专题07矩形期中复习讲义 (11大题型+题型突破)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题07矩形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握矩形的定义，明确矩形与平行四边形的从属关系（矩形是特殊的平行四边形）。 2.熟记矩形的核心性质：对边平行且相等、四个角为直角、对角线相等且互相平分。 3.掌握直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。 4.牢记矩形的判定方法（定义法、对角线法），明确判定的适用条件。 1.能运用矩形性质、判定定理，解决角度、线段长度、面积的计算问题。 2.能规范书写证明过程，完成矩形判定、性质应用的相关推理。 3.能处理坐标系中矩形问题、折叠问题，掌握分类讨论思路（避免漏解）。 4.能区分矩形性质与判定的逻辑，灵活运用知识解决基础综合题。 1.基础题（选择、填空）：精准完成矩形性质、判定的基础考查，不丢基础分。 2.中档题（解答题）：熟练完成矩形相关的计算、证明，步骤规范，无逻辑错误。 3.压轴题（拓展）：能解决坐标系矩形、折叠矩形等综合题，不遗漏关键步骤。 4.规避高频失分点：不混淆性质与判定、不遗漏分类讨论、规范书写解题步骤。 题型1.矩形性质之角度计算 题型2.矩形性质之线段求值 题型3.矩形性质之面积求解 题型4.矩形判定的条件补充 题型5.矩形的判定证明 题型6.斜边中线定理的实际应用 题型7.矩形折叠的综合计算 题型8.平面直角坐标系中的矩形问题 题型9.矩形性质与判定的角度综合 题型10.矩形性质与判定的线段综合 题型11.矩形性质与判定的面积综合 解答题6题 题型01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 ▶ 关键：矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，且独有直角、对角线相等等特征。 知识点02:矩形的性质（必考，分 3 类记） 文字语言 几何语言 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:直角三角形斜边中线定理（矩形推导，单独必考） 1. 定理内容 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2. 推导依据 矩形对角线相等且互相平分，将矩形沿对角线拆分可得两个全等直角三角形，斜边为矩形对角线，中线为对角线的一半。 3. 简单应用 若 Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 知识点04:矩形的判定（3 种方法，期中证明 / 添条件必考） 判定方法 文字语言 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点05:核心知识关联（避混关键） 矩形 vs 平行四边形（性质 / 判定差异） 要点 平行四边形 矩形 角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角线 互相平分 互相平分且相等 轴对称性 无 有 2 条对称轴 判定延伸 无特殊直角 / 对角线要求 需满足直角或对角线相等条件 知识点06:期中高频解题核心结论（直接套用） 1.矩形的对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形； 2.矩形中，对角线与边长满足勾股定理（如矩形 ABCD，AC=BD=）； 3.判定矩形的核心思路：先证平行四边形，再补矩形独有条件（直角 / 对角线相等），或直接证三个直角。 . 题型01.矩形性质之角度计算 【典例】矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图矩形中，对角线，相交于点，，则_____度． 【跟踪专练2】如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则____________． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，连接，延长至点E使，连接．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型02.矩形性质之线段求值 【典例】如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，与交于点，则与的周长差为____________． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 题型03.矩形性质之面积求解 【典例】如图，某小区要在一块形状为矩形的空地上建造一个如图所示的四边形花园，点E，F，G，H分别为边的中点，若，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点O是矩形的对称中心，点E、F分别是边、上的点，且，已知矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为______． 【跟踪专练2】如图所示，矩形的对角线，相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，则图中阴影部分的面积为_____． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 题型04.矩形判定的条件补充 【典例】如图，为判断这个四边形门框是否为矩形，提出下列四个测量方案，其中正确的是（    ） A．测量对角线是否相等 B．测量一组邻角是否互补 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量三个内角是否都是直角 【跟踪专练1】如图，中，于E，F为上一点，请添加一个条件，使得四边形是矩形，这个条件可以为______． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线与交于点． （1）添加一个条件___________，则可判定四边形是矩形； （2）若，，则与的周长之差为___________． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 题型05.矩形的判定证明 【典例】平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，△ABO为等边三角形，AB＝10cm，这个平行四边形ABCD的面积为 ___cm2． 【跟踪专练1】在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是___________． 【跟踪专练3】在“利用直角三角形作矩形”的综合实践课上，嘉嘉和明明分别利用尺规作出如下示意图．关于他们的作图方法，正确的是（    ） A．嘉嘉正确，明明错误 B．嘉嘉错误，明明正确 C．两人都正确 D．两人都错误 题型06.斜边中线定理的实际应用 【典例】如图，是的中位线，是的高线，若，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【跟踪专练1】如图，中，，中线，则的长度是______． 【跟踪专练2】如图，已知中，，作边上的中线和高线，则____． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点且始终有，则线段长的最小值是（   ） A． B．6 C． D．9 题型07.矩形折叠的综合计算 【典例】如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠矩形，使点B落在边上的点F处，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将长方形纸片，沿折痕折叠，分别落在对应位置处，交于点E，若，则为 ________ ． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，．E是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点A恰好落在边上点F处，则的长是______． 【跟踪专练3】如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型08.平面直角坐标系中的矩形问题 【典例】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是_______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 题型09.矩形性质与判定的角度综合 【典例】如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（    ） A．4 B．3 C．5 D． 【跟踪专练1】如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    【跟踪专练2】如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型10.矩形性质与判定的线段综合 【典例】如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为_______． 【跟踪专练1】如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，，折痕与分别交、于点、，则线段的长是_________． 【跟踪专练3】如图，中，．点D是边上的动点，过点D作边的垂线，垂足分别为E，F、连接，则的最小值为（  ） A．3 B． C．4 D． 题型11.矩形性质与判定的面积综合 【典例】如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为______． 【跟踪专练1】在中，，，点在内，且，， 分别是的中点，则四边形的面积为____． 【跟踪专练2】如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是______． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【解答题】 1．如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 2．如图，在矩形中，，过对角线的中点作的垂线，分别交于点．求的长． 3．如图，在中，，点E，F分别是，的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．如图，已知四边形是平行四边形，为对角线，，，，点为的中点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度运动到点停止，连接并延长交于点，设点的运动时间为秒． (1)求四边形的面积； (2)连接，点在运动过程中是否能使为等腰三角形？如果能，求出；如果不能，请说明理由． 5．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 6．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为．    (1)如图①，将矩形纸片折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段，求点D坐标； (2)如图②，点E，F分别在，边上，将矩形纸片沿线段折叠，使得点B与点重合；连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的基础上，直接写出点C的对应点G的坐标＿＿＿． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07矩形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握矩形的定义，明确矩形与平行四边形的从属关系（矩形是特殊的平行四边形）。 2.熟记矩形的核心性质：对边平行且相等、四个角为直角、对角线相等且互相平分。 3.掌握直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。 4.牢记矩形的判定方法（定义法、对角线法），明确判定的适用条件。 1.能运用矩形性质、判定定理，解决角度、线段长度、面积的计算问题。 2.能规范书写证明过程，完成矩形判定、性质应用的相关推理。 3.能处理坐标系中矩形问题、折叠问题，掌握分类讨论思路（避免漏解）。 4.能区分矩形性质与判定的逻辑，灵活运用知识解决基础综合题。 1.基础题（选择、填空）：精准完成矩形性质、判定的基础考查，不丢基础分。 2.中档题（解答题）：熟练完成矩形相关的计算、证明，步骤规范，无逻辑错误。 3.压轴题（拓展）：能解决坐标系矩形、折叠矩形等综合题，不遗漏关键步骤。 4.规避高频失分点：不混淆性质与判定、不遗漏分类讨论、规范书写解题步骤。 题型1.矩形性质之角度计算 题型2.矩形性质之线段求值 题型3.矩形性质之面积求解 题型4.矩形判定的条件补充 题型5.矩形的判定证明 题型6.斜边中线定理的实际应用 题型7.矩形折叠的综合计算 题型8.平面直角坐标系中的矩形问题 题型9.矩形性质与判定的角度综合 题型10.矩形性质与判定的线段综合 题型11.矩形性质与判定的面积综合 解答题6题 题型01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 ▶ 关键：矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，且独有直角、对角线相等等特征。 知识点02:矩形的性质（必考，分 3 类记） 文字语言 几何语言 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:直角三角形斜边中线定理（矩形推导，单独必考） 1. 定理内容 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2. 推导依据 矩形对角线相等且互相平分，将矩形沿对角线拆分可得两个全等直角三角形，斜边为矩形对角线，中线为对角线的一半。 3. 简单应用 若 Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 知识点04:矩形的判定（3 种方法，期中证明 / 添条件必考） 判定方法 文字语言 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点05:核心知识关联（避混关键） 矩形 vs 平行四边形（性质 / 判定差异） 要点 平行四边形 矩形 角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角线 互相平分 互相平分且相等 轴对称性 无 有 2 条对称轴 判定延伸 无特殊直角 / 对角线要求 需满足直角或对角线相等条件 知识点06:期中高频解题核心结论（直接套用） 1.矩形的对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形； 2.矩形中，对角线与边长满足勾股定理（如矩形 ABCD，AC=BD=）； 3.判定矩形的核心思路：先证平行四边形，再补矩形独有条件（直角 / 对角线相等），或直接证三个直角。 . 题型01.矩形性质之角度计算 【典例】矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质证得，根据三角形的内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，掌握矩形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图矩形中，对角线，相交于点，，则_____度． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质可得，再由等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵矩形中，对角线相交于点 O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【跟踪专练2】如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则____________． 【答案】/15度 【分析】连接，与交于点，根据矩形的性质得出，，，则，．结合，得出，则，再结合即可求解． 【详解】解：连接，与交于点， 四边形是矩形， ，，， ，． 又， ， ． ， ∴． 故答案为： 【跟踪专练3】如图，在矩形中，连接，延长至点E使，连接．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其外角性质，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．连接交于O，先根据矩形的性质得到，，，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，，再根据三角形的外角性质求得，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，连接交于O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 题型02.矩形性质之线段求值 【典例】如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，与交于点，则与的周长差为____________． 【答案】2 【分析】根据矩形的性质，结合三角形的周长即可求解． 【详解】四边形为矩形，，， ，， ， 与的周长之差为2． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，，是边上一点，连接，过点作于点，连结，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 取中点，连接，根据直角三角形斜边中线可得，然后由勾股定理求解，再由三角形三边关系即可求解最值． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，取得最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接 ． ∵M，N分别是，的中点，. ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，，， ∴，，． 在中， ． ． 题型03.矩形性质之面积求解 【典例】如图，某小区要在一块形状为矩形的空地上建造一个如图所示的四边形花园，点E，F，G，H分别为边的中点，若，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形面积减去周围四个直角三角形的面积即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点E，F，G，H分别为边的中点， ∴，， ∴四边形的面积为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出四个直角三角形的边长是解此题的关键． 【跟踪专练1】如图，点O是矩形的对称中心，点E、F分别是边、上的点，且，已知矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为______． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明与全等转化阴影面积． 先由角边角的判定方法证明与全等，由全等的性质可知，，即可转化阴影部分面积为，再结合矩形的面积即可求解． 【详解】解：过点O作交于点H，如图， ∵点O是矩形的对称中心， ∴， 即为等腰三角形， ∴， ∵在矩形中， ， ∴， ∵， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∵矩形的面积是20， ∴， ∴． 故答案为：5 ． 【跟踪专练2】如图所示，矩形的对角线，相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】3 【分析】先证明，得到，从而得到阴影部分的面积为，解答即可． 本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴， ∴阴影部分的面积为3， 故答案为：3． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质．由矩形的性质推出，，求出，根据矩形的面积即可求出答案． 【详解】解：过点D作交于点H， 四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 故选：A． 题型04.矩形判定的条件补充 【典例】如图，为判断这个四边形门框是否为矩形，提出下列四个测量方案，其中正确的是（    ） A．测量对角线是否相等 B．测量一组邻角是否互补 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量三个内角是否都是直角 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定．由矩形的判定逐一分析即可得出结论． 【详解】解：对角线相等的四边形不一定是矩形，故选项A不符合题意； 一组邻角互补的四边形不一定是矩形，故选项B不符合题意； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 三个角是直角的四边形是矩形，故选项D符合题意； ∴在这四个拟定方案中，正确的方案是D， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，中，于E，F为上一点，请添加一个条件，使得四边形是矩形，这个条件可以为______． 【答案】答案不唯一 【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先得到四边形是平行四边形，然后再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行推理． 【详解】解：添加，使得四边形是矩形， 证明：∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴是平行四边形， 又， ∴， ∴是矩形． 故答案为：．答案不唯一 【跟踪专练2】如图，在中，对角线与交于点． （1）添加一个条件___________，则可判定四边形是矩形； （2）若，，则与的周长之差为___________． 【答案】 （答案不唯一） 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定． （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，添加一个条件即可； （2）根据平行四边形的性质，结合三角形的周长表达式，计算即可． 【详解】解：（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件， 故答案为：（答案不唯一）； （2）∵平行四边形中，对角线与交于点O，，， ∴，，， ∴与的周长之差为， 故答案为：2． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定条件寻找使平行四边形有一个角为直角的四边形的条件． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 结合图形，要使平行四边形为矩形，需有一个内角为． A选项，若，则，平行四边形为菱形，不符合题意； B选项，若，无法得到的内角为直角，不符合题意； C选项，若，无法得到内角为直角，不符合题意； D选项，若，则，平行四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 题型05.矩形的判定证明 【典例】平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，△ABO为等边三角形，AB＝10cm，这个平行四边形ABCD的面积为 ___cm2． 【答案】 【分析】根据等边三角形性质求出OA＝OB＝AB＝10 cm，根据平行四边形的性质求出OA＝OC，OB＝OD，得出AC＝BD＝20 cm，证出四边形ABCD是矩形，得出∠ABC＝90°，由勾股定理求出BC即可． 【详解】解：∵△ABO是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝10 cm， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∴AC＝BD＝20 cm， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， 由勾股定理得：BC＝ cm， 平行四边形ABCD的面积为cm2． 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键． 【跟踪专练1】在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故A符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； ，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； 由四边形是平行四边形，，不能判定平行四边形是矩形，故D符合题意． 故选D． 【跟踪专练2】如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是___________． 【答案】矩形 【分析】本题考查平行四边形的性质和矩形的判定．利用平行四边形的性质得出即可证明四边形是矩形． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ∴． ∵分别平分， ∴，即． 同理可证， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 【跟踪专练3】在“利用直角三角形作矩形”的综合实践课上，嘉嘉和明明分别利用尺规作出如下示意图．关于他们的作图方法，正确的是（    ） A．嘉嘉正确，明明错误 B．嘉嘉错误，明明正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的判定、矩形的判定等知识，根据作图步骤和矩形的判定分别进行证明即可. 【详解】解：两人都正确，理由如下： 嘉嘉：由作图可知， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形，故嘉嘉的作图正确； 明明：由作图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形，故明明的作图正确； 故选：C 题型06.斜边中线定理的实际应用 【典例】如图，是的中位线，是的高线，若，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：是的中位线， 为的中点，为的中点， ， 是的高线， ，， 为的中点， ． 【跟踪专练1】如图，中，，中线，则的长度是______． 【答案】 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半求出，再由勾股定理可得． 【详解】解：∵中，中线， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，已知中，，作边上的中线和高线，则____． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中线的性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识内容，熟知勾股定理和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解答此题的关键．根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出的值，利用三角形中线的性质求出，根据三角形的面积公式求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵是的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点且始终有，则线段长的最小值是（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】连接，，设、交于点H，斜边上的中线得到，易得垂直平分线段，三线合一，得到，进而得到点G在射线上，过B作交射线于，垂线段最短，得到当G与重合时，取得最小值，最小值为线段的长，证明，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，，设、交于点H， ∵，G为的中点， ∴． ∵为等边三角形， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴点G在射线上， 过B作交射线于， 则当G与重合时，取得最小值，最小值为线段的长， ∵，，， ∴， ∴， 即的最小值为6． 题型07.矩形折叠的综合计算 【典例】如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠矩形，使点B落在边上的点F处，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由矩形的性质得到，再由折叠的性质得到，求出，则；设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，正确利用勾股定理建立方程是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，将长方形纸片，沿折痕折叠，分别落在对应位置处，交于点E，若，则为 ________ ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作，根据平行线的性质解题即可． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，．E是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点A恰好落在边上点F处，则的长是______． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边相等，再结合勾股定理逐步计算线段长度．首先根据折叠的性质得出，；然后在中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；最后设，表示出的长度，在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，． ∴，，； ∵将沿折叠，点落在边上的点处， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 【跟踪专练3】如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，计算解答． 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：C． 题型08.平面直角坐标系中的矩形问题 【典例】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是_______． 【答案】（，0） 【分析】利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解． 【详解】由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1， ∵OB＝＝＝， ∴OP＝， ∴点P的坐标为（，0）． 故答案为：（，0）． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出点B的坐标即可． 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC=AB，CB=OA， ∵点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3）， ∴AB=3，OA=6， ∴点B坐标为（6，3）， 故选：B． 【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出点B的坐标． 【跟踪专练2】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 题型09.矩形性质与判定的角度综合 【典例】如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（    ） A．4 B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，ADBC，再证四边形ABFQ是矩形，得AB=FQ=DC=4，求出EQ=FQ=4，即可得出答案． 【详解】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQA=∠FQD=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，ADBC， ∴四边形ABFQ、四边形CDQF都是矩形， ∴AB=FQ=DC=4，QD=CF， 由题意得：AE=CF， ∴AE=QD， ∵ADBC， ∴∠QEF=∠BFE=45°， ∴△QEF是等腰直角三角形， ∴EQ=FQ=4， ∴AE=QD=×（10-4）=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 【跟踪专练2】如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 题型10.矩形性质与判定的线段综合 【典例】如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质及折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质得出是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质，，，设，则，运用勾股定理得到，则，再证，得到，，如图所示，过点作于点，在中运用勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴，则， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，在中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，连接，先证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，，折痕与分别交、于点、，则线段的长是_________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，过作于，根据矩形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到答案，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作于，如图： 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， 将纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，中，．点D是边上的动点，过点D作边的垂线，垂足分别为E，F、连接，则的最小值为（  ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键，连接，由勾股定理求出，再证明四边形是矩形，得到，由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小，进而由三角形的面积求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时，即 ， 的最小值为， 故选：B． 题型11.矩形性质与判定的面积综合 【典例】如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，运用已知条件证明与面积相等，则将阴影部分面积转化为求的面积即可，解答本题的关键在于证明两个三角形全等． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， （两直线平行内错角相等）， 在与中， ∴（） ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练1】在中，，，点在内，且，， 分别是的中点，则四边形的面积为____． 【答案】70 【分析】连接并延长交于点P，得到是线段的垂直平分线，根据勾股定理得到是的中位线，四边形为平行四边形，即可得到四边形为矩形，即可得到结果． 【详解】解：连接并延长交于点P， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∴四边形的面积， 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了四边形综合．掌握矩形的判定定理和性质定理、勾股定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是______． 【答案】当时，四边形的面积总是矩形的面积一半 【分析】本题主要考查了几何图形中的动点问题，矩形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，用表示出相应线段的长度是解题的关键．由题意可得：，，推出，，再分别求出矩形、、的面积，进而求出四边形的面积，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， ，，，， ，， ， ， 当时，四边形的面积总是矩形的面积一半， 故答案为：当时，四边形的面积总是矩形的面积一半． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 先证明四边形是矩形，得到，再运用勾股定理即可求解，继而得到矩形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 【解答题】 1．如题，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．若． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，再有一个角是直角的平行四边形是矩形即可获证． （2）先根据勾股定理算出的长，发现，再根据等边对等角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 2．如图，在矩形中，，过对角线的中点作的垂线，分别交于点．求的长． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，．连接，由为中点，得到，设，则，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 连接， 为中点， ， 设，则， ∵在中，， ∴ 解得：， ∴． 3．如图，在中，，点E，F分别是，的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】三角形中位线的性质定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）利用三角形中位线性质定理和直角三角形斜边中线定理即可得出； （2）根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴为的中位线． ∴． ∵点F是的中点，， ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1）知，为的中位线， ∴． ∴． ∵点F是的中点，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 4．如图，已知四边形是平行四边形，为对角线，，，，点为的中点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度运动到点停止，连接并延长交于点，设点的运动时间为秒． (1)求四边形的面积； (2)连接，点在运动过程中是否能使为等腰三角形？如果能，求出；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)点在运动过程中能使为等腰三角形．当或时，为等腰三角形 【分析】（1）利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求得平行四边形的底和高，再利用底乘以高计算面积； （2）探究为等腰三角形，要分三种情况进行讨论：．通过相应的计算表示出，然后利用边相等建立方程进行求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． ∵四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． （2）解：点E在运动过程中能使为等腰三角形． 理由：如图2，过点B作，交的延长线于点G，过点E作于点H，连接． ∵在平行四边形中，，， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∵点E的运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒， ∴． ∵在平行四边形中，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∴在中， ． ∵点为的中点， ∴D，M，B共线，且． ∵在中，，， ∴， ∴． 当时，有， 解得：． 当时，有， 解得：． 当时，由题意可知点E与点B重合，此时点B、E、M不构成三角形． 综上所述，当或时，为等腰三角形． 5．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题： （1）先根据勾股定理得出，由折叠得： ，根据折叠的性质得出，，，设，则 ，，在 中，由勾股定理得：，求解即可得出答案； （2）先求出，，由折叠得： ，，根据，得出在上，得出四边形是正方形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如下图， 在矩形中， ，，， ， 由折叠得： ， ，，， ，， 设，则 ，， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）是直角三角形，理由如下： ，， ，， 由折叠得： ，， ， 在上，如图所示， 四边形是正方形， ， 是直角三角形． 6．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为．    (1)如图①，将矩形纸片折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段，求点D坐标； (2)如图②，点E，F分别在，边上，将矩形纸片沿线段折叠，使得点B与点重合；连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的基础上，直接写出点C的对应点G的坐标＿＿＿． 【答案】(1) (2)四边形为菱形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系与四边形的结合问题，熟练掌握图形翻折前后全等的性质是解题的关键； （1）由折叠可得，，可得，再根据勾股定理求出的长，即可得到点坐标； （2）同样利用折叠得到，四边形与四边形全等，设，则，利用勾股定理求出的长，进而得到，根据菱形的判定即可得到四边形的形状； （3）过点作轴于点，根据（2）的结论，利用求出，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点坐标为， ∴，， 由折叠可知，， ∴， 在中， ， ∴点的坐标为． （2）解：由题可得图如下：    由折叠知，四边形与四边形全等，点坐标为， ∴，，， 设， ∵点， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵ ∴四边形为菱形． （3）解：过点作轴于点，如图所示：    由（2）得：， ， ∴， 在中，， ∴， ∴点的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $