70：D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)求图中a的值； (2)求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数； (3)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数） 【答案】(1) (2)众数75分；中位数分，平均数71分 (3)74分 【分析】（1）由各组频率之和为1列方程求解即可； （2）由频率分布直方图中众数、平均数和中位数的计算公式代入即可得出答案； （3）已知等级达到B及以上所占排名等级占比为，即为频率分布直方图的中位数，求解即可. 【详解】（1）由题意，解得； （2）抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为分； 由频率直方图可得前三组的频率和为， 前四组的频率和为，故中位数落在第四组， 设中位数为x，则，解得， 故抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为分， 抽取的这100名学生的原始成绩的平均数的估计值为： 分； （3）由已知等级达到B及以上所占排名等级占比为， 由（2）可得，中位数， 故原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上． 题型二：根据频率分布直方图求平均数 11．某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求实数的值. (2)在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 【答案】(1) (2)2 (3)98 【分析】（1）根据频率和为1求的值. （2）根据分层抽样的方法求解. （3）利用频率分布直方图估计平均数即可. 【详解】（1）由频率分布直方图知： ， 解得. （2）采取分层抽样，[130,150]的学生个数为：， 即成绩在的学生有2名. （3）由频率分布直方图知：平均数为： . 12．某山区地方政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展当地的特色黄桃种植产业．为了了解某村黄桃的质量（单位：克）分布规律，现从该村的黄桃树上随机摘下n个黄桃组成样本进行测重，其质量均分布在区间内，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示，已知质量分布在区间内的黄桃有16个．    (1)求n的值和质量分布在区间内的黄桃个数； (2)已知该村的黄桃树上大约有10万个黄桃待出售，某电商欲以5元/千克的价格收购该村的黄桃，请估计该村黄桃的销售收入． 【答案】(1)，20（个）． (2)189750（元）． 【分析】（1）由质量分布在区间内的黄桃有16个结合频率分布直方图列方程求解，然后由各组的频率和为1列方程可求出，从而可求出质量分布在区间内的黄桃个数； （2）根据频率分布直方图求出该村黄桃的单个质量的平均数，从而可估算出该村黄桃的总质量，进而可求出该村黄桃的销售收入. 【详解】（1）因为质量分布在区间内的黄桃有16个， 所以，解得． ，解得， 则质量分布在区间内的黄桃个数为（个）． （2）该村黄桃的单个质量的平均数为（克）． 故该村黄桃的总质量大约为（千克）， 故估计该村黄桃的销售收入为（元）． 13．某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩（满分：100分），按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计本次竞赛成绩的平均分为 分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）该校准备对本次竞赛中分数位于前的学生颁发荣誉证书，试问获得荣誉证书的学生分数不低于 分． 【答案】 75.4 86 【分析】根据频率分布直方图的特征求出，结合平均数的定义计算即可求解；确定分位数所在的组，结合百分位数的定义计算即可. 【详解】（1）根据题意可得，解得． 所以估计本次竞赛成绩的平均分为（分）． （2）由频率分布直方图可得，最后一组的频率为， 后两组的频率之和为， 设获得荣誉证书的学生分数不低于x， 则，， 解得，故获得荣誉证书的学生分数不低于86分． 故答案为：75.4；86 14．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，求数学成绩的平均分． 【答案】72分 【分析】根据频率直方图的平均数求法求数学成绩的平均分. 【详解】由题图知，这次数学成绩的平均数为（分）． 15．在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下.某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； (2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数. 【答案】(1)4 (2)；平均数为71；中位数为 【分析】（1）先分别求出的频率，进而由10乘以抽样比可求答案； （2）根据频率的性质，利用各小长方形的面积和等于1可求；利用各组中值与频率可估计平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，进而利用面积等于0.5即可求解. 【详解】（1）从图中可知组距为，则的频率分别为， 从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时， 成绩不高于50分的人数为（人）. （2）由图可知，解得. 使用组中值与频率可估计平均数为 . 因为且， 所以中位数在内， 设估计的中位数为，则，得. 16．某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是（    ）    A． B．长度的平均数是93 C．长度的中位数一定落在区间内 D．长度落在区间内的个数为35 【答案】A 【分析】按照频率分布直方图的含义，结合相关公式即可得解. 【详解】对于A，由频率和为1，得，解得，故A错误； 对于B，根据频率分布直方图长度的平均数为 ，故B正确； 对于D，长度落在区间内的个数为，故D正确； 对于C，有个数，内有个数， 所以长度的中位数一定落在区间内，故C正确. 故选：A 17．某校1000名学生在高一测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），则（   ）    A． B．约有200人的成绩不低于110分 C．约有60人的成绩低于70分 D．本次考试的平均分约为93.6分 【答案】ABD 【分析】借助频率分布直方图定义计算可得A；借助频率分布直方图计算对应频数可得B、C；借助平均数定义计算可得D. 【详解】对A：，解得，故A正确； 对B：，则约有200人的成绩不低于110分，故B正确； 对C：，故约有120人的成绩低于70分，故C错误； 对D：， 故本次考试的平均分约为93.6分，故D正确. 故选：ABD. 18．为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（    ） A．图中的值为0.025 B．样本中底部周长不小于110cm的树木有12株 C．估计该片经济林中树木的底部周长的分位数为115 D．估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 【答案】AC 【分析】根据频率分布直方图的性质，以及平均数和百分位数，以及频数与频率的计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A正确； 对于B中，由频率分布直方图，可得不小于110 cm的频数为， 所以不小于110 cm的树木有株，所以B错误； 对于C中，由频率分布直方图得，前三个矩形的面积为， 前四个矩形的面积为， 所以分位数位于区间，则，所以C正确； 对于D中，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ，所以D错误； 故选：AC. 19．2023年寒假期间，哈尔滨成为了新的旅游打卡城市，某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来哈尔滨旅游的100名游客进行了有关哈尔滨旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求x的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的平均数及中位数（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）． 【答案】(1) (2)平均数为10.64，中位数是10.75 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据中位数的计算公式即可求解. 【详解】（1），所以． （2）设这100名游客调查问卷中得分的平均数为， 则． 因为，， 所以中位数在8和12之间， 设中位数是t，所以，可得． 20．在某市高三年级等行的一次数学期末考试中，为了解考生的成绩情况，随机抽取了50名考生的成绩，作出的频率分布直方图如图，成绩排在前的学生将获得“优秀学生”称号，则（    ） A．估计该市考生的成绩低于60分的比例为 B．估计该市考生成绩的众数为60 C．估计该市考生成绩的平均数为70.6 D．估计该市82分以上的考生将获得“优秀学生”称号 【答案】AC 【分析】先利用直方图的性质，直接判断选项A， B， C；通过估算面积的方法，以样本频率估计总体概率来判断选项D. 【详解】对于A，由直方图的性质知：， 解得，所以样本成绩低于分的频率为； 所以以样本的频率估计总体概率，故A正确； 对于B，总体众数的估计值是直方图面积最大的直方块横坐标对应范围的中点值， 即众数为，故B错误； 对于C，总体平均数的估计值为各直方块中点值与各块面积的乘积的和， ，故C正确； 对于D，样本中分以上的占比， 估计总体荣获“优秀学生”的分数为：，故D错误. 故选：AC. 题型三：根据频率分布直方图求中位数 21．某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中a的值； (2)若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； (3)试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 【答案】(1) (2) (3)15.3125 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1可求得的值. （2）首先求出该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率，从而求得人数. （3）根据中位数的概念即可求出该单位职工参与志愿服务次数的中位数. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得． （2）由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为， 则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为． （3）因为， 所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内． 设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则， 解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125． 22．2025年6月6日适值第三十个全国爱眼日，本届爱眼日活动的主题确定为“守护光明，点亮未来”．当日，市疾病预防控制中心采取分层抽样方法，从立德中学2000名高二学生群体中随机抽取100名，开展视力状况专项调查．根据所得数据构建的频率分布直方图显示，自左至右的四个相邻矩形区域对应的各组频率依次为：0.125，0.175，0.3，0.25． (1)试求图中a的值，并据此推算该校高二学生视力中位数的估值； (2)基于样本数据分析，估计该校高二学生视力不低于5.0的学生人数． 【答案】(1)，中位数为； (2)人. 【分析】（1）根据直方图求出第五组的频率，结合组距求参数值，再由中位数定义，结合直方图求中位数； （2）首先确定5.0处于第四组的正中间，再由频率估计学生人数. 【详解】（1）由题意，第五组的频率，组距， 所以， 由题意：从左到右每组的频率依次为0.125，0.175，0.3，0.25，0.15， 所以中位数在第三组的处，其值为． （2）由题意，第四组的频率为0.25，而5.0处于第四组的正中间， 所以视力不低于5.0的频率为， 根据样本估计总体，该校高二学生中视力不低于5.0的学生有人． 23．（多选）为了更好地支持中小型企业的发展，某市决定对部分中小型企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业的年收入情况，并根据所得数据作出了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ）    A．样本在区间[500,700]内的频数为18 B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税收政策，估计当地有30％的中小型企业能享受到减免税收政策 C．样本的中位数小于350万元 D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数不超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 【答案】ABD 【分析】由频率分布直方图的数据，先求出样本在区间,内的频率，再利用样本容量、频率、频数的关系求解，即可判断A，求出年收入在300万元以内的企业的频率，即可判断B，利用频率分布直方图中位数的求解方法，求出中位数，即可判断C，利用频率分布直方图中平均数的求解方法，求出平均数，即可判断D． 【详解】由频率分布直方图可得，，解得， 所以样本在区间,内的频数为，故A正确； 年收入在300万元以内的企业的频率为，故B正确； ，故中位数再,之间，设中位数为， 则有，解得，故C错误； 收入的平均数为，故D正确． 故选：ABD． 24．某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为 .（结果保留整数） 【答案】 【分析】由概率之和为计算出后，结合中位数的定义计算即可得. 【详解】，解得， 由，， 设中位数为，则， 有，解得. 故答案为：. 25．众数､平均数､中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图所示的分布形态中，平均数､众数和中位数的大小关系是（    ）（由小到大排列） A．众数中位数平均数 B．平均数众数中位数 C．中位数平均数众数 D．众数平均数中位数 【答案】A 【分析】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势，判断即可得出结论. 【详解】众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处. 因为直方图第二、三列所占数据较多，且在右边拖尾， 所以平均数大于中位数，在第三､四列的位置，因此有众数<中位数<平均数. 故选：A. 26．广汉三星堆半程马拉松比赛是“跑遍四川”德阳站赛事．21.0975公里，每一步都来之不易，每一个向前奔跑的脚步，汇聚成永不停歇的力量，点亮这座城市的精彩．为积极参与马拉松比赛，广汉中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是． (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的中位数（结果精确到0.01）； (3)根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？ 【答案】(1)0.005 (2)71.67 (3)2250 【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得实数的值； （2）设中位数为，根据中位数的定义可得出相关的等式，解之即可； （3）求出样本中小于80分钟之频率，总数乘以频率可得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1， 可得， 解得． （2）前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以中位数， 所以， 解得． （3）样本中80分钟之前频率为， 因此估计该校3000名学生中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的学生人数为． 27．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在至之间；女性身高普遍在至之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在至之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，其中． (1)求直方图中的值； (2)估计这个阵营女子身高的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (3)请根据频率分布直方图估计阅兵阵营中女子身高的中位数． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据频率和为1，即可求解； （2）根据频率分布直方图，结合平均数的计算公式，即可求解； （3）结合中位数公式，即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ，且， 解得：，； （2）这个阵营女子身高的平均值为 （3）前3组的频率和为， 所以中位数为. 28．2023年，贵州“村超”历时三个月，共进行98场比赛，平均每场比赛超5000万人次收看，现场观众超5万人，全网流量突破300亿次．某中学暑假社会实践小组随机抽选6000名网友对“村超”关注度进行问卷调查，并从参加问卷调查的6000人中随机抽取了100人，将他们的问卷成绩（满分100分）分为6组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)记A为事件“从参加问卷调查的所有人中随机抽取一名，该网友的成绩不低于80分”，试估计事件A发生的概率，并估计参加问卷调查的网友中成绩低于80分的人数； (2)用样本估计总体，求参加问卷调查的6000人成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）． 【答案】(1)，3600 (2)中位数为76.7分，平均数为75.5分 【分析】（1）根据频率分布直方图可计算该网友的成绩不低于80发生的概率，从而得成绩低于80分的概率，即可得成绩低于80分的人数； （2）根据频率分布直方图估计中位数和平均数即可. 【详解】（1）由题图得成绩不低于80分的频率为，所以． 参加问卷调查的网友中成绩低于80分的概率为， 所以估计参加问卷调查的网友中成绩低于80分的人数为． （2）由题图知，成绩在的频率为， 在的频率为，在的频率为， 在的频率为，前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为，因此样本的中位数位于第4组，设中位数为分， 则，所以． 样本的平均数为（分）． 所以参加问卷调查的6000人成绩的中位数为76.7分，平均数为75.5分． 29．某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的 100名学生的劳动作品的得分情况进行统计， 并绘制了如图所示的频率分布直方图， 根据图中信息，这组数据中位数的估计值为 （    ）    A．70 B．77 C．80 D．82 【答案】B 【分析】由频率之和为1求出值，由中位数公式计算中位数的估计值． 【详解】由频率之和为1得：，解得， 的频率为， 的频率为， 则中位数在内，所以这组数据中位数的估计值为， 故选：B． 30．为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，对于这5000只家食血液样本中的指标值，下列的叙述正确的为（    ）    A．估计指标值的中位数为 B．估计A指标值的80%分位数为9 C．估计A指标值的众数为7.5 D．估计A指标值的第25百分位数为 【答案】ABD 【分析】根据题意，由频率分布直方图分别计算中位数，众数以及百分位数即可得到结果. 【详解】由题意可知，，解得， 因为，， 所以中位数在之间，设中位数为，则，解得，故A正确；观察频率分布直方图可得，的频率最大，所以众数为8，故C错误； 由频率分布直方图可知，前两组的频率之和为，小于， 所以第25百分位数位于第3组，则，故D正确； 且前四组的频率之和为，所以80%分位数为9，故B正确； 故选：ABD 题型四：根据频率分布直方图求方差、标准差 31．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 【答案】(1)0.030 (2)84 (3)总平均数是62，总方差是23. 【分析】（1）利用小矩形的面积之和为1，进行求解； （2）先判断第75百分位数在，然后列方程可求得结果； （3）由频率分布直方图中数据结合方差计算公式即可解答. 【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1， ， ； （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m， 由， 得，故第75百分位数为84； （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以； 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为 32．随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注． 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人． 年龄在的老年人人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）： (1)根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数； (2)已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差．（请先推导必要的公式，再代值计算） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可； （2）先根据方差的性质推出公式，再代入题目中的数据计算即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图，平均数为. 而由于， ， 故第百分位数在区间第百分位数内，设其为. 则，得. 所以第百分位数为. （2）先证明一个结论：对，设数据的平均值和方差分别为，数据的平均值和方差分别为，则数据的平均值和方差分别为和. 证明：设数据的平均值和方差分别为，则 . 由于方差. 故，，且 . 所以 . 这就证明了结论. 回到原题，本题中，，，，，. 代入数值即知所求方差为 . 33．为了解某地区居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)估计这100位居民月均用水量的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表，保留1位小数）． (2)根据以上抽样调查数据，能否认为该地区居民每人的月均用水量符合“月均用水量超过3吨的人数不能超过全部人数的”的规定？ 【答案】(1)， (2)不能认为 【分析】（1）利用频率分布直方图即可估计这100位居民月均用水量的样本平均数和样本方差． （2）求出月均用水量超过3吨的人数占全部人数的百分比，由此可得结论． 【详解】（1）估计这100位居民月均用水量的样本平均数： ． 样本方差为． （2）月均用水量超过3吨的人数占全部人数的百分比为：， 该地区居民每人的月均用水量不符合“月均用水量超过3吨的人数不能超过全部人数”的规定． 34．为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计这100名学生的平均成绩； (2)若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差． 【答案】(1)69.5分 (2)平均数80，方差112 【分析】（1）根据频率分布直方图直接求平均数即可； （2）利用平均数和方差公式直接计算求解即可. 【详解】（1）由图表可知，这100名学生的平均成绩为分 （2）在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26， 区间的学生频率为， 在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106， 区间的学生频率为， 所以在内的所有学生测试成绩的平均数为， 方差为 35．为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为 .（用“<”连接） 【答案】 【分析】根据平均数公式及方差公式分别计算、、，即可判断； 【详解】由图甲：平均值为， ， ， ， ， ， 则标准差， 故答案为：. 36．某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图． (1)根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位； (2)已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差． 【答案】(1)，平均数为76.50分，中位数为77.14分 (2)平均数87.5分，方差30.25． 【分析】（1）根据频率和为列方程求，然后直接求解平均数和中位数即可； （2）先求出平均数，在利用方差公式计算方差即可. 【详解】（1）依题意，，得， 各组的频率依次为， 平均数为分， 中位数为分． （2）分数在区间内的人数为， 分数在区间内的人数为， 所以成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为分， 方差为. 37．某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试。已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，，····，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（参考数据：） 【答案】(1)，； (2)，得分为52分的同学的成绩没有进入到内， 得分为94分的同学的成绩进入到了内. 【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出的值，再根据平均数的定义即可求； （2）利用方差公式求出方差，然后计算出，再判断即可. 【详解】（1）因为， 所以. 此次校内测试分数的平均值估计值为： . （2）， 所以， 所以，， 所以得分为52分的同学的成绩没有进入到了内， 得分为94分的同学的成绩进入到了内. 38．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照，，…，分成9组，制成了如下图所示的频率分布直方图．    (1)求直方图中a的值； (2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差． 【答案】(1)0.30； (2)1.1136. 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出a值作答. （2）求出100户居民月均用水量的平均数，再列式计算方差作答. 【详解】（1）由频率分布直方图知，数据在 的频率依次， 则由，解得， 所以直方图中a的值为0.30. （2）由频率分布直方图得100户居民月均用水量的平均数为： ， 所以这100户居民月均用水量的方差为： . 39．某中学组织了数学知识竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六组，其部分频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题． (1)求成绩在的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试成绩的众数，平均分和方差． 【答案】(1)0.3，直方图见解析 (2)众数为75，平均分为71分，方差194． 【分析】（1）根据各组的频率和为1可求出的频率，从而可补全频率分布直方图； （2）根据众数，平均分和方差的定义结合频率分布直方图求解. 【详解】（1）因为各组的频率之和等于1，所以成绩在的频率为 补全频率分布直方图如图所示：    （2）由频率分布直方图可得，这次考试成绩在区间内的最多，因此这次考试成绩的众数为75 利用中值估算学生成绩的平均分：， 方差：， 所以本次考试的众数为75，平均分为71分，方差194． 40．某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为.若不低于分的人数是人，且同一组中的数据用该组区间的中点值代表，则下列说法中正确的是（　　）      A．该班的学生人数是 B．成绩在的学生人数是 C．估计该班成绩的众数是分 D．估计该班成绩的方差为 【答案】ACD 【分析】根据频率与总数关系、频率和为、频率分布直方图估计众数、平均数和方差的方法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，不低于分对应的频率为， 该班的学生人数为，A正确； 对于B，，， 成绩在的学生人数为，B错误； 对于C，成绩在对应的矩形面积最大，估计该班成绩的众数为分，C正确； 对于D，估计该班成绩的平均数为， 方差为，D正确. 故选：ACD. 题型五：根据频率分布直方图求频数、频率 41．为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（    ） A．a的值为0.030 B．抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C．2000名考生中约有10名成绩优秀 D．估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间 【答案】ABD 【分析】根据频率之和为、极差、优秀率、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 解得，A选项正确. 根据频率分布直方图，， 所以极差介于40分至60分之间，B选项正确. 90分以上频率为，对应有人，C选项错误. 成绩介于70分至90分之间的频率为， 所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，D选项正确. 故选：ABD 42．某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据 . 【答案】 【分析】根据题干先确定分数低于60分的频率，涉及的区间包括两个部分，通过观察直方图列方程组，即可求解. 【详解】样本中分数低于60分的有15人，属于区间，，由于学生中随机抽取了100名， 因此分数在，的频数为，因此这两个区间内的频率和为， 设区间的频率为，则，解得. 故答案为：. 43．对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有 人能报考该专业． 【答案】 【分析】先求得视力在0.9以上的频率，再根据频数、频率、样本容量的关系即可求得答案． 【详解】由频率分布直方图知：视力在0.9以上的频率为， 所以该班学生中能报专业的最多人数为． 故答案为：20. 44．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度（单位：），将样本数据作成如下的频率分布直方图，下列关于这批棉花质量状况的分析合理的是（   ） A．这批棉花的纤维长度不是特别均匀 B．有一部分棉花的纤维长度比较短 C．有超过一半的棉花纤维长度能达到以上 D．这批棉花有可能混进了一些次品 【答案】ABD 【详解】从图形分析，这批棉花的纤维长度参差不齐，所以不是特别均匀，其中纤维长度在的频率为，即有20%的棉花的纤维长度比较短，从而这批棉花中可能混进了一些次品．纤维长度超过的频率为，因为，所以棉花纤维长度达到以上的不超过一半，C不合理． 45．某中学部分学生参加市高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛学生的成绩（成绩都为整数，试题满分120分），并且绘制了频数分布直方图（如图），如果90分以上（含90分）获奖，那么该校参赛学生的获奖率为 ． 【答案】43.75% 【详解】设获奖率为P，则． 46．某厂对一批产品进行抽样检测，如图所示的是抽检产品净重(单位:克)的频率分布直方图，样本数据分组为.若这批产品有200个，估计其中净重大于或等于80克的个数是（   ） A．110 B．140 C．150 D．90 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图中的数据，求得净重大于或等于80克的频率为，进而的得到答案. 【详解】由频率分布直方图，可得净重大于或等于80克的频率为， 所以净重大于或等于80克的个数为个. 故选：B. 47．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为 ．    【答案】 【分析】利用频率直方图的性质计算出频率，即可求出结果. 【详解】    由频率直方图可得，支出在内的频率为， 所以有 故答案为：. 48．某校高三年级共有1000名学生，为了解学生的身体发育情况，随机抽取了100名学生的体重数据，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（    ）    A． B．样本的众数估计值为55 C．样本的第75百分位数约为61.25 D．该校高三年级学生中体重高于65千克的学生大约为200人 【答案】AC 【分析】根据频率分布直方图的性质、众数的估计值、百分位数的计算公式以及概率的计算，可得答案. 【详解】对于A，，解得，故A正确； 对于B，由图可知体重在的样本最多，则样本众数的估计值为，故B错误； 对于C，由， ，则设第百分位数为， ，解得，故C正确； 对于D，由图可得学生体重高于千克的概率， 则该校高三年级学生中体重高于65千克的学生大约为人，故D错误. 故选：AC. 49．某个容量1000的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为 ． 【答案】300 【分析】根据频率分布直方图中矩形面积为对应频率，结合频数的概念计算即可. 【详解】根据题意，易知样本数据落在内的频率为， 故频数为. 故答案为：300 50．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小矩形的面积之比为，第二小组的频数为12．    (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上（含110次）为达标，则样本中高一年级学生的达标率约是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件计算第二小组对应矩形面积占比即可得出其频率大小，再由频数比频率即得出其样本容量； （2）根据频率分布直方图计算即可. 【详解】（1）频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的， 因此第二小组的频率为． 因为第二小组的频率， 所以样本容量． （2）由频率分布直方图可得样本中高一年级学生的达标率约为 . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 频率分布直方图的五大常考题型 题型一：根据频率分布直方图求众数 题型二：根据频率分布直方图求平均数 题型三：根据频率分布直方图求中位数 题型四：根据频率分布直方图求方差、标准差 题型五：根据频率分布直方图求频数、频率 题型一：根据频率分布直方图求众数 1．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式．某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并记录得分（满分：100，所有人的成绩都在内），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）、众数及中位数． 2．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数； (2)这50名学生的平均成绩． 3．某社区通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据，并绘制出如图所示的频率分布直方图，由该图可以估计（    ） A．平均数>中位数 B．中位数>平均数 C．中位数>众数 D．众数>平均数 4．某校100名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成、、、、五组（成绩均在内），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．a的值为0.035 B．估计这100名学生成绩的众数是75 C．估计这100名学生成绩的平均数为78 D．估计这100名学生成绩的中位数为 5．某校高一（3）班的40位同学对班委会组织的主题班会进行了评分（满分100分），并绘制出如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ）    A．评分在区间内的有2人 B．评分的中位数在区间内 C．评分的众数是90分 D．评分的平均数大于90分 6．某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），将成绩分成，，，，五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．的值为0.015 B．这40名学生数学考试成绩的众数的估计值为75 C．总体中成绩落在内的学生人数约为105 D．估计这40名学生数学考试成绩的约为87 7．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（    ） ①的值为0.005； ②估计成绩低于60分的有25人； ③估计这组数据的众数为75； ④估计这组数据的第85百分位数为86． A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 8．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：高一参赛学生的成绩的众数、中位数. 9．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图).图中从左到右各小矩形面积之比为2:4:17:15:9:3，第二小组频数为12. (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)通过频率分布直方图估计总体的平均数、中位数、众数. 10．2022年起，某省将实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85：C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70：D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)求图中a的值； (2)求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数； (3)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数） 题型二：根据频率分布直方图求平均数 11．某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求实数的值. (2)在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 12．某山区地方政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展当地的特色黄桃种植产业．为了了解某村黄桃的质量（单位：克）分布规律，现从该村的黄桃树上随机摘下n个黄桃组成样本进行测重，其质量均分布在区间内，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示，已知质量分布在区间内的黄桃有16个．    (1)求n的值和质量分布在区间内的黄桃个数； (2)已知该村的黄桃树上大约有10万个黄桃待出售，某电商欲以5元/千克的价格收购该村的黄桃，请估计该村黄桃的销售收入． 13．某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩（满分：100分），按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计本次竞赛成绩的平均分为 分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）该校准备对本次竞赛中分数位于前的学生颁发荣誉证书，试问获得荣誉证书的学生分数不低于 分． 14．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，求数学成绩的平均分． 15．在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下.某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； (2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数. 16．某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是（    ）    A． B．长度的平均数是93 C．长度的中位数一定落在区间内 D．长度落在区间内的个数为35 17．某校1000名学生在高一测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），则（   ）    A． B．约有200人的成绩不低于110分 C．约有60人的成绩低于70分 D．本次考试的平均分约为93.6分 18．为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（    ） A．图中的值为0.025 B．样本中底部周长不小于110cm的树木有12株 C．估计该片经济林中树木的底部周长的分位数为115 D．估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 19．2023年寒假期间，哈尔滨成为了新的旅游打卡城市，某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来哈尔滨旅游的100名游客进行了有关哈尔滨旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求x的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的平均数及中位数（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）． 20．在某市高三年级等行的一次数学期末考试中，为了解考生的成绩情况，随机抽取了50名考生的成绩，作出的频率分布直方图如图，成绩排在前的学生将获得“优秀学生”称号，则（    ） A．估计该市考生的成绩低于60分的比例为 B．估计该市考生成绩的众数为60 C．估计该市考生成绩的平均数为70.6 D．估计该市82分以上的考生将获得“优秀学生”称号 题型三：根据频率分布直方图求中位数 21．某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中a的值； (2)若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； (3)试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 22．2025年6月6日适值第三十个全国爱眼日，本届爱眼日活动的主题确定为“守护光明，点亮未来”．当日，市疾病预防控制中心采取分层抽样方法，从立德中学2000名高二学生群体中随机抽取100名，开展视力状况专项调查．根据所得数据构建的频率分布直方图显示，自左至右的四个相邻矩形区域对应的各组频率依次为：0.125，0.175，0.3，0.25． (1)试求图中a的值，并据此推算该校高二学生视力中位数的估值； (2)基于样本数据分析，估计该校高二学生视力不低于5.0的学生人数． 23．（多选）为了更好地支持中小型企业的发展，某市决定对部分中小型企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业的年收入情况，并根据所得数据作出了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ）    A．样本在区间[500,700]内的频数为18 B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税收政策，估计当地有30％的中小型企业能享受到减免税收政策 C．样本的中位数小于350万元 D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数不超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 24．某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为 .（结果保留整数） 25．众数､平均数､中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图所示的分布形态中，平均数､众数和中位数的大小关系是（    ）（由小到大排列） A．众数中位数平均数 B．平均数众数中位数 C．中位数平均数众数 D．众数平均数中位数 26．广汉三星堆半程马拉松比赛是“跑遍四川”德阳站赛事．21.0975公里，每一步都来之不易，每一个向前奔跑的脚步，汇聚成永不停歇的力量，点亮这座城市的精彩．为积极参与马拉松比赛，广汉中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是． (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的中位数（结果精确到0.01）； (3)根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？ 27．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在至之间；女性身高普遍在至之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在至之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，其中． (1)求直方图中的值； (2)估计这个阵营女子身高的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (3)请根据频率分布直方图估计阅兵阵营中女子身高的中位数． 28．2023年，贵州“村超”历时三个月，共进行98场比赛，平均每场比赛超5000万人次收看，现场观众超5万人，全网流量突破300亿次．某中学暑假社会实践小组随机抽选6000名网友对“村超”关注度进行问卷调查，并从参加问卷调查的6000人中随机抽取了100人，将他们的问卷成绩（满分100分）分为6组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)记A为事件“从参加问卷调查的所有人中随机抽取一名，该网友的成绩不低于80分”，试估计事件A发生的概率，并估计参加问卷调查的网友中成绩低于80分的人数； (2)用样本估计总体，求参加问卷调查的6000人成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）． 29．某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的 100名学生的劳动作品的得分情况进行统计， 并绘制了如图所示的频率分布直方图， 根据图中信息，这组数据中位数的估计值为 （    ）    A．70 B．77 C．80 D．82 30．为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，对于这5000只家食血液样本中的指标值，下列的叙述正确的为（    ）    A．估计指标值的中位数为 B．估计A指标值的80%分位数为9 C．估计A指标值的众数为7.5 D．估计A指标值的第25百分位数为 题型四：根据频率分布直方图求方差、标准差 31．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 32．随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注． 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人． 年龄在的老年人人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）： (1)根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数； (2)已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差．（请先推导必要的公式，再代值计算） 33．为了解某地区居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)估计这100位居民月均用水量的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表，保留1位小数）． (2)根据以上抽样调查数据，能否认为该地区居民每人的月均用水量符合“月均用水量超过3吨的人数不能超过全部人数的”的规定？ 34．为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计这100名学生的平均成绩； (2)若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差． 35．为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为 .（用“<”连接） 36．某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图． (1)根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位； (2)已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差． 37．某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试。已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，，····，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（参考数据：） 38．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照，，…，分成9组，制成了如下图所示的频率分布直方图．    (1)求直方图中a的值； (2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差． 39．某中学组织了数学知识竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六组，其部分频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题． (1)求成绩在的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试成绩的众数，平均分和方差． 40．某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为.若不低于分的人数是人，且同一组中的数据用该组区间的中点值代表，则下列说法中正确的是（　　）      A．该班的学生人数是 B．成绩在的学生人数是 C．估计该班成绩的众数是分 D．估计该班成绩的方差为 题型五：根据频率分布直方图求频数、频率 41．为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（    ） A．a的值为0.030 B．抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C．2000名考生中约有10名成绩优秀 D．估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间 42．某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据 . 43．对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有 人能报考该专业． 44．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度（单位：），将样本数据作成如下的频率分布直方图，下列关于这批棉花质量状况的分析合理的是（   ） A．这批棉花的纤维长度不是特别均匀 B．有一部分棉花的纤维长度比较短 C．有超过一半的棉花纤维长度能达到以上 D．这批棉花有可能混进了一些次品 45．某中学部分学生参加市高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛学生的成绩（成绩都为整数，试题满分120分），并且绘制了频数分布直方图（如图），如果90分以上（含90分）获奖，那么该校参赛学生的获奖率为 ． 46．某厂对一批产品进行抽样检测，如图所示的是抽检产品净重(单位:克)的频率分布直方图，样本数据分组为.若这批产品有200个，估计其中净重大于或等于80克的个数是（   ） A．110 B．140 C．150 D．90 47．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为 ．    48．某校高三年级共有1000名学生，为了解学生的身体发育情况，随机抽取了100名学生的体重数据，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（    ）    A． B．样本的众数估计值为55 C．样本的第75百分位数约为61.25 D．该校高三年级学生中体重高于65千克的学生大约为200人 49．某个容量1000的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为 ． 50．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小矩形的面积之比为，第二小组的频数为12．    (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上（含110次）为达标，则样本中高一年级学生的达标率约是多少？ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $