精品解析：江苏宜兴市铜峰中学2025～2026学年第二学期 第一次独立作业八年级数学试卷

宜兴市铜峰中学2025-2026学年第二学期 第一次独立作业初二年级数学试卷 一、选择题（30分） 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（ ） A. B. C. D. 6. 若为任意整数，则的值总能（ ） A. 被4整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被6整除 7. 如图，在中，、相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 9. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值为（ ） A. B. 2.5 C. D. 10. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；．正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 分解因式：________ 13. 如图，中， ，则_______． 14. 已知是整数，则正整数n的最小值为______． 15. 如图，的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为______． 16. 在平行四边形中，，、的平分线分别交于E、F，若，则________． 17. 如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的平行四边形纸片重叠在一起，其中，．将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点和分别落在边和上时，，则的长为________．两张纸片重合部分（阴影部分）的面积是________． 三．解答题 18. 计算： （1） （2） （3） （4）（，） 19. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若平分，求的长． 21. 如图，在中，M、N是上两点，，连接、、、，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上确定一点，使，作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所做的图形中，连接，若，且，，则  ． 23. 我们将与称为一对“对偶式”．可以应用“对偶式”求解根式方程．比如小明在解方程时，采用了如下方法： 由于， 又因为①，所以②，由①+②可得， 将两边平方解得，代入原方程检验可得是原方程的解． 请根据上述材料回答下面的问题： （1）若的对偶式为，则________；（直接写出结果） （2）方程的解是________；（直接写出结果） （3）解方程：． 24. 如图，在四边形中，，，，，，点先以每秒2个单位长度的速度由向运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点以每秒2个单位长度的速度由向运动．点与点同时出发，当点到达终点时，点随之停止运动，设运动时间为秒 （1）直接写出的长是__________； （2）当点在线段上时，___________；当点在射线上时，____（用含的代数式表示） （3）连接，以中两个顶点和点、点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜兴市铜峰中学2025-2026学年第二学期 第一次独立作业初二年级数学试卷 一、选择题（30分） 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义． 同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与的根号内的数是否一致． 【详解】解：A：，根号内3，与不是同类二次根式； B：，无根号，与不是同类二次根式； C：，根号内2，与不是同类二次根式； D：，根号内5，与是同类二次根式； 故选：D． 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 4. 依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； B、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； C、∵，， ∴一组对边平行且相等， ∴图中的四边形是平行四边形，故C符合题意； D、∵， ∴一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意． 5. 如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在矩形中，， ． 6. 若为任意整数，则的值总能（ ） A. 被4整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被6整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解：， 的值总能被4整除， 因此的值总能被4整除， 故选A． 7. 如图，在中，、相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用． 由平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，又由，根据勾股定理，即可求得的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 故选：A． 8. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 【答案】D 【解析】 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 9. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值为（ ） A. B. 2.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，勾股定理求出的长，运用等积法，即，即可求出的值． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， 连接， ∵过点P分别作和的垂线，垂足为E，F， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；．正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】由，得出，可判断；证明得，证明得，可推出四边形的形状，可判断；由平行四边形的性质得，可判断；最后求出，可判断；可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴，故结论正确； ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论正确； ∴，故结论错误； 过作于，如图所示， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故结论错误； ∴正确的个数是个． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识．掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 二、填空题（24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得， 故答案为：． 12. 分解因式：________ 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解即可． 【详解】解：． 13. 如图，中， ，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，可求出的度数，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 14. 已知是整数，则正整数n的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，将能开方的因数开出来后，根据为整数，可得化简后剩余的被开方数需为完全平方数，据此求解正整数的最小值． 【详解】解：是整数， 是整数，即是完全平方数， 正整数的最小值为． 15. 如图，的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、中心对称的性质，根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（两个点的横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且对角线交于原点O， ∴点与点关于原点成中心对称， ， ． 故答案为：4． 16. 在平行四边形中，，、的平分线分别交于E、F，若，则________． 【答案】13或7 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义，证明和是等腰三角形，从而得出和的长度，再分两种情况计算的长度． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 此时分两种情况讨论： ①如图， ∵， ∴； ②如图， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的长为13或7． 17. 如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的平行四边形纸片重叠在一起，其中，．将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点和分别落在边和上时，，则的长为________．两张纸片重合部分（阴影部分）的面积是________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】先证明四边形为矩形，再由角边角的证明方法证明与全等，由此可得，再由角角边的证明方法证明与全等，由此可得，再通过勾股定理求解的长度，再由面积公式计算即可． 【详解】解：连接，，过点作，点M如图， 根据题意可知，， ∴四边形为矩形， ∴， 在平行四边形中，，， 且， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， 设， ∵，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即，解得， ∴， ∴阴影部分的面积是． 三．解答题 18. 计算： （1） （2） （3） （4）（，） 【答案】（1） （2） （3）5 （4） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （3）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式，进行计算即可； （4）根据二次根式乘除混合运算法则，和二次根式性质，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 19. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】根据提取公因式，完全平方公式以及平方差公式，使用合适的方法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若平分，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定： （1）根据平行四边形的性质可得，根据E、F分别是的中点，可得，即可得结论； （2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到，进而利用平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 21. 如图，在中，M、N是上两点，，连接、、、，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，含角的直角三角形的性质和勾股定理，掌握举行的判定方法是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，，然后根据，，得到，即可证明结论； （2）根据角的直角三角形的性质得到，然后根据勾股定理解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上确定一点，使，作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所做的图形中，连接，若，且，，则  ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、等角对等边、勾股定理、平行四边形的性质等知识，正确作图是解题的关键． （1）按照角平分线的作图方法，作交于点E，作的平分线交于点； （2）求出，，得到，，再由勾股定理即可得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， ∵， ∴， ∵作的平分线交于点 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 23. 我们将与称为一对“对偶式”．可以应用“对偶式”求解根式方程．比如小明在解方程时，采用了如下方法： 由于， 又因为①，所以②，由①+②可得， 将两边平方解得，代入原方程检验可得是原方程的解． 请根据上述材料回答下面的问题： （1）若的对偶式为，则________；（直接写出结果） （2）方程的解是________；（直接写出结果） （3）解方程：． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由定义直接可得答案； （2）求出，根据已知得到，两式相加可得，再求解即可； （3）同（2）的方法求解即可． 【小问1详解】 解：的对偶式为， ∴； 【小问2详解】 ， ∴， ∴， 得：， ∴； 【小问3详解】 ， ∴， ∴， 得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式，平方差公式，涉及新定义，无理方程等知识，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则． 24. 如图，在四边形中，，，，，，点先以每秒2个单位长度的速度由向运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点以每秒2个单位长度的速度由向运动．点与点同时出发，当点到达终点时，点随之停止运动，设运动时间为秒 （1）直接写出的长是__________； （2）当点在线段上时，___________；当点在射线上时，____（用含的代数式表示） （3）连接，以中两个顶点和点、点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】（1）10 （2）； （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定、勾股定理、一元一次方程等知识，解题关键是发现直角三角形，运用勾股定理以及分类讨论的思想． （1）过D点作于E，求出，中，利用勾股定理求解即可； （2）根据路程、速度、时间之间的关系即可求解； （3）当时，则，当时，则，当时，则，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图，D点作于E， ∵，， ∴四边形为矩形，则， ∴， 中，； 【小问2详解】 解：∵的长是10，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动， ∴点P从点A运动到点D需要5秒， ∴当点P在线段上时，，； ∵点P再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴当点P在射线上时，，； 故答案为：，；，； 【小问3详解】 如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， ∴或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $