专题四：万有引力和重力的关系 天体运动的计算和分析 导学案 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

第七章 万有引力与宇宙航行 专题四：万有引力和重力的关系 天体运动的计算和分析（解析版） 学习目标 1.明确地球表面的万有引力和重力的关系(难点)。 2.掌握星体绕中心天体做圆周运动的物理量与轨道半径的关系(重难点)。 课堂学习 一 万有引力和重力的关系 【导入】 如图所示，人分别站在地球(地球可视为规则的球体)的北极处(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C)。 （1）同一个人在地球不同位置受到的万有引力大小是否相等？ 不同位置距离地球球心的距离相同，故万有引力大小相等。 （2）人在地球上做匀速圆周运动，向心力由什么提供？A、B、C三个位置的向心力相同吗？ 人在位置B、C随地球自转，万有引力和支持力的合力提供人随地球转动需要的向心力； 根据F向 =mω2R可知，同一人在位置B、C需要的向心力大小不同。人在位置A所需向心力为零，在位置C所需向心力指向地心，在位置B所需向心力垂直指向地轴。 （3）地球上哪个位置的重力加速度最大？哪个位置重力加速度最小？ 根据F向 =mω2R可知，在位置A的向心力大小为0，所以在位置A，，解得。 根据F向 =mω2R可知，在位置C的向心力大小为mω2R，故在位置C，，解得。 故赤道上重力加速度最小，南北极的重力加速度最大。 【知识梳理】 1.在地球上不同的纬度，万有引力和重力的关系不同。(地球质量为M，物体质量为m，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球自转角速度为ω，引力常量为G) (1)如图甲所示，在赤道上：重力和向心力在一条直线上， mg= -mω2R。 (2)如图乙所示，在两极上：F向 =0，mg=。 (3)如图丙所示，在其他位置，重力是万有引力的一个分力， mg<(选填“>”“<”或“=”)。越靠近南北两极g 值越大。 2.由于物体随地球自转所需的向心力很小，常认为万有引力近似等于重力，即mg=。 【课堂探究】 忽略自转的影响，地球表的的重力加速度为g，地球半径为R，质量为M，现在我们往地下探索，挖到距离地心r的位置，请问在这个位置的重力加速度是多大？ 假设一质量为m在距离地心r的位置，则它受到的万有引力大小为, ，，联立解得，故可知在地球内部的重力加速度与地球的球心的距离成正比。 【例题分析】 在绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船中有一袋质量为1.25kg的风干牛肉，其所受地球引力为8N。已知地球半径为R，地球表面重力加速度大小，不考虑地球自转，则此时风干牛肉距离地面的高度h为（　　）例1 A．0.2R B．0.25R C．0.5R D．R 【答案】B 【详解】物体所受地球引力，其中为到地心的距离。 地球表面重力加速度 在高度处，引力，质量，故重力加速度 由 代入得 解得。 故选B。 某自转角速度较大的星球，半径为R，测得该星球极地的重力加速度是，赤道处的重力加速度是，则该星球的自转角速度是（　　）变1-1 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该星球的自转角速度为，在该星球极地处有 在赤道处有 联立解得 故选A。 二 天体参量的分析与计算 【课堂探究】 忽略自转的影响，地球半径为R，质量为M，万有引力常量为G，一颗质量为m的卫星在距离球心r处绕着地球做匀速圆周运动。 （1）这颗卫星的向心力来源是什么？ （2）这颗卫星的运动的向心加速度an，线速度v，角速度ω，周期T分别是多少？ （3）卫星运动的轨道越高，卫星的向心加速度an，线速度v，角速度ω，周期T分别如何变化？ 【知识梳理】 1.一般卫星(或行星)的运动可看成匀速圆周运动，其所需向心力与万有引力的关系可写为： G=man=m=mω2r=mr。 2.根据1中的关系式推导向心加速度大小an、线速度大小v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系。 = “一定四定”，越高越慢(选填“快”或“慢”)。 3.忽略地球自转时，mg=G，整理可得：GM=gR2，当GM未知时，可用gR2替换后进行有关计算，此式被称为“黄金代换公式”。 【例题分析】 中国空间站作为太空家园，承载着人类探索宇宙的伟大梦想。将空间站视为在距离地球表面高度为h的圆轨道上做匀速圆周运动。已知地球质量为M、半径为R，万有引力常量为G，空间站质量为m。下列关于空间站在轨道上运行时各物理量的表达式，不正确的是（　　）例2 A．线速度 B．周期 C．所受地球的万有引力 D．向心加速度 【答案】C 【详解】A．万有引力提供向心力 可得线速度，故A正确，不符合题意； B．万有引力提供向心力 可得周期，故B正确，不符合题意； C．空间站所受地球的万有引力为，故C错误，符合题意； D．由 可得向心加速度，故D正确，不符合题意。 故选C。 2026年，人类又可观察到“木星冲日”的天象奇观，所谓“木星冲日”，就是当木星、地球、太阳在一条直线上且木星、地球位于太阳的同侧时，在地球上观察到的木星非常明亮，即发生“木星冲日”现象。已知木星绕太阳的公转周期为12年，可以认为木星、地球在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，则下列说法正确的是（　　）变2-1 A．木星与地球公转线速度大小之比为1:12 B．木星与地球公转线速度大小之比为 C．相邻两次“木星冲日”的时间间隔为年 D．相邻两次“木星冲日”的时间间隔为年 【答案】C 【详解】AB．根据万有引力提供向心力有， 所以， 由于木星绕太阳的公转周期为12年，地球绕太阳的公转周期为1年，所以木星与地球公转线速度大小之比为，故AB错误； CD．相邻两次“木星冲日”的时间间隔为t，则 解得，故C正确，D错误。 故选C。 课堂总结 课后训练 夯实基础 1．假设未来通过某种技术，在不改变地球半径的情况下，将地球的质量缓慢增大为原来的2倍，且地球仍可视为均匀球体。若忽略地球自转的影响，同一宇航员在地球表面的重力（　　） A．减小为原来的 B．减小为原来的 C．增大为原来的2倍 D．增大为原来的4倍 【答案】C 【详解】在地球表面，重力等于万有引力则有 若地球质量增大为原来的2倍，半径不变，则宇航员受到地球的引力变为原来的2倍，即同一宇航员在地球表面的重力增大为原来的2倍。 故选C。 2．棕熊乔伊因白化病被误认为是北极熊，曾两次被送到北极，还有一次被送到位于赤道的北极馆，差点被冻僵，被称为史上最惨棕熊。若乔伊质量始终为，它在北极和北极馆的重力差为。已知地球半径为，则地球自转周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在北极时，物体随地球自转所需向心力为零，重力等于万有引力，即 在赤道时，物体随地球自转，万有引力的一部分提供向心力，则重力 已知在北极和赤道的重力差为，所以 解得 故选A。 3．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（　　） A．1－ B．1＋ C． D． 【答案】A 【详解】设地球密度为，根据万有引力等于重力 其中地球质量 可得地面处的重力加速度 质量均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部的物体所受引力仅相当于由半径为R-d的内部球体提供，同理可得 计算可得 故选A。 4．如图所示，A、、是地球表面上的三个不同位置，A在北极处，P在赤道上，Q的纬度为60°。质量为的物体分别放在A、、三处，如果把地球看成是一个质量分布均匀且半径为的球体，A处的重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．该物体在A、、处所受重力大小相等，方向均指向地球球心 B．该物体在、处随地球一起做匀速圆周运动的向心力大小相等 C．该物体在、处随地球一起做匀速圆周运动的向心加速度之比为2:1 D．在赤道上方高处的重力加速度为 【答案】C 【详解】A．物体在A处所受重力与万有引力相等，、处所受重力大小等于万有引力的一个分力，A、处重力方向指向地心，处重力方向不指向地心，故A错误； B．该物体在、处角速度相等，根据 由于圆周运动半径不相等，则随地球一起做匀速圆周运动的向心力大小不相等，故B错误； C．根据 由于 可知，该物体在、处随地球一起做匀速圆周运动的向心加速度之比为2:1，故C正确； D．在赤道上方高处有 A处的重力加速度为，则有 解得，故D错误。 故选C。 5.2025年1月16日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”，火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（　　） A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 B．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为 C．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最小 D．下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之后 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第三定律可得 火星与地球的公转轨道半径之比约为，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为，故A错误； B．物体在星球表面时，万有引力表现为物体受到的重力，满足 解得星球表面重力加速度 根据题中条件无法求解火星与地球表面的自由落体加速度大小之比，故B错误； C．当火星与地球相距最远时，二者的速度方向相反，所以两者的相对速度最大，故C错误； D．根据火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 已知地球的公转周期为1年，则可知火星的公转周期约为1.8年，设经过时间出现下一次“火星冲日”，则有 解得 所以下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之后，故D正确。 故选D。 6.目前运行在地球周围空间的卫星、空间站、宇宙飞船等人造天体数量已达数万之多，其中做匀速圆周运动的人造天体的周期的三分之二次方与其距地面高度的关系如图所示。已知图线的斜率为、纵截距为，地球可视为理想匀质的球体，则地球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】绕地球做匀速圆周运动的天体，其向心力由地球对其的万有引力提供，即 解得 结合图像易知， 解得地球半径为 故选D。 能力提升 7．刘慈欣在《地球大炮》中描述了一条“从中国出发的通过地心贯穿地球的隧道”，如图所示。质量为的列车从点由静止开始无动力运动，仅在万有引力作用下可在地球两点间往返运动。地球可视作质量分布均匀的半径为的球体，地心在点，。已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零，引力常量为，地表重力加速度为。不考虑地球的自转，下列说法正确的是（　　） A．列车从点到点的时间与从点到点的时间之比为 B．列车在点的速度大小与在点的速度大小之比为 C．列车在点的加速度大小为 D．列车在点的加速度大小为 【答案】D 【详解】A．列车在运动的过程中受到的万有引力是变化的，所以加速度也是变化的，列车从B点到O点的时间与从B点到P点的时间之比不是，做匀加速运动时间之比才是 。故A错误； CD．设地球的密度为，因为质量均匀球壳对其内部物体引力为零，所以列车在距离地心r处，只受到来自以地心为球心、半径为r、质量为的球体的万有引力，可得 可知地心内的列车受力与列车相对于地心的距离成正比，在地球表面列车受到的万有引力 列车在P点受到的万有引力大小为 由牛顿第二定律可得 解得 在地球表面有 联立可得，故C错误，D正确； B．由于地心内的列车受力与列车相对于地心的距离成正比，从B点运动到P点的过程中，由动能定理可得 解得 同理，运动到O点时， 则，故B错误； 故选D。 8.北京时间2023年1月15日11时14分，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，以一箭十四星发射方式，成功将齐鲁二号/三号卫星及珞珈三号01星等14颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道并开展工作。已知齐鲁二号卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面点正上方，每天恰好绕地球运行圈。已知地球半径为，自转周期为，地球表面的重力加速度为，则齐鲁二号卫星离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】地球自转周期为，卫星每天绕行圈，所以卫星的周期为 根据万有引力提供向心力 在地球表面，有 联立解得 卫星离地高度 故选A。 9.截至2025年，我国北斗卫星导航系统服务覆盖全球200多个国家和地区，被纳入国际民航组织（ICAO）等11个国际组织标准体系。组成北斗系统的卫星运行轨道半径r越高，线速度v越小，卫星运行状态视为匀速圆周运动，其图像如图所示，图中R为地球半径，为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径，图中物理量单位均为国际单位，引力常量为G，忽略地球自转，则（    ） A．地球的质量为 B．地球的密度为 C．地球表面的重力加速度为 D．GEO卫星的加速度为 【答案】D 【详解】A．根据万有引力提供向心力 得地球的质量，A错误； B．地球的密度，B错误； C．根据 解得，C错误； D．根据， 解得GEO卫星的加速度，D正确。 故选D。 扩展探究 10.（多选）如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（　　） A．地球的平均密度为 B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 C．卫星Ⅱ的周期为 D．卫星Ⅱ运动的线速度为 【答案】CD 【详解】BC．静止轨道卫星的周期等于地球的自转周期，设静止轨道卫星的轨道半径为，地球半径为，根据图中几何关系可得 卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 可得， 可得卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 卫星Ⅱ的周期为 故B错误，C正确； A．对于卫星Ⅱ，由万有引力提供向心力得 又 联立可得地球的平均密度为，故A错误； D．卫星Ⅱ运动的线速度为，故D正确。 故选CD。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 万有引力与宇宙航行 专题四：万有引力和重力的关系 天体运动的计算和分析（解析版） 学习目标 1.明确地球表面的万有引力和重力的关系(难点)。 2.掌握星体绕中心天体做圆周运动的物理量与轨道半径的关系(重难点)。 课堂学习 一 万有引力和重力的关系 【导入】 如图所示，人分别站在地球(地球可视为规则的球体)的北极处(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C)。 （1）同一个人在地球不同位置受到的万有引力大小是否相等？ （2）人在地球上做匀速圆周运动，向心力由什么提供？A、B、C三个位置的向心力相同吗？ （3）地球上哪个位置的重力加速度最大？哪个位置重力加速度最小？ 【知识梳理】 1.在地球上不同的纬度，万有引力和重力的关系不同。(地球质量为M，物体质量为m，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球自转角速度为ω，引力常量为G) (1)如图甲所示，在赤道上：重力和向心力在一条直线上， mg= - 。 (2)如图乙所示，在两极上：F向 =0，mg=。 (3)如图丙所示，在其他位置，重力是万有引力的一个分力， mg<(选填“>”“<”或“=”)。越靠近南北两极g 值越 。 2.由于物体随地球自转所需的向心力很小，常认为万有引力近似等于重力，即mg=。 【课堂探究】 忽略自转的影响，地球表的的重力加速度为g，地球半径为R，质量为M，现在我们往地下探索，挖到距离地心r的位置，请问在这个位置的重力加速度是多大？ 【例题分析】 在绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船中有一袋质量为1.25kg的风干牛肉，其所受地球引力为8N。已知地球半径为R，地球表面重力加速度大小，不考虑地球自转，则此时风干牛肉距离地面的高度h为（　　）例1 A．0.2R B．0.25R C．0.5R D．R 某自转角速度较大的星球，半径为R，测得该星球极地的重力加速度是，赤道处的重力加速度是，则该星球的自转角速度是（　　）变1-1 A． B． C． D． 二 天体参量的分析与计算 【课堂探究】 忽略自转的影响，地球半径为R，质量为M，万有引力常量为G，一颗质量为m的卫星在距离球心r处绕着地球做匀速圆周运动。 （1）这颗卫星的向心力来源是什么？ （2）这颗卫星的运动的向心加速度an，线速度v，角速度ω，周期T分别是多少？ （3）卫星运动的轨道越高，卫星的向心加速度an，线速度v，角速度ω，周期T分别如何变化？ 【知识梳理】 1.一般卫星(或行星)的运动可看成匀速圆周运动，其所需向心力与万有引力的关系可写为： G=m =m=m =mr。 2.根据1中的关系式推导向心加速度大小an、线速度大小v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系。 = “一定四定”，越高越 (选填“快”或“慢”)。 3.忽略地球自转时，mg=G，整理可得：GM= ，当GM未知时，可用 2替换后进行有关计算，此式被称为“黄金代换公式”。 【例题分析】 中国空间站作为太空家园，承载着人类探索宇宙的伟大梦想。将空间站视为在距离地球表面高度为h的圆轨道上做匀速圆周运动。已知地球质量为M、半径为R，万有引力常量为G，空间站质量为m。下列关于空间站在轨道上运行时各物理量的表达式，不正确的是（　　）例2 A．线速度 B．周期 C．所受地球的万有引力 D．向心加速度 2026年，人类又可观察到“木星冲日”的天象奇观，所谓“木星冲日”，就是当木星、地球、太阳在一条直线上且木星、地球位于太阳的同侧时，在地球上观察到的木星非常明亮，即发生“木星冲日”现象。已知木星绕太阳的公转周期为12年，可以认为木星、地球在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，则下列说法正确的是（　　）变2-1 A．木星与地球公转线速度大小之比为1:12 B．木星与地球公转线速度大小之比为 C．相邻两次“木星冲日”的时间间隔为年 D．相邻两次“木星冲日”的时间间隔为年 课堂总结 课后训练 夯实基础 1．假设未来通过某种技术，在不改变地球半径的情况下，将地球的质量缓慢增大为原来的2倍，且地球仍可视为均匀球体。若忽略地球自转的影响，同一宇航员在地球表面的重力（　　） A．减小为原来的 B．减小为原来的 C．增大为原来的2倍 D．增大为原来的4倍 2．棕熊乔伊因白化病被误认为是北极熊，曾两次被送到北极，还有一次被送到位于赤道的北极馆，差点被冻僵，被称为史上最惨棕熊。若乔伊质量始终为，它在北极和北极馆的重力差为。已知地球半径为，则地球自转周期为（　　） A． B． C． D． 3．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（　　） A．1－ B．1＋ C． D． 4．如图所示，A、、是地球表面上的三个不同位置，A在北极处，P在赤道上，Q的纬度为60°。质量为的物体分别放在A、、三处，如果把地球看成是一个质量分布均匀且半径为的球体，A处的重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．该物体在A、、处所受重力大小相等，方向均指向地球球心 B．该物体在、处随地球一起做匀速圆周运动的向心力大小相等 C．该物体在、处随地球一起做匀速圆周运动的向心加速度之比为2:1 D．在赤道上方高处的重力加速度为 5.2025年1月16日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”，火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（　　） A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 B．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为 C．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最小 D．下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之后 6.目前运行在地球周围空间的卫星、空间站、宇宙飞船等人造天体数量已达数万之多，其中做匀速圆周运动的人造天体的周期的三分之二次方与其距地面高度的关系如图所示。已知图线的斜率为、纵截距为，地球可视为理想匀质的球体，则地球的半径为（    ） A． B． C． D． 能力提升 7．刘慈欣在《地球大炮》中描述了一条“从中国出发的通过地心贯穿地球的隧道”，如图所示。质量为的列车从点由静止开始无动力运动，仅在万有引力作用下可在地球两点间往返运动。地球可视作质量分布均匀的半径为的球体，地心在点，。已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零，引力常量为，地表重力加速度为。不考虑地球的自转，下列说法正确的是（　　） A．列车从点到点的时间与从点到点的时间之比为 B．列车在点的速度大小与在点的速度大小之比为 C．列车在点的加速度大小为 D．列车在点的加速度大小为 8.北京时间2023年1月15日11时14分，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，以一箭十四星发射方式，成功将齐鲁二号/三号卫星及珞珈三号01星等14颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道并开展工作。已知齐鲁二号卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面点正上方，每天恰好绕地球运行圈。已知地球半径为，自转周期为，地球表面的重力加速度为，则齐鲁二号卫星离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 9.截至2025年，我国北斗卫星导航系统服务覆盖全球200多个国家和地区，被纳入国际民航组织（ICAO）等11个国际组织标准体系。组成北斗系统的卫星运行轨道半径r越高，线速度v越小，卫星运行状态视为匀速圆周运动，其图像如图所示，图中R为地球半径，为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径，图中物理量单位均为国际单位，引力常量为G，忽略地球自转，则（    ） A．地球的质量为 B．地球的密度为 C．地球表面的重力加速度为 D．GEO卫星的加速度为 扩展探究 10.（多选）如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（　　） A．地球的平均密度为 B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 C．卫星Ⅱ的周期为 D．卫星Ⅱ运动的线速度为 学科网（北京）股份有限公司 $