第08讲 锐角三角函数及其应用（复习讲义2考点+13题型+2重点）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

四章 三角形 第08讲 锐角三角函数及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 锐角三角函数 题型01与正弦相关的计算 题型02与余弦相关的计算 题型03与正切相关的计算 题型04锐角三角函数综合判断 命题点二 特殊的锐角三角函数 题型01特殊锐角三角函数简单计算 题型02根据特殊的锐角三角函数求角度 题型03利用同角三角函数值求解 题型04互余两角的三角函数值 命题点三 解直角三角形及其应用 题型01 解直角三角形的相关计算 题型02 解直角三角形的实际应用之仰角俯角问题 题型03 解直角三角形的实际应用之方位角问题 题型04 解直角三角形的实际应用之坡度坡比问题 题型05 解直角三角形的实际应用之其他问题 05·重难突破·思维进阶 59 突破一 最短路径问题 突破二 平行线中的实践探究 06·优题精选·练能提分 78 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 锐角三角函数的混合运算 天津卷 （第6题） 天津卷 （第6题） 天津卷 （第6题） 1. 能利用锐角三角函数的定义、特殊角三角函数值进行简单混合运算； 2. 掌握同角三角函数关系（、）与互余角三角函数关系的应用； 3. 能在直角三角形中根据已知边角求未知边角。 解直角三角形的实际应用 天津卷 （第22题） 天津卷 （第22题） 天津卷 （第22题） 1. 能从实际情境（仰角、俯角、方位角、坡度等）中抽象出直角三角形模型；2. 能运用勾股定理、锐角三角函数解决测量高度、距离、航海方位等实际问题；3. 能检验图形还原与计算结果的合理性，规范书写解题步骤。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为中考核心模块，基础题与应用题分值稳定，未来仍会以低-中等难度题目为主，基础运算类题目分值维持在3分（选择题形式），解直角三角形应用题分值固定为8-10分（解答题形式），确保基础分与能力区分度的考查占比，不会出现难度陡增的情况。 应用场景直观具象：一方面会延续2023-2025年风格，继续选取仰角/俯角测量、坡度计算、方位角导航为核心载体，考查直角三角形模型的建立与三角函数选择，重点关注实际情境下的边角对应关系；另一方面可能融入生活中的立体场景（如建筑高度测量、河道宽度测算、山体坡度分析）或古代测量器具（如《九章算术》中的测高术），让题目更贴近直观认知，聚焦“由情境建模、由模型计算”的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强锐角三角函数与其他知识点的融合。比如和相似三角形、全等三角形结合，通过相似比推导直角三角形边长；或与圆的切线、弦长计算结合，先由几何性质构造直角三角形，再利用三角函数求解；或融入平面直角坐标系，考查直线斜率与三角函数的关联，强化知识间的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以选择题（基础运算）+解答题（实际应用）为主要独立考查形式，偶尔在填空题（压轴小问）或几何综合题中结合立体图形、函数等知识点考查。单独考查特殊角三角函数混合运算的选择题大概率会继续保留，符合天津中考“锐角三角函数”部分每年1道基础选择 + 1 道应用解答的常规考向，整体保持“稳中有变，以稳为主”的命题节奏。 考点一 锐角三角函数的简单计算 一、锐角三角函数的定义 在直角三角形中，设一个锐角为∠A，我们定义三个三角函数： 名称 符号 定义（在Rt△ABC 中，∠C=90°） 记忆口诀 正弦 sinA 对边比斜边 余弦 cosA 邻边比斜边 正切 tanA 对边比邻边 注意： 1.三角函数的大小只与角的大小有关，与三角形的边长无关。 2.定义的前提是在直角三角形中，非直角三角形需要先构造直角。 二、特殊角的三角函数值（中考必背） 这是计算的核心，必须熟练记忆： 角度α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 三、重要性质与推论 1.互余角关系 在直角三角形中，若∠A+∠B=90°,则： ， 即：一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，反之亦然。 2.同角三角函数关系 1．（2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解. 【详解】， 故选：A. 2．（2023·天津·中考真题）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可． 【详解】解 ：， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 3．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 4．（2025·天津·二模）计算：（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：依题意，， ∴． 故选：C． 考点二 解直角三角形的实际应用 通用解题模板(万能步骤) 1.读题画图：画出几何图形，标注所有已知角度、边长。 2.抽象模型：将实际图形转化为一个或多个直角三角形。 3.选三角函数： ①已知斜边和角→用sin/cos ②已知角和对边/邻边→用tan 4.列方程求解：设未知数，利用三角函数或勾股定理列方程。 5.检验作答：验证结果是否符合实际意义，按要求保留小数或根号。 六、避坑提醒 概念混淆：坡度是竖直：水平，不是竖直：坡面。 角度看错：仰角/俯角是与水平线的夹角，不是与竖直方向。 方位角描述：必须以正北/正南为起点，如“北偏东”不能写成“东偏北”。 单位统一：注意题目中距离单位是否一致。 1．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． （2）在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 2．（2023·天津·中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．    某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解； ②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴． 即的长为． （2）解：①在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 3．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可． 【详解】解：如图，延长与相交于点， 根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． 4．（2025·天津·一模）为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E． (1)求线段的长度．（结果保留整数） (2)计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，） 【答案】(1)线段的长度约为3米 (2)大树的高度约为5米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）由已知条件易得，解直角三角形即可求出的长； （2）根据即可得解． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设米， ∴米， 在中，（米）， 在中，， 解得， ∴米，（米）； 答：线段的长度约为米； （2）解：（米）， 答：大树的高度约为5米． 命题点一 锐角三角函数 ►题型01 与正弦相关的计算 【典例】（2025·天津河西·一模）在中，若，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，记住锐角三角函数的定义是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．根据锐角三角函数定义可得，代入数据即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C 【变式1】（2024·天津南开·一模）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数的定义．在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理可求的长，据此求解即可判断． 【详解】解：，，， ， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ，，， ， ， ∴， 设，由旋转的性质得， ∴等边对等角得，， ∴， ∵， ∴， 观察四个选项，只有C选项符合题意， 故选：C． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正弦的定义计算即可． 解：在中，，如图， 根据正弦的定义，． ►题型02 与余弦相关的计算 【典例】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，是的高，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求余弦值，先根据条件求出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴， 故选：C． 【变式1】（2024·山东·三模）在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，需明确的邻边与斜边，再根据余弦定义判断选项． 【详解】解：如图，在中，， ∴ 故选：B． 【变式2】（2025·云南·模拟预测）在Rt中，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理求出的长，根据余弦的定义，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选A． ►题型03 与正切相关的计算 【典例】（2026·广东佛山·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】取格点，连接，则三点共线，，那么，则，再由勾股定理以及逆定理可得，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由正方形网格可得，三点共线，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，D为BC上一点，过点D作交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得，根据全等三角形的判定与性质，求得，所以，再证明，求出，最后根据三角函数的定义求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了求三角函数值，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键． 【变式2】（2025·广东深圳·模拟预测）在中，，，分别是边，上的中线，且，那么的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设、交于点，连接并延长，交于，连接，过点作于，利用证明，根据及全等三角形的性质得出是等腰直角三角形，，根据三角形三条中线交于一点得出，根据中位线的性质得出，即可得出，根据正切的定义即可得答案． 【详解】解：如图，设、交于点，连接并延长，交于，连接，过点作于， ∵，分别是边，上的中线， ∴，， ∵， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵、交于点，，分别是边，上的中线， ∴是边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键． ►题型04 锐角三角函数综合判断 【典例】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【变式1】（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 【变式2】（2023·天津南开·二模）对折矩形，使和重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠，轴对称的性质，可以得出相等的线段，或倍数线段，进而对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：如图：    由折叠可知，， ，故选项A不符合题意； 由折叠可知， 在中，可得，，， 故选项C、D不符合题意． ，故选项B符合题意． 故选： B ． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，折叠轴对称的性质，掌握轴对称的性质以及折叠的性质是正确判断的关键． 命题点二 特殊的锐角三角函数 ►题型01 特殊锐角三角函数简单计算 万能解题步骤(一步都别乱) 第1步：先把所有三角函数换成数值 看到sin30°、cos45°、tan60°，立刻替换成数字/根式，不要边算边代。 第2步：按运算顺序计算 1.先算乘除，后算加减 2.有括号先算括号里 3.有平方、绝对值、零指数、负指数，先算这些 第3步：统一分母，合并根式 ①有分数就通分；②根式要写成最简二次根式；③结果写成：整式+最简根式 第4步：检查符号 减号、负号、括号前是负号要变号 别把sin、cos、tan再带回去 【典例】（2025·天津·模拟预测）的值等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求特殊三角函数值以及二次根式的运算．先求出，再代入原式进行计算． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 【变式1】（2025·天津红桥·三模）的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值，将特殊三角函数值代入计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2】（2025·天津和平·三模）的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式3】（2025·天津河东·二模）计算的值等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角形函数运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：原式． 故选：D． ►题型02 根据特殊的锐角三角函数求角度 【典例】（2026·上海·一模）在中，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值求出，，再根据三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式1】（2025·天津·二模）如图，在中，以O为圆心，为半径的切于点B，F是圆上一动点，作直线交于另一点E，当时，的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，当在的上方，连接，，，过O作于H，根据全等三角形的判定定理得到，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，求得，当在的下方时，同理可得，于是得到结论． 【详解】解：如图，当在的上方，连接，，，过O作于H， ∵，， ∴， ∴， ∵为半径的圆切于点B， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在的下方时，同理可得， 综上所述，的度数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解： ，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． ►题型03 利用同角三角函数值求解 【典例】（2025·上海嘉定·一模）如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的比值关系，平行线的性质，熟悉掌握角三角函数的比值关系是解题的关键． 利用角的等量代换和三角函数的比值关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，余角的性质，以及三角形的面积公式， 过辅助线如图，证明，得出，即，求出，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解∶过C作交延长线于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选∶D． 【变式2】（2026·上海黄浦·一模）已知是锐角，且，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系．利用同角三角函数的基本关系，由设 ，，再根据求出的值，最后计算 【详解】解：依题意，， 则， ∵，且为锐角， ∴设，，其中 ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ， 解得 因此，， ∴， 故答案为：． ►题型04 互余两角的三角函数值 【典例】（2026·上海普陀·一模）在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系：若，那么或．利用互余两角三角函数的关系直接求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式1】（2025·安徽亳州·一模）若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查三角函数之间的关系，利用三角函数的互余关系，将 转化为 即可求解. 【详解】解：∵ ， ∴. 故答案为：. 【变式2】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）在中，，，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握互余两角三角函数的关系以及锐角三角函数的定义是正确判断的前提．利用锐角三角函数的定义得出互余两角三角函数之间的关系，进而得出答案． 【详解】解：在直角中，， ， 所以， 故答案为：． 命题点三 解直角三角形及其应用 ►题型01解直角三角形的相关计算 【典例】（2026·山西吕梁·一模）如图，的直径为4，点在的延长线上，与相切于点，连接．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由切线的性质可得，由等边对等角可得，结合三角形外角的定义及性质得出，最后解直角三角形即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， ， ∵与相切于点， ∴， ∵的直径为4， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·浙江杭州·一模）如图，正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于F，交于M，若，且，则线段的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】首先，添加辅助线，然后，证得四边形是矩形，四边形是正方形，再由，，，得，接着，证得，得，，最后，证得是的中位线，得，即． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， ∵四边形是正方形，E为对角线上一点， ∴，， ∵，，， ∴，，，即， ∴四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【点睛】添加辅助线证得四边形是矩形，四边形是正方形，由，得到，再证得，得，是解决问题的关键． 【变式2】（2026·陕西西安·二模）如图，在直角三角形中，，点D为的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，利用勾股定理求出的长，求出的余弦值，进而可求出的长． 【详解】解：∵在直角三角形中，，点D为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，是的中线，以为边作正方形，若，则四边形的面积为（   ） A．4 B．9 C．12 D．16 【答案】A 【分析】利用锐角三角函数以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴四边形的面积为． ►题型02 解直角三角形的实际应用之仰角俯角问题 仰角、俯角问题——中考万能解题思路(一步不丢分) 一、先搞懂两个概念 ①仰角：从水平线往上看，视线与水平线的夹角 ②俯角：从水平线往下看，视线与水平线的夹角 共同点：都和水平线形成直角三角形! 二、解题核心思路 所有仰角俯角题，本质只有一件事： 构造直角三角形→找水平/竖直边→用三角函数/勾股。 三、标准解题四步走 1.画图，标已知 ①标出：仰角/俯角、高度、水平距离 ②找出：直角(水平线工竖直线) 2.把角“搬”到直角三角形里 ①仰角：在下方的直角三角形里 ②俯角：利用平行线内错角相等，转化到下方的三角形里→俯角=底下的仰角 3.认准三角函数 ①已知/求：对边+邻边→用tan(最常用) ②已知/求：对边+斜边→用sin ③已知/求：邻边+斜边→用cos 4.列方程→计算→写答 【典例】（2025·天津·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点E，C，D依次在一条水平线上，，，垂足为点C．在D处测得信号塔顶端A的仰角（）为，在E处测得信号塔顶端A的仰角（）为，测得信号塔底端B的仰角（）为．参考数据：取，取0.60． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）设，根据正切的定义，先在中用x表示出，再在中得到，所以，解方程求出x，从而得到的长； （2）在中利用正切的定义求出，然后计算即可． 【详解】（1）解：设， 在中，∵ ， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， 即， ∴， 解得， ∴； 答：线段的长为； （2）解：在中，∵， ∴， ∴． 答：信号塔的高度为． 【变式1】（2024·天津滨海新区·一模）综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）． (1)用含有h和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数） 【答案】(1)线段的长为 (2)的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，根据，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴线段的长为； （2）解：设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴广告牌低端顶点D到地面的距离的长约为． 【变式2】（2025·天津南开·三模）如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到处时，测得处的俯角（）为，处的俯角（）为，其中，，在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机的仰角为．已知桥梁的总长度为． (1)求此时无人机所在位置离地面的距离； (2)处的小汽车到桥梁入口的距离的长（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，做出合理的辅助线是解题的关键． （1）要想求高度需要先做出来高度，作出辅助线，在中设出未知数，根据得到各边的值，在中，根据三角函数关系计算出结果即可； （2）由（1）中的结果，在中，根据三角函数关系计算出结果即可； 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，由题意可知， ，，，设，     在中，， ，              ∵， ，       在中，，，， 即，            ，            ， 答：此时无人机所在位置离地面的距离为； （2）解：∵， 在中，，， ，             ， 小汽车到桥梁入口的距离的长约为． 【变式3】（2025·天津和平·三模）综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为． (1)求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）； (2)求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，． 【答案】(1)两座山之间水平距离约为 (2)这座山的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）在中，由解直角三角形的知识得，，又，解出的长度即可； （2）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形得，，由解直角三角形的知识得，最后根据即可得解． 【详解】（1）解：由题意知，，，，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， 两座山之间水平距离约为； （2）解：过点作，垂足为点， ， ， 四边形是矩形， ，， 由题意可知， 在中，， ， ， 答：这座山的高度为． ►题型03 解直角三角形的实际应用之方位角问题 方位角问题(解直角三角形)解题思路 一、先记住2个关键点1.方位角：以正北、正南为基准，向东/向西偏多少度。2.所有方位角题，本质都是：画南北、水平线→造直角→解直角三角形。如：北偏东30°、南偏西45°。 二、万能解题步骤(满分思路) 1.画标准图 ①每个观测点都画：十字线(正北、正南、正东、正西) ②标出：方位角、已知边长、所求边长。 2.把方位角“转化”到直角三角形里 南北线水平线→一定有直角 利用：互余、内错角、平行线性质，把题目给的方位角变成直角三角形里的内角。 3.认准用哪个三角函数 方位题几乎全用tan： 已知角和一边→求另一边 两个直角三角形就联立/加减 4.计算+写答 ①特殊角直接代值 ②结果保留根式或按要求近似 【典例】（2025·天津河东·二模）“桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城市公园在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园．为了生态可持续发展，某园林设计公司为桥园一处湿地提供了一份景观提升设计．如图，距A地东北方向处是亲水平台（B地），距亲水平台（B地）北偏东方向处是观景台（C地），从观景台（C地）沿长廊向正南方向走可以到达凉亭（E地），从亲水平台（B地）向正东方向走可以到达长廊（F地）． (1)请求出的长度； (2)从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭（E地），再沿北偏东方向走可到达小广场（D地），小广场（D地）在观景台（C地）的南偏东方向．请求出的长度．（结果取整数，参考数据） 【答案】(1) (2)50米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等角对等边，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）过点B作于H，分别解，，求出的长，根据线段的和差关系求出的长即可； （2）过点D作于G，在上取点，使得，连接，得，设，解，求出，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 过点B作于H，由题意，可得：，， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又， ∴的长为； （2）过点D作于G，在上取点，使得，连接， 由题意得，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 答：的长约为50米． 【变式1】（2025·天津南开·二模）如图1，是在同一平面内的四地．地在地的北偏东方向，两地相距地位于地的正东方向与地的正南方向的交汇处．地位于地的正南方向，还在地的正北方向． (1)请直接用含有三角函数的代数式表示线段和的长： ， ； (2)如图2，地与四地在同一平面内，地位于地的正西方向，且地位于地的南偏西方向，而地位于地的南偏西方向．设两地的距离为（单位：）． ①填空：用含有的式子表示线段的长为 （结果保留根号）； ②求两地的距离（结果取整数）参考数据：． 【答案】(1)； (2)①② 【分析】本题主要考查解直角三角形，正确作辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． （1）直接根据直角三角形边角关系求解即可； （2）①根据角的正切值求解即可； ②过点E作于点H，利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：①在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②过点作于点，则四边形是矩形， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴； 同理可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得，， 即两地的距离为． 【变式2】（2025·天津河北·一模）景点A的南偏东方向有景点B，景点A的正南方向有景点C，景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东方向，即线段， (1)求景点B到公路的最短距离（结果取整数）； (2)景点B的东南方向有景点D，求景点D到公路的最短距离（结果取整数）． 参考数据：取，取，取． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于E，设，分别解直角三角形求出的长，再根据建立方程求解即可 （2）过点B作，过点D作于D，交于H，则四边形是矩形，则可得的长，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解；如图所示，过点B作于E，设， 在中，， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：景点B到公路的最短距离为； （2）解：如图所示，过点B作，过点D作于D，交于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：景点D到公路的最短距离为． 【变式3】（2024·天津·三模）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A 处时，测得码头 C 在北偏东的方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向， 沿着北偏东的方向继续航行，当它航行到B 处后，又沿着南偏东的方向航行40海里到达码头C（参考数据：，， (1)求的度数： (2)求货轮从A 处到B处航行的距离（结果精确到0.1海里．） 【答案】(1) (2)61.3海里 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据平行线的性质求出，再根据三角形内角和定理求出； （2）过点作于，根据正弦的定义求出，进而求出． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， 则， ， ， ； （2）解：如图，过点作于， 在中，海里，， ， （海里）， 在中，， 则（海里）， 答：货轮从到航行的距离约为61.3海里． ►题型04 解直角三角形的实际应用之坡度坡比问题 坡度、坡比问题(解直角三角形)解题思路。 设坡面的铅直高度为h,水平宽度为l,坡角为α。 1.坡比(坡度)i 2.坡角α 坡面与水平面的夹角。 3.坡面长度 【典例】（2026·江苏南京·模拟预测）南京江北新区快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． (1)求电线杆的高度； (2)已知下坡路段坡比，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)8 (2)汽车不超速，理由见解析 【分析】（1）在中，根据正切的定义求解即可； （2）过D作于F，于G，则四边形是矩形，得出，，，进而求出，设，根据坡比定义求出，，，在中，根据正切的定义得出，求出，然后根据勾股定理求出，然后比较即可． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， 在中，， 答：电线杆的高度为8米； （2）解：不超速，理由如下 过D作于F，于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵坡比， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴ ∴， 而， 所以该汽车不超速． 【变式1】（2026·陕西西安·二模）在一次数学课外实践活动中，某活动小组对河对岸的一架风力发电机塔杆高度进行了测量．如图，活动小组在岸边的一个斜坡的坡底处，测得塔杆的顶端的仰角为，在斜坡上的点处测得塔顶的仰角为．经测量，斜坡的坡度为．图中点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，．请根据上述数据，求该风力发电机的塔杆的高度．（结果精确到、参考数据：，，） 【答案】答：该风力发电机塔杆的高度为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握解直角三角形，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，进行求解，即可．过点作于点，于点，设，，根据勾股定理，求出，根据矩形的判定，则四边形为矩形，设，则，，根据，求出． 【详解】解：过点作于点，于点， 由题意得：，，，， 在中，设，， 由勾股定理可得：， 解得， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， 解得． 答：该风力发电机塔杆的高度为． 【变式2】（2026·河北张家口·一模）如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α=22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC=6米． (1)求游客中心AB与松树EF之间的水平距离； (2)求松树EF的高度．（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】根据坡度的定义求出，即可得到的长；作辅助线构造直角三角形，根据三角函数的定义求出，进而得出的长，根据已知条件求出，进而得到的长，计算即可得解． 【详解】（1）后山的坡比为3：4， 设，， ， 由题可得：（米）， ， ， （米），（米）， （米）， （米）． （2）过点作，过点作， ，，（米）， （米）， 在中，， ， （米）， （米）， （米）， （米）， （米）． 【变式3】（2026·陕西西安·二模）如图是一个游乐场中击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点，，，是一个斜坡，坡比为．现以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若击球手在处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误． 【答案】(1) (2)此次击球有失误，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为：， 由题意得：点的坐标为， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）此次击球有失误． 理由：当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵的坡比为， ∴， ∴， ∵， ∴此次击球有失误． ►题型05 解直角三角形的实际应用之其他问题 【典例】（2025·天津红桥·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量位于河两岸的轮渡船码头之间的距离．如图，在河岸上有两个轮渡码头M，N，其对岸上有一个轮渡码头P，已知，，，河岸，互相平行． (1)求河岸，之间的距离（结果取整数）； (2)求轮渡码头P，M之间的距离和轮渡码头P，N之间的距离（结果取整数）．参考数据：，，取1.4． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数的概念列方程是解题的关键． （1）过点作，设，则，，解直角三角形列方程即可解答； （2）解直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作于E，设， ， 为等腰直角三角形， 设，则，， 在中，， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 河岸，之间的距离； （2）解：在中，， 在中，， 则轮渡码头P，M之间的距离为和轮渡码头P，N之间的距离为． 【变式1】（2026·江西吉安·一模）为方便人们投放垃圾，某小区添置图1拉环型垃圾桶，图2是其简易图，N处是把手，，，是不具有弹性的绳子，A和M处装有滑轮．若把手N拉动，绳子通过滑轮可将桶盖绕转起，拉动过程中垃圾桶底部不会移动，足够高，不会与桶面发生碰撞，桶盖关闭时与地面平行．图3是此设施的截面图，其中，盖面的最大旋转角是，，，． (1)当桶盖从闭合旋转到最大角度时，把手N要拉动________； (2)求桶盖点B离地面的最大高度； (3)若桶盖在旋转过程中点B的对应点是，线段称为入口线，当旋转角从变成时，入口线增加了多少？（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)桶盖点B离地面的最大高度为 (3)入口线增加了 【分析】（1）桶盖从闭合状态旋转到最大角度，到的运动轨迹为以点为圆心，为半径，从出发，转动至，则的长度即是点拉动的距离，再由弧长公式计算即可得出结果； （2）当运动到最大角度至时，过点作于点，则桶盖点B离地面的最大高度为，解直角三角形，计算出的长，即可得出结果； （3）设旋转角为时点的对应点为，旋转角为时点的对应点为，过点作于点，令交于点，则入口线增加长度为，分别解直角三角形，求出、的长度，即可得出结果． 【详解】（1）解：桶盖从闭合状态旋转到最大角度，如图所示：到的运动轨迹为以点为圆心，为半径，从出发，转动至， ∴的长度即是点拉动的距离， 故根据弧长公式可得：把手N要拉动的距离为； （2）解：当运动到最大角度至时，过点作于点， 则桶盖点B离地面的最大高度为， 在中，， ∴， ∴， 故桶盖点B离地面的最大高度为； （3）解：如图，设旋转角为时点的对应点为，旋转角为时点的对应点为，过点作于点，令交于点，则入口线增加长度为， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故入口线增加了． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式2】（2025·山东·二模）如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． (1)如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； (2)如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：过点B作于点N，延长交于点M，在和中，分别利用正弦和余弦函数的定义求解即可； （2）如图：过点B作于点P，延长交于点R，交于点Q，在中，利用三角函数的定义求得，在中，利用三角函数的定义求得 ，再结合图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点B作于点N，延长交于点M， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴． 答：灯口D与墙壁的距离． （2）解：如图：过点B作于点P，延长交于点R，交于点Q，则四边形为矩形， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 答：点距离地面的高度为． 【变式3】（2026·山西晋中·一模）学科实践 【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联． 【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关． 【来助力】借助模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足：． 【数学思考】已知小东爷爷家的梯子长为3米，小东的身高为米． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙面？（结果精确到米） (2)若将梯子底端放在距离墙面米处，小东能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？（请画出示意图，并解决上述问题．参考数据： ） 【答案】(1)使用这架梯子，最高可以安全攀上米高的墙面 (2)图见解析，小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方 【分析】（1）在中，，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）在中，，解直角三角形求出的度数和的长，再用的长加上小东的身高，再与3米比较即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，当时，安全攀爬的高度最大 如图所示，在中，， ． ． 答：使用这架梯子，最高可以安全攀上米高的墙面． （2）解：如图所示，根据题意，得在中，， ， ， ∴此时满足； 在中，， （米）． ， ∴小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方． 突破一 解直角三角形与函数综合 【典例】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在边长为4的菱形中，，动点P从点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点P作的垂线交菱形的边于另一点Q，在点P运动的过程中，记的面积为y，点P运动的路程为x，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据菱形性质，以及点的运动情况分三种情况讨论，①当点P在边上，且点Q在边上，②当点P在边上，且点Q在边上，③当点P在边上，且点Q在边上，再结合解直角三角形的计算，直角三角形性质，以及三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：边长为4的菱形中，， ， ①当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图1，，，， 即图象为开口向上的抛物线； ②当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图2，，，， 即图象为直线； ③当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图3，， ，， ， ，，， 结合②可知，， ，即图象为开口向下的抛物线． 综上所述，y与x之间的函数图象大致是． 【变式1】（2026·浙江宁波·模拟预测）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（    ） A．着陆坡的水平宽度米 B．点的坐标为 C． D．当的最大值为10米时， 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出，，解三角函数得到以及求出，即选项A和选项B错误；抛物线的函数表达式为，将代入，化简得到，即可得到选项C正确；设着陆坡所在直线的表达式为，求出一次函数解析式，得到，化简得，对于二次函数，其对称轴为，当时，有最大值，将代入，即，根据的最大值为10米，得到，即可得到选项D错误． 【详解】解：， ， 故， 解得，， 在中，， ， ， 米，故A错误； 在中，， ， 米，故，故B错误； 抛物线的函数表达式为， 将代入， 故， 化简得， ，故C正确； 设 设着陆坡所在直线的表达式为， 将代入， ， 解得，， ， ， ， 则， ， 对于二次函数，其对称轴为， 当时，有最大值，将代入， 即， ∵的最大值为10米， 即， 解得，故D错误； 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若 ，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用菱形和平移的性质得到线段与角度的关系，再通过三角函数表示出的长度，从而建立与的函数关系式，最后根据函数的性质判断对应的函数图象． 【详解】解：如图，记交于点， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则，设，则 由平移的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴∙， ∵为定值，为定值， ∴为定值，且小于，∙为定值，且大于， ∴是关于的一次函数，且随的增大而减小， ∴选项符合题意． 【变式3】（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点函数的图象，菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出的长．根据题意可得，分当点Q在上时，即时和当点Q在上时，即时，分别表示出，分析可知当点Q到达点C时，，此时，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题图2得，时，点P停止运动， 点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒， ， 由点P和点Q的运动可知，， 当点Q在上时，即时，， 过点P作交于，   ， ， ， 当点Q在上时，即时，   四边形是菱形， ， ， 由上可知，当点Q到达点C时，， 即当时，， 故选：C 突破二 解直角三角形与几何综合 【典例】（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边AB上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（某反比例函数图像的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【答案】(1)剪出的矩形的最大面积是，示意图见详解 (2)矩形面积的最大值是 【分析】（1）分情况进行讨论，作出不同情况下的示意图后利用正弦、余弦及正切的定义及勾股定理求得对应边长的值，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果； （2）以点B为原点建立平面直角坐标系，根据题意求得点A和点E的坐标，通过待定系数法求得直线的解析式和反比例函数的解析式，从而求得点F的坐标，设，则，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果，此时需注意m的取值． 【详解】（1）解：如图1，过点P作，点M在上，以线段为边，作矩形， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值为，即； 如图2，过点P作交于点M，过点P作交于点Q， ∴四边形为矩形， ∵， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 当时，有最大值，最大值为，即． （2）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系， ∵矩形卡纸的长为，宽为，，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点A，E代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵曲线是反比例函数的一部分， 设反比例函数的解析式为， 将点E代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 当时，的最大值为． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据正方形得到，证明四边形是平行四边形，即可得到答案； （2）根据正方形的定义得到，证明，得到，即可得到结论； （3）过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点，先证明，根据点P是的中点，，正方形，得到，， 设，则，求出，故，证明，即可得到； （4）过点作交于点，交延长线于点，过点作，分当点在线段上时，当点在线段延长线上时两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 在正方形中，， ， 四边形是平行四边形， ； （2）证明：， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点， 正方形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点P是的中点，，正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （4）解：当点在线段上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ； 当点在线段延长线上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 综上：的值为． 【变式2】（2026·广东深圳·一模）综合与探究 【定义】如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称点为线段的分割点． (1)【理解】如图2，在等腰中，，，点是的分割点，求的长； (2)【应用】如图3，在等腰中，，，点是的分割点，点在的上方，，与相交于点，与相交于点，求证：； (3)【拓展】如图4，在等腰中，，，点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，以为边向右作，直线与，分别交于点，，当点运动至的分割点时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）勾股定理求得，根据点是的分割点，即可求解； （2）根据得出，即可得出，进而证明，结合公共角，即可得证； （3）分两种情况讨论，当时，证明得出，进而证明，根据得出，勾股定理求得，进而求得；当时，证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等腰中，，， ∴， ∵点是的分割点， ∴； （2）证明：∵点是的分割点， ∴， ∵在等腰中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 又∵， ∴； （3）解：如图， 设， ∵当点运动至的分割点时， ∴， ∴， ∵点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， ∴． 当时，如图5， 同理，可得， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 1．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角函数的定义列方程，求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 2．（2026·江苏南通·一模）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正切定义求解．取格点，连接，，由网格的特点易得三点共线，利用勾股定理求出，，，，进而得到，证明为直角三角形，，由即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格的特点得，三点共线， ，，， ， 为直角三角形，， tan． 故选：D． 3．（2026·上海虹口·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理．结合在中，，，运用勾股定理求斜边，再根据锐角三角函数的定义计算的各个三角函数值，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的对边为，邻边为，斜边为， ∴， 故选：C． 4．（2026·上海金山·一模）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求角的正弦值，求角的余弦值，求角的正切值，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用勾股定理求出，再根据三角函数的定义判断各选项． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误． 故选：B． 5．（2026·江西九江·一模）如图，正六边形内接于，的半径为10，则这个正六边形的边心距的长为__________． 【答案】 【分析】连接，根据六边形是内接正六边形得出，进而根据三角函数的定义，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵六边形是内接正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2026·广东江门·一模）计算：______． 【答案】/ 【分析】先计算负整数指数幂和特殊的三角函数值，再计算乘法，最后进行加法运算即可． 【详解】解： ． 7．（2026·上海徐汇·一模）某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为_______米． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的计算是关键． 根据题意，，，由，代入计算即可求解． 【详解】解：由题知：， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 8．（2026·广东广州·一模）如图，为了测量某建筑物的高度，小明在距离建筑物底部D点15米的B点处，测得建筑物顶端C的仰角为，小明的眼睛离地面的高度米．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：） 【答案】建筑物的高度约为12.9米 【分析】过点 A 作，垂足为 E，解求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点 A 作，垂足为 E．则米，米． 在中，，， ∴（米）．   ∴（米）．   答：建筑物的高度约为 12.9 米． 1．（2025·重庆·模拟预测）如图，已知四边形是平行四边形，，，，为的中点，分别以为圆心，以为半径画弧，交于，交于，再分别以为圆心，以为半径画弧，交于，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作，根据平行四边形的性质得，再根据特殊角的三角函数求出，然后求出，即可得，接下来根据得出答案． 【详解】解：过点A作，交于点K， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∴， ∴，． ∵在中，， ∴． ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 2．（2026·河南三门峡·一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，四边形内接于圆，且点在网格线的交点上，是上一点，连接，则的正切值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理可得，再由正切的定义求解即可． 【详解】解：连接，如解图．由题意，得， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·吉林长春·一模）市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》（以下简称《技术要求》）国家标准于2026年2月1日起正式实施．《技术要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】由已知可求，在中，可表示，可证四边形为矩形，则米，则可求． 【详解】解：∵， ∴， 在中， （米）， ∵由题意可知， ∴四边形为矩形， ∴（米）， ∴米． 4．（2026·湖南·模拟预测）如图，点E在正方形的边上，将沿折叠，点D落在点F处，延长交于点G，若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，正切的定义及勾股定理．连接，根据折叠的性质得到，，，证明，从而得出，再由设，则，从而得到相关线段的表达式，设，则，，，利用勾股定理求得x的值，进而得到的值，最终可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 由折叠性质可知，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与反比例函数在第一象限的图象交于两点．已知点的横坐标为1，点的横坐标为，连接，则的长为__________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，可求出，进而解直角三角形得到，则，利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴的长为． 6．（2026·山西临汾·一模）项目学习 项目背景：太行太岳烈士陵园位于长治市西南隅，年建成竣工，是为纪念抗日战争中在太行、太岳两根据地牺牲的烈士而建的公墓，陵园的中心耸立着太行太岳烈士纪念塔，是陵园内最突出的建筑物．综合实践小组的同学围绕“太行太岳烈士纪念塔高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 太行太岳烈士纪念塔高度的测量与计算 测量示意图 实施过程 如图，①用无人机在点处测得纪念塔的最高点的俯角及点之间的距离；②将无人机沿水平方向飞行到达点，在点处测得纪念塔最低点的俯角及两点之间的距离 测量数据 ①；②；③；④ 说明 图上所有点均在同一平面内，垂直于地面 计算 …… 请根据上述数据，计算太行太岳烈士纪念塔的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】太行太岳烈士纪念塔的高度约为米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用． 延长与交于点，根据俯角构造直角三角形，根据已知角度和其三角函数以及线段的长度，得到和的长度，继而得到的长度． 【详解】解：如图，延长与交于点，则， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ． 答：太行太岳烈士纪念塔的高度约为米． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________． 【答案】 【分析】延长，交于点，利用勾股定理求得，计算和，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得，，利用和得出、长，进而得、，利用勾股定理即可求的长． 【详解】解：如图，延长，交于点， 在中，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、三角函数的应用，利用全等三角形转移角的关系，结合矩形内角为直角推导直角三角形是解题的关键． 3．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1） 根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 4．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 四章 三角形 第08讲 锐角三角函数及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 锐角三角函数 题型01与正弦相关的计算 题型02与余弦相关的计算 题型03与正切相关的计算 题型04锐角三角函数综合判断 命题点二 特殊的锐角三角函数 题型01特殊锐角三角函数简单计算 题型02根据特殊的锐角三角函数求角度 题型03利用同角三角函数值求解 题型04互余两角的三角函数值 命题点三 解直角三角形及其应用 题型01 解直角三角形的相关计算 题型02 解直角三角形的实际应用之仰角俯角问题 题型03 解直角三角形的实际应用之方位角问题 题型04 解直角三角形的实际应用之坡度坡比问题 题型05 解直角三角形的实际应用之其他问题 05·重难突破·思维进阶 26 突破一 最短路径问题 突破二 平行线中的实践探究 06·优题精选·练能提分 29 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 锐角三角函数的混合运算 天津卷 （第6题） 天津卷 （第6题） 天津卷 （第6题） 1. 能利用锐角三角函数的定义、特殊角三角函数值进行简单混合运算； 2. 掌握同角三角函数关系（、）与互余角三角函数关系的应用； 3. 能在直角三角形中根据已知边角求未知边角。 解直角三角形的实际应用 天津卷 （第22题） 天津卷 （第22题） 天津卷 （第22题） 1. 能从实际情境（仰角、俯角、方位角、坡度等）中抽象出直角三角形模型；2. 能运用勾股定理、锐角三角函数解决测量高度、距离、航海方位等实际问题；3. 能检验图形还原与计算结果的合理性，规范书写解题步骤。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为中考核心模块，基础题与应用题分值稳定，未来仍会以低-中等难度题目为主，基础运算类题目分值维持在3分（选择题形式），解直角三角形应用题分值固定为8-10分（解答题形式），确保基础分与能力区分度的考查占比，不会出现难度陡增的情况。 应用场景直观具象：一方面会延续2023-2025年风格，继续选取仰角/俯角测量、坡度计算、方位角导航为核心载体，考查直角三角形模型的建立与三角函数选择，重点关注实际情境下的边角对应关系；另一方面可能融入生活中的立体场景（如建筑高度测量、河道宽度测算、山体坡度分析）或古代测量器具（如《九章算术》中的测高术），让题目更贴近直观认知，聚焦“由情境建模、由模型计算”的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强锐角三角函数与其他知识点的融合。比如和相似三角形、全等三角形结合，通过相似比推导直角三角形边长；或与圆的切线、弦长计算结合，先由几何性质构造直角三角形，再利用三角函数求解；或融入平面直角坐标系，考查直线斜率与三角函数的关联，强化知识间的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以选择题（基础运算）+解答题（实际应用）为主要独立考查形式，偶尔在填空题（压轴小问）或几何综合题中结合立体图形、函数等知识点考查。单独考查特殊角三角函数混合运算的选择题大概率会继续保留，符合天津中考“锐角三角函数”部分每年1道基础选择 + 1 道应用解答的常规考向，整体保持“稳中有变，以稳为主”的命题节奏。 考点一 锐角三角函数的简单计算 一、锐角三角函数的定义 在直角三角形中，设一个锐角为∠A，我们定义三个三角函数： 名称 符号 定义（在Rt△ABC 中，∠C=90°） 记忆口诀 正弦 sinA 对边比斜边 余弦 cosA 邻边比斜边 正切 tanA 对边比邻边 注意： 1.三角函数的大小只与角的大小有关，与三角形的边长无关。 2.定义的前提是在直角三角形中，非直角三角形需要先构造直角。 二、特殊角的三角函数值（中考必背） 这是计算的核心，必须熟练记忆： 角度α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 三、重要性质与推论 1.互余角关系 在直角三角形中，若∠A+∠B=90°,则： ， 即：一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，反之亦然。 2.同角三角函数关系 1．（2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·中考真题）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 3．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 4．（2025·天津·二模）计算：（　　） A． B．1 C． D． 考点二 解直角三角形的实际应用 通用解题模板(万能步骤) 1.读题画图：画出几何图形，标注所有已知角度、边长。 2.抽象模型：将实际图形转化为一个或多个直角三角形。 3.选三角函数： ①已知斜边和角→用sin/cos ②已知角和对边/邻边→用tan 4.列方程求解：设未知数，利用三角函数或勾股定理列方程。 5.检验作答：验证结果是否符合实际意义，按要求保留小数或根号。 六、避坑提醒 概念混淆：坡度是竖直：水平，不是竖直：坡面。 角度看错：仰角/俯角是与水平线的夹角，不是与竖直方向。 方位角描述：必须以正北/正南为起点，如“北偏东”不能写成“东偏北”。 单位统一：注意题目中距离单位是否一致。 1．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 2．（2023·天津·中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．    某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 3．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 4．（2025·天津·一模）为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E． (1)求线段的长度．（结果保留整数） (2)计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，） 命题点一 锐角三角函数 ►题型01 与正弦相关的计算 【典例】（2025·天津河西·一模）在中，若，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·天津南开·一模）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，，，则（       ） A． B． C． D． ►题型02 与余弦相关的计算 【典例】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，是的高，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·山东·三模）在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 【变式2】（2025·云南·模拟预测）在Rt中，，则的值等于（   ） A． B． C． D． ►题型03 与正切相关的计算 【典例】（2026·广东佛山·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【变式1】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，D为BC上一点，过点D作交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东深圳·模拟预测）在中，，，分别是边，上的中线，且，那么的值为（    ） A．3 B．2 C． D． ►题型04 锐角三角函数综合判断 【典例】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·天津南开·二模）对折矩形，使和重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 命题点二 特殊的锐角三角函数 ►题型01 特殊锐角三角函数简单计算 万能解题步骤(一步都别乱) 第1步：先把所有三角函数换成数值 看到sin30°、cos45°、tan60°，立刻替换成数字/根式，不要边算边代。 第2步：按运算顺序计算 1.先算乘除，后算加减 2.有括号先算括号里 3.有平方、绝对值、零指数、负指数，先算这些 第3步：统一分母，合并根式 ①有分数就通分；②根式要写成最简二次根式；③结果写成：整式+最简根式 第4步：检查符号 减号、负号、括号前是负号要变号 别把sin、cos、tan再带回去 【典例】（2025·天津·模拟预测）的值等于（    ） A． B．1 C． D． 【变式1】（2025·天津红桥·三模）的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】（2025·天津和平·三模）的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·天津河东·二模）计算的值等于（   ） A． B． C．1 D．2 ►题型02 根据特殊的锐角三角函数求角度 【典例】（2026·上海·一模）在中，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津·二模）如图，在中，以O为圆心，为半径的切于点B，F是圆上一动点，作直线交于另一点E，当时，的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 ►题型03 利用同角三角函数值求解 【典例】（2025·上海嘉定·一模）如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 【变式2】（2026·上海黄浦·一模）已知是锐角，且，那么的值为________． ►题型04 互余两角的三角函数值 【典例】（2026·上海普陀·一模）在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽亳州·一模）若，则_______． 【变式2】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）在中，，，则_____________． 命题点三 解直角三角形及其应用 ►题型01解直角三角形的相关计算 【典例】（2026·山西吕梁·一模）如图，的直径为4，点在的延长线上，与相切于点，连接．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【变式1】（2026·浙江杭州·一模）如图，正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于F，交于M，若，且，则线段的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式2】（2026·陕西西安·二模）如图，在直角三角形中，，点D为的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【变式3】（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，是的中线，以为边作正方形，若，则四边形的面积为（   ） A．4 B．9 C．12 D．16 ►题型02 解直角三角形的实际应用之仰角俯角问题 仰角、俯角问题——中考万能解题思路(一步不丢分) 一、先搞懂两个概念 ①仰角：从水平线往上看，视线与水平线的夹角 ②俯角：从水平线往下看，视线与水平线的夹角 共同点：都和水平线形成直角三角形! 二、解题核心思路 所有仰角俯角题，本质只有一件事： 构造直角三角形→找水平/竖直边→用三角函数/勾股。 三、标准解题四步走 1.画图，标已知 ①标出：仰角/俯角、高度、水平距离 ②找出：直角(水平线工竖直线) 2.把角“搬”到直角三角形里 ①仰角：在下方的直角三角形里 ②俯角：利用平行线内错角相等，转化到下方的三角形里→俯角=底下的仰角 3.认准三角函数 ①已知/求：对边+邻边→用tan(最常用) ②已知/求：对边+斜边→用sin ③已知/求：邻边+斜边→用cos 4.列方程→计算→写答 【典例】（2025·天津·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点E，C，D依次在一条水平线上，，，垂足为点C．在D处测得信号塔顶端A的仰角（）为，在E处测得信号塔顶端A的仰角（）为，测得信号塔底端B的仰角（）为．参考数据：取，取0.60． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）． 【变式1】（2024·天津滨海新区·一模）综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）． (1)用含有h和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数） 【变式2】（2025·天津南开·三模）如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到处时，测得处的俯角（）为，处的俯角（）为，其中，，在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机的仰角为．已知桥梁的总长度为． (1)求此时无人机所在位置离地面的距离； (2)处的小汽车到桥梁入口的距离的长（结果取整数）．参考数据：，． 【变式3】（2025·天津和平·三模）综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为． (1)求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）； (2)求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，． ►题型03 解直角三角形的实际应用之方位角问题 方位角问题(解直角三角形)解题思路 一、先记住2个关键点1.方位角：以正北、正南为基准，向东/向西偏多少度。2.所有方位角题，本质都是：画南北、水平线→造直角→解直角三角形。如：北偏东30°、南偏西45°。 二、万能解题步骤(满分思路) 1.画标准图 ①每个观测点都画：十字线(正北、正南、正东、正西) ②标出：方位角、已知边长、所求边长。 2.把方位角“转化”到直角三角形里 南北线水平线→一定有直角 利用：互余、内错角、平行线性质，把题目给的方位角变成直角三角形里的内角。 3.认准用哪个三角函数 方位题几乎全用tan： 已知角和一边→求另一边 两个直角三角形就联立/加减 4.计算+写答 ①特殊角直接代值 ②结果保留根式或按要求近似 【典例】（2025·天津河东·二模）“桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城市公园在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园．为了生态可持续发展，某园林设计公司为桥园一处湿地提供了一份景观提升设计．如图，距A地东北方向处是亲水平台（B地），距亲水平台（B地）北偏东方向处是观景台（C地），从观景台（C地）沿长廊向正南方向走可以到达凉亭（E地），从亲水平台（B地）向正东方向走可以到达长廊（F地）． (1)请求出的长度； (2)从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭（E地），再沿北偏东方向走可到达小广场（D地），小广场（D地）在观景台（C地）的南偏东方向．请求出的长度．（结果取整数，参考数据） 【变式1】（2025·天津南开·二模）如图1，是在同一平面内的四地．地在地的北偏东方向，两地相距地位于地的正东方向与地的正南方向的交汇处．地位于地的正南方向，还在地的正北方向． (1)请直接用含有三角函数的代数式表示线段和的长： ， ； (2)如图2，地与四地在同一平面内，地位于地的正西方向，且地位于地的南偏西方向，而地位于地的南偏西方向．设两地的距离为（单位：）． ①填空：用含有的式子表示线段的长为 （结果保留根号）； ②求两地的距离（结果取整数）参考数据：． 【变式2】（2025·天津河北·一模）景点A的南偏东方向有景点B，景点A的正南方向有景点C，景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东方向，即线段， (1)求景点B到公路的最短距离（结果取整数）； (2)景点B的东南方向有景点D，求景点D到公路的最短距离（结果取整数）． 参考数据：取，取，取． 【变式3】（2024·天津·三模）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A 处时，测得码头 C 在北偏东的方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向， 沿着北偏东的方向继续航行，当它航行到B 处后，又沿着南偏东的方向航行40海里到达码头C（参考数据：，， (1)求的度数： (2)求货轮从A 处到B处航行的距离（结果精确到0.1海里．） ►题型04 解直角三角形的实际应用之坡度坡比问题 坡度、坡比问题(解直角三角形)解题思路。 设坡面的铅直高度为h,水平宽度为l,坡角为α。 1.坡比(坡度)i 2.坡角α 坡面与水平面的夹角。 3.坡面长度 【典例】（2026·江苏南京·模拟预测）南京江北新区快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． (1)求电线杆的高度； (2)已知下坡路段坡比，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：） 【变式1】（2026·陕西西安·二模）在一次数学课外实践活动中，某活动小组对河对岸的一架风力发电机塔杆高度进行了测量．如图，活动小组在岸边的一个斜坡的坡底处，测得塔杆的顶端的仰角为，在斜坡上的点处测得塔顶的仰角为．经测量，斜坡的坡度为．图中点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，．请根据上述数据，求该风力发电机的塔杆的高度．（结果精确到、参考数据：，，） 【变式2】（2026·河北张家口·一模）如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α=22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC=6米． (1)求游客中心AB与松树EF之间的水平距离； (2)求松树EF的高度．（参考数据：） 【变式3】（2026·陕西西安·二模）如图是一个游乐场中击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点，，，是一个斜坡，坡比为．现以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若击球手在处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误． ►题型05 解直角三角形的实际应用之其他问题 【典例】（2025·天津红桥·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量位于河两岸的轮渡船码头之间的距离．如图，在河岸上有两个轮渡码头M，N，其对岸上有一个轮渡码头P，已知，，，河岸，互相平行． (1)求河岸，之间的距离（结果取整数）； (2)求轮渡码头P，M之间的距离和轮渡码头P，N之间的距离（结果取整数）．参考数据：，，取1.4． 【变式1】（2026·江西吉安·一模）为方便人们投放垃圾，某小区添置图1拉环型垃圾桶，图2是其简易图，N处是把手，，，是不具有弹性的绳子，A和M处装有滑轮．若把手N拉动，绳子通过滑轮可将桶盖绕转起，拉动过程中垃圾桶底部不会移动，足够高，不会与桶面发生碰撞，桶盖关闭时与地面平行．图3是此设施的截面图，其中，盖面的最大旋转角是，，，． (1)当桶盖从闭合旋转到最大角度时，把手N要拉动________； (2)求桶盖点B离地面的最大高度； (3)若桶盖在旋转过程中点B的对应点是，线段称为入口线，当旋转角从变成时，入口线增加了多少？（结果精确到．参考数据：，，，） 【变式2】（2025·山东·二模）如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． (1)如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； (2)如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 【变式3】（2026·山西晋中·一模）学科实践 【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联． 【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关． 【来助力】借助模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足：． 【数学思考】已知小东爷爷家的梯子长为3米，小东的身高为米． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙面？（结果精确到米） (2)若将梯子底端放在距离墙面米处，小东能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？（请画出示意图，并解决上述问题．参考数据： ） 突破一 解直角三角形与函数综合 【典例】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在边长为4的菱形中，，动点P从点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点P作的垂线交菱形的边于另一点Q，在点P运动的过程中，记的面积为y，点P运动的路程为x，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【变式1】（2026·浙江宁波·模拟预测）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（    ） A．着陆坡的水平宽度米 B．点的坐标为 C． D．当的最大值为10米时， 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若 ，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 突破二 解直角三角形与几何综合 【典例】（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边AB上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（某反比例函数图像的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 【变式2】（2026·广东深圳·一模）综合与探究 【定义】如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称点为线段的分割点． (1)【理解】如图2，在等腰中，，，点是的分割点，求的长； (2)【应用】如图3，在等腰中，，，点是的分割点，点在的上方，，与相交于点，与相交于点，求证：； (3)【拓展】如图4，在等腰中，，，点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，以为边向右作，直线与，分别交于点，，当点运动至的分割点时，直接写出的值． 1．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 2．（2026·江苏南通·一模）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海虹口·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·上海金山·一模）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江西九江·一模）如图，正六边形内接于，的半径为10，则这个正六边形的边心距的长为__________． 6．（2026·广东江门·一模）计算：______． 7．（2026·上海徐汇·一模）某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为_______米． 8．（2026·广东广州·一模）如图，为了测量某建筑物的高度，小明在距离建筑物底部D点15米的B点处，测得建筑物顶端C的仰角为，小明的眼睛离地面的高度米．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：） 1．（2025·重庆·模拟预测）如图，已知四边形是平行四边形，，，，为的中点，分别以为圆心，以为半径画弧，交于，交于，再分别以为圆心，以为半径画弧，交于，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南三门峡·一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，四边形内接于圆，且点在网格线的交点上，是上一点，连接，则的正切值是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林长春·一模）市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》（以下简称《技术要求》）国家标准于2026年2月1日起正式实施．《技术要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2026·湖南·模拟预测）如图，点E在正方形的边上，将沿折叠，点D落在点F处，延长交于点G，若，则___________． 5．（2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与反比例函数在第一象限的图象交于两点．已知点的横坐标为1，点的横坐标为，连接，则的长为__________．（结果保留） 6．（2026·山西临汾·一模）项目学习 项目背景：太行太岳烈士陵园位于长治市西南隅，年建成竣工，是为纪念抗日战争中在太行、太岳两根据地牺牲的烈士而建的公墓，陵园的中心耸立着太行太岳烈士纪念塔，是陵园内最突出的建筑物．综合实践小组的同学围绕“太行太岳烈士纪念塔高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 太行太岳烈士纪念塔高度的测量与计算 测量示意图 实施过程 如图，①用无人机在点处测得纪念塔的最高点的俯角及点之间的距离；②将无人机沿水平方向飞行到达点，在点处测得纪念塔最低点的俯角及两点之间的距离 测量数据 ①；②；③；④ 说明 图上所有点均在同一平面内，垂直于地面 计算 …… 请根据上述数据，计算太行太岳烈士纪念塔的高度．（结果精确到，参考数据：） 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________． 3．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    4．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 6．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $