锐角三角函数的实际应用4种高频考点复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

锐角三角函数的实际应用4种高频考点复习讲义 锐角三角函数的实际应用4种高频考点复习讲义 考点目录 仰角俯角问题 方位角问题 坡度坡角问题 材料阅读问题与锐角三角函数在生活中的实际应用问题 知识点解析 一、核心原理：将实际几何问题转化为直角三角形模型，利用锐角三角函数（）、勾股定理建立边角关系，求解未知量；非直角三角形可通过作高转化为直角三角形求解。 核心思路：建模型→找边角→列等式→算结果。 二、仰角俯角问题 1. 定模型：过观测点作水平线，仰角（上看）、俯角（下看）为水平线与视线的夹角，构造直角三角形（视线为斜边，竖直高度为对边，水平距离为邻边）； 1. 找边角：明确已知角（仰/俯角）、已知边（高/水平距），确定所求边对应的三角函数； 1. 列式计算：用对边/邻边（高频）、对边/斜边、邻边/斜边列方程，求解未知量。 关键：仰角=俯角，水平线平行，竖直高度垂直水平面，模型为直角三角形。 三、方位角问题 1. 定模型：以观测点为原点，建立上北下南左西右东的方位坐标系，方位角为从正北/正南方向顺时针/逆时针转到目标方向的夹角，结合题意作高构造一个或多个直角三角形（多为双直角三角形拼接）； 1. 找边角：标注已知方位角、已知边长，明确各直角三角形的公共边（如竖直/水平公共边）； 1. 分步计算：先解已知条件充分的直角三角形，求公共边，再代入另一直角三角形求未知量。 关键：准确标注方位角，找清三角形间的公共边，分步求解不混淆。 四、坡度坡角问题 1. 记定义：坡角为坡面与水平面的夹角，坡度坡面的竖直高度/水平宽度（核心关系，无单位，记为形式）； 1. 定模型：坡面为斜边，竖直高度为对边，水平宽度为邻边，直接构造直角三角形； 1. 列式计算：由对/邻，结合勾股定理（斜边=√(高²+水平宽²)），已知其一求其余量。 关键：坡度≠坡角，坡度是正切值，勿与斜边比混淆；表示高1，水平宽。 五、材料阅读+锐角三角函数生活实际应用 1. 读题建模：提取题干关键信息（角度、边长、实际规则），忽略无关描述，将实际场景（如测量、施工、航海）转化为直角三角形模型（非直角则作高拆分）； 1. 标量定角：在模型中标注已知边、已知角，明确所求量，确定三角函数类型； 1. 列算验证：用三角函数、勾股定理列方程求解，结合实际意义验证结果（如长度为正、角度在）； 1. 规范作答：按题干要求写单位，材料题需紧扣题干给出的公式/定义（如自定义夹角、比例），勿套用常规结论。 关键：快速提取有效信息，建模是核心，严格遵循题干给定规则。 六、注意事项 1. 所有问题均先构造直角三角形，非直角三角形作高拆分； 1. 优先用正切（） 解题（无需算斜边，减少计算），勾股定理辅助求斜边； 1. 注意单位统一（如米/厘米、度），结果结合实际意义取舍； 1. 计算时精准对应边角：角的对边、邻边随参考角变化而变化，勿标错。 真题速递 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 2．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 3．（2025·四川·中考真题）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．    【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）    4．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    5．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 考点一 仰角俯角问题 【例题分析】 例1．（2026·安徽芜湖·一模）如图，山顶上有一凉亭，在处测得凉亭顶端的仰角，在处的前方2千米的处测得凉亭顶端的仰角，计算凉亭顶端到山底的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，，） 例2．（2026·湖北孝感·一模）小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，） 【变式训练】 变式1．（2026·安徽合肥·一模）如图1，利用无人机喷洒农药，作业效率高，能快速覆盖大面积农田；农药用量更精准，减少浪费与环境污染；可避开复杂地形，在山地、丘陵等人力难及的区域作业，还能避免人员接触农药，提升安全性．如图2所示，操作手利用无人机从点P上升到点A，测得点A到点P的距离为，此时点P的俯角为；后无人机沿水平线从点A飞到点B，此时测得点P的俯角为，求无人机从图1点A飞到点B的平均速度．（结果精确到，参考数据：） 变式2．（2026·广东佛山·一模）某公园有一座古塔（如图1），数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度．图2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形． 步骤一：在点A处，测得塔尖C的仰角为； 步骤二：从点A出发，向前走15m到达点B处．此时在B处测得塔尖C的仰角为．点D是塔尖C在地平线上的正投影． (1)尺规作图：作出表示古塔高度的线段，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)根据测量数据，计算古塔的高度．（参考数据：，，） 考点二 方位角问题 【例题分析】 例1．（2026·安徽宿州·一模）在某一片水平的海面上，点A和点B是两个小岛，小岛A位于小岛B的南偏东方向上．某一时刻商船C位于小岛A的北偏东方向上且位于小岛B的南偏东方向上，经测量，求小岛A到小岛B之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 例2．（2026·安徽芜湖·一模）如图，四边形是某校实践基地一块菜地的示意图，，数学兴趣小组在观测点处（，，在一条直线上），测得在的南偏东方向上，，在观测点处（，，在一条直线上），测得，都在的北偏东方向上，．求这块菜地的面积．（结果保留整数，，） 【变式训练】 变式1．（2026·重庆·一模）小佳和小馨两姐妹约定一起去U城天街吃晚餐．如图A，B，C，D在同一平面内．已知家A位于学校B的北偏东方向，位于高新天街D的北偏西方向，位于U城天街C的北偏东方向：学校B位于U城天街C的北偏东方向且距离6千米处：高新天街D位于U城天街C的正东方．（参考数据：） (1)求家A与U城天街C的直线距离（结果保留根号）； (2)小佳需要从家A出发，骑自行车匀速先到学校B拿数学作业，然后再到U城天街C吃晚餐；同时，小馨也从家A出发，先乘坐公交匀速前往高新天街D取维修的手机，再从高新天街D乘坐地铁1号线到U城天街C吃晚餐．已知骑自行车的速度为15千米/小时，公交车的速度为20千米/小时，地铁的速度为60千米/小时．小佳进校拿作业的时间与小馨取手机及转乘等待的时间相同，且路途畅通（红绿灯时间忽略不计）．请通过计算说明谁先到达U城天街C吃晚餐？（结果保留） 变式2．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，为了测量公园一荷花池的宽度，选定观测点C，D，已知C在点A的北偏西方向上，D在点B的北偏东方向上，，求荷花池的宽度．（结果精确到．参考数据：） 考点三 坡度坡角问题 【例题分析】 例1．（2025·四川眉山·模拟预测）如图，西安某中学依山而建，校门处有一坡度的斜坡，长度为米，在坡顶处看教学楼的楼顶的仰角，离点米远的处有一个花台，在处仰望的仰角是，的延长线交校门处的水平面于点．求楼顶的高度．（结果保留根号） 例2．（2026·四川泸州·模拟预测）某风景区内有一片百年梨园，园内梨树古朴苍劲，花开时节如云似雪，蔚为壮观．某数学学习小组带着测量工具来到该景区开展综合实践活动－测量梨树的高度．如图，梨树生长在一斜坡上方的平地上．在斜坡底部点处测得梨树顶端点的仰角为，在斜坡点处测得点的仰角为，斜坡长度为26米，坡度（图中各点均在同一平面内）． (1)求坡上平地离水平地面的高度； (2)求梨树的高度．（参考数值：，，结果保留1位小数） 【变式训练】 变式1．（2026·江苏南京·模拟预测）南京江北新区快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． (1)求电线杆的高度； (2)已知下坡路段坡比，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：） 变式2．（2025·山西忻州·三模）综合与实践 某山区突发一场大火，火势沿着山坡迅速蔓延，情况危急．接到报警后，消防队员迅速赶往现场扑救，如图，他们先对山坡底部点处进行喷水灭火，喷出的水流是抛物线的一部分．已知喷水口到地面的距离米，点到点的距离为米，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（，为常数）． (1)求扑救点时抛物线的函数表达式； (2)成功扑灭点的火势后，消防救援工作争分夺秒地推进，消防队员迅速将扑救重点转移至山坡段．已知该山坡的坡度为，间的直线距离为米，间的直线距离达米．由于喷射角度需维持不变，此次灭火行动需通过上下平移喷头的方式，对水流轨迹进行精准调控．设平移后喷头到地面的垂直距离为，求解的合理取值范围； (3)在扑救的过程中，在山坡上距离点处米的点突发火情复燃，为及时控制火势，消防员需在点处增设喷头，其喷出的水流轨迹是抛物线的一部分．已知水流的喷射角度和首个喷头不同，水流路径恰好经过复燃点且最高点到的水平距离为米，请直接写出抛物线的函数表达式．注：图上各点均在同一平面内． 考点四 材料阅读问题与锐角三角函数在生活中的实际应用问题 【例题分析】 例1．（2026·河南平顶山·一模）在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树(如图1)的高度，下面是测量该松树高度的实践报告． 主题 测量松树的高度 测量过程 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B 的仰角∠BPO，并测得斜坡PA 的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A 处又测量松树顶 B 的仰角． (图中所有点均在同一竖直平面内) 示意图 测量数据 ∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m，坡度 参考数据 请你根据以上实践报告；求出松树的高度 BC（结果保留整数）． 例2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）综合与实践：山坡绿化与节水灌溉设计 活动背景 为响应“建设美丽校园”的号召，学校计划在校园的小山坡两侧分别种植树木和草皮，并采用滴灌系统进行节水灌溉．数学兴趣小组的同学在老师的指导下，开展了方案设计与实地测量． 活动一：设计测量坡角方案 如图1，同学们在山坡上安装了一个简易测角仪．支架垂直于斜坡，铅垂线自然下垂，垂直于水平线．测得的度数即为坡角的度数． 活动二：设计滴灌管道方案 如图2，为了实施节水灌溉，他们决定从坡底沿小山坡两侧分别铺设水管至山顶，形成“人”字形管道．已知左侧从点A到山顶B共种植了13棵树，且每两棵树之间的水平距离为5.5米，测得左侧坡角； 右侧从点C到山顶B种植，测得右侧坡角． 请你完成下列任务 (1)请证明“活动一”中； (2)请你帮助同学们计算铺设两侧水管的总长度．（参考数据： ） 例3．（2026·江西吉安·一模）为方便人们投放垃圾，某小区添置图1拉环型垃圾桶，图2是其简易图，N处是把手，，，是不具有弹性的绳子，A和M处装有滑轮．若把手N拉动，绳子通过滑轮可将桶盖绕转起，拉动过程中垃圾桶底部不会移动，足够高，不会与桶面发生碰撞，桶盖关闭时与地面平行．图3是此设施的截面图，其中，盖面的最大旋转角是，，，． (1)当桶盖从闭合旋转到最大角度时，把手N要拉动________； (2)求桶盖点B离地面的最大高度； (3)若桶盖在旋转过程中点B的对应点是，线段称为入口线，当旋转角从变成时，入口线增加了多少？（结果精确到．参考数据：，，，） 【变式训练】 变式1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． (1)如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； (2)如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 变式2．（2026·山西晋中·一模）学科实践 【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联． 【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关． 【来助力】借助模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足：． 【数学思考】已知小东爷爷家的梯子长为3米，小东的身高为米． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙面？（结果精确到米） (2)若将梯子底端放在距离墙面米处，小东能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？（请画出示意图，并解决上述问题．参考数据：） 变式3．（2026·江西九江·一模）如图，某款机器人的手臂由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求这三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，且，计算此时点到地面的距离； (2)如图2，在一次操作中，上臂的点落在水平地面上，计算这时点到点的最大距离？（结果保留根号） 2 学科网（北京）股份有限公司 $锐角三角函数的实际应用4种高频考点复习讲义 锐角三角函数的实际应用4种高频考点复习讲义 考点目录 仰角俯角问题 方位角问题 坡度坡角问题 材料阅读问题与锐角三角函数在生活中的实际应用问题 知识点解析 一、核心原理：将实际几何问题转化为直角三角形模型，利用锐角三角函数（）、勾股定理建立边角关系，求解未知量；非直角三角形可通过作高转化为直角三角形求解。 核心思路：建模型→找边角→列等式→算结果。 二、仰角俯角问题 1. 定模型：过观测点作水平线，仰角（上看）、俯角（下看）为水平线与视线的夹角，构造直角三角形（视线为斜边，竖直高度为对边，水平距离为邻边）； 1. 找边角：明确已知角（仰/俯角）、已知边（高/水平距），确定所求边对应的三角函数； 1. 列式计算：用对边/邻边（高频）、对边/斜边、邻边/斜边列方程，求解未知量。 关键：仰角=俯角，水平线平行，竖直高度垂直水平面，模型为直角三角形。 三、方位角问题 1. 定模型：以观测点为原点，建立上北下南左西右东的方位坐标系，方位角为从正北/正南方向顺时针/逆时针转到目标方向的夹角，结合题意作高构造一个或多个直角三角形（多为双直角三角形拼接）； 1. 找边角：标注已知方位角、已知边长，明确各直角三角形的公共边（如竖直/水平公共边）； 1. 分步计算：先解已知条件充分的直角三角形，求公共边，再代入另一直角三角形求未知量。 关键：准确标注方位角，找清三角形间的公共边，分步求解不混淆。 四、坡度坡角问题 1. 记定义：坡角为坡面与水平面的夹角，坡度坡面的竖直高度/水平宽度（核心关系，无单位，记为形式）； 1. 定模型：坡面为斜边，竖直高度为对边，水平宽度为邻边，直接构造直角三角形； 1. 列式计算：由对/邻，结合勾股定理（斜边=√(高²+水平宽²)），已知其一求其余量。 关键：坡度≠坡角，坡度是正切值，勿与斜边比混淆；表示高1，水平宽。 五、材料阅读+锐角三角函数生活实际应用 1. 读题建模：提取题干关键信息（角度、边长、实际规则），忽略无关描述，将实际场景（如测量、施工、航海）转化为直角三角形模型（非直角则作高拆分）； 1. 标量定角：在模型中标注已知边、已知角，明确所求量，确定三角函数类型； 1. 列算验证：用三角函数、勾股定理列方程求解，结合实际意义验证结果（如长度为正、角度在）； 1. 规范作答：按题干要求写单位，材料题需紧扣题干给出的公式/定义（如自定义夹角、比例），勿套用常规结论。 关键：快速提取有效信息，建模是核心，严格遵循题干给定规则。 六、注意事项 1. 所有问题均先构造直角三角形，非直角三角形作高拆分； 1. 优先用正切（） 解题（无需算斜边，减少计算），勾股定理辅助求斜边； 1. 注意单位统一（如米/厘米、度），结果结合实际意义取舍； 1. 计算时精准对应边角：角的对边、邻边随参考角变化而变化，勿标错。 真题速递 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【答案】 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 2．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 3．（2025·四川·中考真题）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．    【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）    【答案】树的高度为16.5 米 【详解】解：由题意得，，，， 在中，， ∴， ∴ 答：树的高度为16.5 米． 4．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 5．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）可以，的最小值为． 【详解】解：（1）①由题意知，米，米， 米， 即点到地面的距离是米， 故答案为：； ②米，点为中点， 米， ， ， ， ， 在中，米， 米， 故答案为：； （2）如图，延长交于点， 则， 米， ， ， ， ， 在中，米， ， 即， 延长交于点，过作交于， 则（米），，， 为使头部不被淋湿， 所以， 解得，又， 所以； ； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图， 延长交于点，过作交于， 延长交于，过作交于， 则，，， ， 所以在中，，， 在中，， 所以， 在中，， 又， 所以此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为． 考点一 仰角俯角问题 【例题分析】 例1．（2026·安徽芜湖·一模）如图，山顶上有一凉亭，在处测得凉亭顶端的仰角，在处的前方2千米的处测得凉亭顶端的仰角，计算凉亭顶端到山底的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，，） 【答案】凉亭顶端到山底的高度为米. 【详解】解：由题意可得：，，，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（千米）， ∴凉亭顶端到山底的高度为米. 例2．（2026·湖北孝感·一模）小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，） 【答案】树的高度为米 【详解】解：由题意，得，， ，， 在中，， ， ． 答：树的高度为米． 【变式训练】 变式1．（2026·安徽合肥·一模）如图1，利用无人机喷洒农药，作业效率高，能快速覆盖大面积农田；农药用量更精准，减少浪费与环境污染；可避开复杂地形，在山地、丘陵等人力难及的区域作业，还能避免人员接触农药，提升安全性．如图2所示，操作手利用无人机从点P上升到点A，测得点A到点P的距离为，此时点P的俯角为；后无人机沿水平线从点A飞到点B，此时测得点P的俯角为，求无人机从图1点A飞到点B的平均速度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】无人机从点A飞到点B的平均速度约为 【详解】解：过点P作于点O，如图。 在中，，， ，． 在中，，， ， ， ， 无人机从点A飞到点B的平均速度为． 答：无人机从点A飞到点B的平均速度约为． 变式2．（2026·广东佛山·一模）某公园有一座古塔（如图1），数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度．图2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形． 步骤一：在点A处，测得塔尖C的仰角为； 步骤二：从点A出发，向前走15m到达点B处．此时在B处测得塔尖C的仰角为．点D是塔尖C在地平线上的正投影． (1)尺规作图：作出表示古塔高度的线段，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)根据测量数据，计算古塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示： 线段即为所求； 作图原理： 如图，连接，，，， 由作图可知，，， 垂直平分， 即，满足正投影的定义． （2）解：设古塔的高度， ， ． 由题意可知，，，， ， ，， 在中， ， 解得，，（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 即． 答：古塔的高度为． 考点二 方位角问题 【例题分析】 例1．（2026·安徽宿州·一模）在某一片水平的海面上，点A和点B是两个小岛，小岛A位于小岛B的南偏东方向上．某一时刻商船C位于小岛A的北偏东方向上且位于小岛B的南偏东方向上，经测量，求小岛A到小岛B之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】小岛A到小岛B之间的距离AB约为 【详解】解：如图，过点C作于点D， ． 由题意可知，， ， ， 在Rt中，， ，， （）， （）， ， ， ， （）， ）， 答：小岛A到小岛B之间的距离约为． 例2．（2026·安徽芜湖·一模）如图，四边形是某校实践基地一块菜地的示意图，，数学兴趣小组在观测点处（，，在一条直线上），测得在的南偏东方向上，，在观测点处（，，在一条直线上），测得，都在的北偏东方向上，．求这块菜地的面积．（结果保留整数，，） 【答案】这块菜地的面积是 【详解】解：在中，， ， ， 由题意得：，， ， ， ， ， . 答：这块菜地的面积是． 【变式训练】 变式1．（2026·重庆·一模）小佳和小馨两姐妹约定一起去U城天街吃晚餐．如图A，B，C，D在同一平面内．已知家A位于学校B的北偏东方向，位于高新天街D的北偏西方向，位于U城天街C的北偏东方向：学校B位于U城天街C的北偏东方向且距离6千米处：高新天街D位于U城天街C的正东方．（参考数据：） (1)求家A与U城天街C的直线距离（结果保留根号）； (2)小佳需要从家A出发，骑自行车匀速先到学校B拿数学作业，然后再到U城天街C吃晚餐；同时，小馨也从家A出发，先乘坐公交匀速前往高新天街D取维修的手机，再从高新天街D乘坐地铁1号线到U城天街C吃晚餐．已知骑自行车的速度为15千米/小时，公交车的速度为20千米/小时，地铁的速度为60千米/小时．小佳进校拿作业的时间与小馨取手机及转乘等待的时间相同，且路途畅通（红绿灯时间忽略不计）．请通过计算说明谁先到达U城天街C吃晚餐？（结果保留） 【答案】(1)家A与U城天街C的直线距离为千米 (2)小馨先到达U城天街C吃晚餐 【详解】（1）解：由题意，知， ，是等边三角形，， 过点A作于G， ， 家A位于学校B的北偏东方向，学校B位于U城天街C的北偏东方向， ， 如图，过点C作交的延长线于F， 在中，，， ，， 在中，， ， ； （2）解：小佳从所用的时间为：（小时）， 小馨从所用的时间为：（小时） ， 小馨先到达U城天街C吃晚餐． 变式2．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，为了测量公园一荷花池的宽度，选定观测点C，D，已知C在点A的北偏西方向上，D在点B的北偏东方向上，，求荷花池的宽度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【详解】解：如图，过点C作于点E，过点作于点F，过点作于点， 由作图可得，四边形是矩形， 在中，，， ，． 由题意得，， ∴． ， ． 则，． ∵四边形是矩形， ∴，， ． 在中，， ∴． 答：荷花池的宽度约为． 考点三 坡度坡角问题 【例题分析】 例1．（2025·四川眉山·模拟预测）如图，西安某中学依山而建，校门处有一坡度的斜坡，长度为米，在坡顶处看教学楼的楼顶的仰角，离点米远的处有一个花台，在处仰望的仰角是，的延长线交校门处的水平面于点．求楼顶的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【详解】解：过点作， ∵， ∴， 设，， ∵米，， ∴， 解得， ∴米， ∴米， 设为米，则米， ∵， ∴米， ∵，， ∴， 解得， ∴米， ∴米． 例2．（2026·四川泸州·模拟预测）某风景区内有一片百年梨园，园内梨树古朴苍劲，花开时节如云似雪，蔚为壮观．某数学学习小组带着测量工具来到该景区开展综合实践活动－测量梨树的高度．如图，梨树生长在一斜坡上方的平地上．在斜坡底部点处测得梨树顶端点的仰角为，在斜坡点处测得点的仰角为，斜坡长度为26米，坡度（图中各点均在同一平面内）． (1)求坡上平地离水平地面的高度； (2)求梨树的高度．（参考数值：，，结果保留1位小数） 【答案】(1)10米 (2)5.8米 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴设，则， 又米， 由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴米， 所以，坡上平地离水平地面的高度为10米； （2）解：延长交于点，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴, ∴； ∴， 由（1）知， ∴， 又， 在中，， ∴， ∴， 解得：（米）． 【变式训练】 变式1．（2026·江苏南京·模拟预测）南京江北新区快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． (1)求电线杆的高度； (2)已知下坡路段坡比，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)8 (2)汽车不超速，理由见解析 【详解】（1）解：由题意知， ∴， 在中，， 答：电线杆的高度为8米； （2）解：不超速，理由如下 过D作于F，于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵坡比， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴ ∴， 而， 所以该汽车不超速． 变式2．（2025·山西忻州·三模）综合与实践 某山区突发一场大火，火势沿着山坡迅速蔓延，情况危急．接到报警后，消防队员迅速赶往现场扑救，如图，他们先对山坡底部点处进行喷水灭火，喷出的水流是抛物线的一部分．已知喷水口到地面的距离米，点到点的距离为米，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（，为常数）． (1)求扑救点时抛物线的函数表达式； (2)成功扑灭点的火势后，消防救援工作争分夺秒地推进，消防队员迅速将扑救重点转移至山坡段．已知该山坡的坡度为，间的直线距离为米，间的直线距离达米．由于喷射角度需维持不变，此次灭火行动需通过上下平移喷头的方式，对水流轨迹进行精准调控．设平移后喷头到地面的垂直距离为，求解的合理取值范围； (3)在扑救的过程中，在山坡上距离点处米的点突发火情复燃，为及时控制火势，消防员需在点处增设喷头，其喷出的水流轨迹是抛物线的一部分．已知水流的喷射角度和首个喷头不同，水流路径恰好经过复燃点且最高点到的水平距离为米，请直接写出抛物线的函数表达式． 注：图上各点均在同一平面内． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：由题意可得，， 抛物线经过点，， ， 解得： 抛物线的函数表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴于点， 山坡的坡度为， ， 设，， ， 在中，， 即， 解得：（负值舍去）， ，， ， ， 同理可得， 喷射角度需维持不变， 平移后抛物线的形状不变． 设平移后抛物线的函数表达式为， 把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 的取值范围为； （3）解：如下图所示，过点作轴， ， 设，， 米， ， 解得：（负值舍去）， ，， ， ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得：， ， 即． 考点四 材料阅读问题与锐角三角函数在生活中的实际应用问题 【例题分析】 例1．（2026·河南平顶山·一模）在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树(如图1)的高度，下面是测量该松树高度的实践报告． 主题 测量松树的高度 测量过程 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B 的仰角∠BPO，并测得斜坡PA 的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A 处又测量松树顶 B 的仰角． (图中所有点均在同一竖直平面内) 示意图 测量数据 ∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m，坡度 参考数据 请你根据以上实践报告；求出松树的高度 BC（结果保留整数）． 【答案】23m 【详解】解：过点A作 ，延长交于点E，则四边形是矩形， ∵的坡度，， ∴设， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即，解得： 答：松树 的高度约为． 例2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）综合与实践：山坡绿化与节水灌溉设计 活动背景 为响应“建设美丽校园”的号召，学校计划在校园的小山坡两侧分别种植树木和草皮，并采用滴灌系统进行节水灌溉．数学兴趣小组的同学在老师的指导下，开展了方案设计与实地测量． 活动一：设计测量坡角方案 如图1，同学们在山坡上安装了一个简易测角仪．支架垂直于斜坡，铅垂线自然下垂，垂直于水平线．测得的度数即为坡角的度数． 活动二：设计滴灌管道方案 如图2，为了实施节水灌溉，他们决定从坡底沿小山坡两侧分别铺设水管至山顶，形成“人”字形管道．已知左侧从点A到山顶B共种植了13棵树，且每两棵树之间的水平距离为5.5米，测得左侧坡角； 右侧从点C到山顶B种植，测得右侧坡角． 请你完成下列任务 (1)请证明“活动一”中； (2)请你帮助同学们计算铺设两侧水管的总长度．（参考数据： ） 【答案】(1)见解析 (2)米 【详解】（1）证明：如图，设与相交于G， ， ∵，， ∴， ∴，， 又， ∴，即； （2）解：过B作于D， 根据题意，得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴铺设两侧水管的总长度为（米）． 例3．（2026·江西吉安·一模）为方便人们投放垃圾，某小区添置图1拉环型垃圾桶，图2是其简易图，N处是把手，，，是不具有弹性的绳子，A和M处装有滑轮．若把手N拉动，绳子通过滑轮可将桶盖绕转起，拉动过程中垃圾桶底部不会移动，足够高，不会与桶面发生碰撞，桶盖关闭时与地面平行．图3是此设施的截面图，其中，盖面的最大旋转角是，，，． (1)当桶盖从闭合旋转到最大角度时，把手N要拉动________； (2)求桶盖点B离地面的最大高度； (3)若桶盖在旋转过程中点B的对应点是，线段称为入口线，当旋转角从变成时，入口线增加了多少？（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)桶盖点B离地面的最大高度为 (3)入口线增加了 【详解】（1）解：桶盖从闭合状态旋转到最大角度，如图所示：到的运动轨迹为以点为圆心，为半径，从出发，转动至， ∴的长度即是点拉动的距离， 故根据弧长公式可得：把手N要拉动的距离为； （2）解：当运动到最大角度至时，过点作于点， 则桶盖点B离地面的最大高度为， 在中，， ∴， ∴， 故桶盖点B离地面的最大高度为； （3）解：如图，设旋转角为时点的对应点为，旋转角为时点的对应点为，过点作于点，令交于点，则入口线增加长度为， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故入口线增加了． 【变式训练】 变式1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． (1)如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； (2)如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图：过点B作于点N，延长交于点M， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴． 答：灯口D与墙壁的距离． （2）解：如图：过点B作于点P，延长交于点R，交于点Q，则四边形为矩形， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 答：点距离地面的高度为． 变式2．（2026·山西晋中·一模）学科实践 【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联． 【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关． 【来助力】借助模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足：． 【数学思考】已知小东爷爷家的梯子长为3米，小东的身高为米． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙面？（结果精确到米） (2)若将梯子底端放在距离墙面米处，小东能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？（请画出示意图，并解决上述问题．参考数据：） 【答案】(1)使用这架梯子，最高可以安全攀上米高的墙面 (2)图见解析，小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方 【详解】（1）解：根据题意可知，当时，安全攀爬的高度最大 如图所示，在中，， ． ． 答：使用这架梯子，最高可以安全攀上米高的墙面． （2）解：如图所示，根据题意，得在中，， ， ， ∴此时满足； 在中，， （米）． ， ∴小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方． 变式3．（2026·江西九江·一模）如图，某款机器人的手臂由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求这三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，且，计算此时点到地面的距离； (2)如图2，在一次操作中，上臂的点落在水平地面上，计算这时点到点的最大距离？（结果保留根号） 【答案】(1)点到地面的距离为 (2)此时点到点的最大距离为 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点， 则在中，． ， ， ， 点到地面的距离为； （2）解：当点在同一直线上时，点与点的距离最大， 此时点构成， ， 即此时点到点的最大距离为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $