第二十一章 四边形-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十一章 四边形 四边形及多边形 测试时间：40分钟 测试分数：60分 一、选择题（每小题3分，共18分） 红说：“你的计算不对呀，你可能少加了一 1.六边形的外角和为( ) 个角！”请问小军同学少加的这个角的度数 A.360° B.540° C.720° D.900° 及这个多边形的边数是( 2.如图所示的晾衣架中，木架可以自由活动， A.44°；11 B.44°；13 其利用的几何原理是()》 C.136°；14 D.136°；12 A.两点之间，线段最短 二、填空题（每小题3分，共6分）》 B.两点确定一条直线 7.如图，天坛祈年殿的圆形三重檐象征“天 C.三角形具有稳定性 圆”，其底座实际为十二边形，呼应中国传 D.四边形具有不稳定性 统历法中的“十二月”与“十二时辰”.该底 座所有内角之和为 度 第2题图 第4题图 3.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此 第7题图 第8题图 多边形分成7个三角形，则此多边形的边数 8.如图，足球的表面是由12块正五边形的黑 为() 皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球 A.10 B.9 C.8 D.7 上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开 4.如图，五边形公园中，∠1=90°，张老师沿公 放平，则∠AOB的度数为 园边由A点经B→C→D→E→A散步，张老 三、解答题（共36分） 师共转了() 9.(8分)在五边形ABCDE中，AB∥DE,∠E= A.450° B.360° C.260° D.270° 124°，∠C=80°，F为边AB上一点，FG⊥ 5.一个机器人在平地上按如下要求行走，则该 AE,且∠D=∠BFG,求∠B的度数， 机器人从开始到停止所行走的路程为多少 米？( 否 站在 开始一 向前走3m后 是 点0处 再左转45° 回到点0处 停止 A.9 B.12 C.24 D.45 6.在求一个多边形的内角和时，小军说：“我 计算出这个多边形的内角和为2024°.”小 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBR·数学第7页 10.(9分)已知正x边形的内角和为1080°，12.(10分)如果一个四边形中有一组对角相 边长为2 等，且这组对角的顶点连线与该四边形的 (1)求正x边形的周长； 一边垂直，那么这个四边形叫作等垂四边 (2)若正n边形的每个外角的度数比正x 形.如图1，在四边形ABCD中，若∠ADC= 边形每个内角的度数小63°，求n的值. ∠ABC,且BD⊥AD,则四边形ABCD为等 垂四边形 如图2和如图3，已知四边形ABCD为等垂 四边形，∠DAB=∠DCB,AC⊥BC. (1)在图2中，若∠B=30°，∠ACD=40°， 则∠D的度数为 (2)在图3中，若CD∥AB,CM,AN分别平 分∠ACD,∠CAB,请判断四边形CMAN是 否为等垂四边形，并说明理由. 11.(9分)阅读小明和小红的对话，解决下列 问题 图1 图2 图3 小明通 您小红 我把一个多边形 多边形的内角和不 的各内角相加，得 可能是1520°，我看 到的和为1520°. 了你的过程，你多加 了一个外角. (1)通过列方程说明“多边形的内角和不 可能是1520”的理由； (2)求该多边形的内角和； 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBR·数学第8页 平行四边形 测试时间：40分钟测试分数：55分 一、选择题（每小题3分，共21分）》 6.如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD,AD= 1.已知四边形ABCD,下列条件能判断它是平 11,BD=8,CD=6,点E、F、G、H分别是AB、 行四边形的是() AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长 A.AB∥CD,AD=BC 是() B.∠A=∠D,∠B=∠C A.14 B.18 C.21 D.24 C.AB=CD,∠A=∠C D.AB∥CD,AB=CD 2.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点 0,且AB=6,△OCD的周长为18，则平行四 边形ABCD的两条对角线的和是() 第6题图 第7题图 A.12 B.24 C.28 D.40 7.如图，平行四边形ABCD的周长为36cm,对 M D 角线AC,BD交于点O,若点E是AD的中 点，连接OE.则线段OE+AE的值 B 第2题图 第3题图 为( )cm. 3.如图，在□ABCD中，BM是∠ABC的平分 A.6 B.9 C.12 D.18 线，交CD于点M,MC=2,AD+DC=7,则 二、填空题（每小题3分，共9分） DM等于() 8.新考法·开放性试题如图，在口ABCD中， A.1 B.2 C.3 D.4 E,F是对角线AC上的点，如果添加一个条 4.如图，在口ABCD中，CE平分∠BCD交AD 件，使△ADE≌△CBF,则添加的条 于点E.若∠B=46°，则∠AEC的大 件为 小为() A.110° B.113 C.125° D.134° B/C 第8题图 第9题图 9.如图，直线AB∥CD,GH平分∠CGF,GI平分 第4题图 第5题图 ∠DGF,且HG=15cm,GI=20cm,HI= 5.如图，已知AB=DC,AD=BC,E、F是DB上 25cm,则直线AB与直线CD之间的距离 两点且AE∥CF,若∠AEB=115°，∠ADB= 是 cm. 35°，则∠BCF=( 10.易错题如图，点A、B、C的坐标分别是 A.150° B.40° C.80° D.90° (0,2)、(2,2)、(0,-1),那么以点A、B、C 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBR·数学第9页 为顶点的平行四边形的第四个顶点D的12.(8分)如图，口ABCD的对角线AC与BD 坐标是 相交于点O,点E,F分别在OB和OD上， 且∠AEB=∠CFD. 3 B (1)求证：四边形AECF是平行四边形； 1 (2)若∠AEB=90°，AE=EF=2,求线段AC -3-2-1g12x 的长 -2 三、解答题（共25分） 11.(8分)如图，在四边形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O,且AC=BD,E、F分别 是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于 点G、H,取BC边的中点M,连接EM、FM. 求证： (1)△MEF是等腰三角形； (2)0G=0H. 13.（9分)如图，□ABCD的对角线AC,BD交 于点O,EF过点O且分别与AD,BC交于 点E,F. (1)求证：△A0E≌△C0F; (2)记四边形ABFE的面积为S1,口ABCD 的面积为S2,用等式表示S,和S2的关系. A E D 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBR·数学第10页 矩形 测试时间：40分钟 测试分数：50分 一、选择题（每小题3分，共18分） 阴影部分的面积是() 1.测量一个桌面是否为矩形，其中正确的 A.12 B.10 C.8 D.6 是() 6.如图，在矩形ABCD中，AD=√2AB,∠BAD A.测量其中三个角是否为直角 的平分线交BC于点E,DH⊥AE,垂足为H, B.测量两组对边是否相等 连接BH并延长，交CD于点F,DE交BF于 C.测量对角线是否互相平分 点O.有下列结论：①△DHE≌△DCE;② D.测量对角线是否相等 ∠DHO=30°；③OE=OD;④BH=HF;其中 2.如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的 正确的是( ) 墙(ON)上，设木棍中点为P,若木棍A端沿 A.①③④ 墙下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过 B.①②④ 程中，点P到点O的距离( C.①②③ A.变小 B.不变 D.②③④ C.变大 D.无法判断 二、填空题（每小题3分，共12分） 7.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC 平分∠BED,AB=2,∠ABE=45°，则DE的 O BM 长是 第2题图 第3题图 3.如图，在矩形ABCD中，AB=1,对角线AC与 BD相交于点O,AE⊥BD于E,若BE=EO, 则AD的长是( 第7题图 第8题图 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂 A.√2 B.3 C.2 D.3 足为D,点E是AB的中点，∠BCD= 4.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩 3∠ACD,CD=3,则AB的长为 形沿AC折叠，点B落在点B处，则重叠部 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA= 分△AFC的面积为( 9,AC=12,点D是斜边BC上的一个动点， A.12 B.10 C.8 D.6 过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 B 点F,点G为四边形DEAF对角线交点，则 线段GF的最小值为 第4题图 第5题图 5.矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M 作AB的平行线交AD于E,交BC于F,连 B E A 接DM和BM,已知，DE=2,ME=4,则图中 第9题图 第10题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBR·数学第11页 10.易错题如图所示，在矩形ABCD中，AB= 于点N. 8cm,BC=3cm,点P从点A出发沿AB以 【猜想】MN=CN. 2cm/s的速度向终点B移动，同时，点Q 【验证】请将下列证明过程补充完整： 从点C出发沿CD以3cm/s的速度向终 .矩形纸片ABCD沿MC所在的直线 点D移动，其中一个点到达终点，另一个 折叠， 点也停止运动.经过 秒P、Q两点 ∴.∠CMD= 之间的距离是5cm. .四边形ABCD是矩形， 三、解答题（共20分） ·.ADBC（矩形的对边平行)， 11.（10分)如图，在△ABC中，CF⊥AB,垂足 ∴.∠CMD= ( 为F,BE⊥AC,垂足为E,M为BC的中点， ）, 连接MF,ME. (等量代换)， (1)求证：ME=MF; .MN=CN( (2)若∠ABC=54°，∠ACB=60°，求∠FME 【应用】 的大小 如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使 AM恰好落在直线MD'上，点A落在点A' 处，点B落在点B'处，折痕为ME. (1)猜想MN与EC的数量关系，并说明 理由； (2)若CD=2,MD=4,求EC的长 冬41 图2 12.(10分)折叠问题是我们常见的数学问题， 它是利用图形变化的轴对称性质解决的相 关问题.数学活动课上，同学们以“矩形的 折叠”为主题开展了数学活动. 【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边 AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直 线折叠，使点D落在点D'处，MD'与BC交 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBR·数学第12页 菱形、正方形 测试时间：40分钟 测试分数：50分 一、选择题（每小题3分，共18分） 6.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱 1.正方形具有而菱形不具有的性质是( 形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴的正 A.四个角都是直角 半轴上移动，点A,C之间的距离为4，连接 B.两组对边分别相等 OC.下列关于结论①、②的判断正确的 C.内角和为360° 是( D.对角线平分对角 ①∠BAD的度数为100°：②线段OC长度的 2.如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上 最大值为25+2. 一点，且AB=AE,则∠DBE度数是( A.①、②都对 A.15° B.32.5° B.①错②对 C.22.5° D.30° C.①对②错 D.①、②都错 二、填空题（每小题3分，共15分） 第2题图 第3题图 7.在口ABCD中，已知AC,BD为对角线，现有 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交 以下四个条件：①∠ABC=90°；②AC=BD; 于点0，D0=3,∠ADC=120°，则菱形ABCD ③AC⊥BD;④AB=BC.从中选取两个条件， 的面积是( 可以判定口ABCD为正方形的是 A.18 B.183 C.36 D.363 (写出一组即可) 4.如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC,BD 8.如图，若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别 交于点0，E为AD的中点，若OE=3.5,则 为(2,0)，（-1,0)，点C在y轴上，则点D 菱形ABCD的周长等于() 的坐标是 A.14 B.28 C.7 D.35 第8题图 第9题图 第4题图 第5题图 9.如图，在正方形ABCD中，△ABE为等边三 5.如图，延长正方形ABCD的一边BC至E,使 角形，连接DE,CE,延长AE交CD于F点， CE=AC,连接AE交CD于F,则∠AFC的度 则∠DEF的度数为 数是( 10.如图，E,F是正方形ABCD的对角线AC上 A.112.5° B.120° 的两点，AC=8,AE=CF=2,则四边形 C.122.5° D.135° BEDF的面积是 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBR·数学第13页 易证△AME≌△ECF,所以AE=EF 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1)小颖提出：如图2，如果把“点E是边 第10题图 第11题图 BC的中点”改为“点E是边BC上（除B,C 11.如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80， 外)的任意一点”，其它条件不变，那么结 P是对角线BD上一点，分别作P点到直 论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点 线AB、AD的垂线段PE、PF,则PE+PF等 正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不 于 正确，请说明理由； 三、解答题（共17分） (2)小华提出：如图3，点E是BC的延长 12.(8分)如图，在□ABCD中，BC=2AB,点 线上（除C点外）的任意一点，其他条件不 E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点 变，结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华 O,连接EF,OC. 的观，点正确吗？如果正确，写出证明过程； (1)求证：四边形ABEF是菱形； 如果不正确，请说明理由 (2)若AB=4,∠ABC=60°，求OC的长， 13.(9分)数学课上，张老师出示了问题：如图 1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC 的中点.∠AEF=90°，且EF交正方形外角 ∠DCG的平分线CF于点F,求证：AE =EF. 经过思考，小明展示了一种正确的解题思 路：取AB的中点M,连接ME,则AM=EC, 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBR·数学第14页7 7.勾股定理的逆定理8. 6 9.24【解析】连接AB,:∠ACB=90°，AC=4,BC=3,.AB =√AC2+BC2=5,BD=12,AD=13,.AB2+BD2=169, AD2=132=169,.AB2+BD2=AD2,.△ABD是直角三角 x5×12- 形，.LABD=90°，∴.Sm影部分=S△ABm-SABc=2 2×4×3=24 10.(1)证明：.BD=6,AD=8,.BD2+AD2=62+82=100. AB=10,.BD2+AD2=AB2,.△ABD是直角三角形； (2)解：根据(1)得，△ABD是直角三角形，∠ADB= 90°，.∠ADC=90°，在Rt△ADC中，AD+CD=AC2.. AD=8,AC=17,∴.CD=15.,BD=6,∴.BC=BD+CD= 21. 11.解：该车架符合设计要求，理由如下：.∠BDC=90°，后 下叉CD=55cm,后上叉CB=73cm,∴BD=√BC2-CD =48cm,.AB=64cm,AD =80cm,.'.AB2+BD2=6400= AD2,.△ABD是直角三角形，∠ABD=90°，.∠ABD= ∠BDC,.AB∥CD. 12.解：(1)施工人员测量的是AC的距离.依据：若AC= 15m,则∠ABC=90°.在△ABC中，AB2+BC2=92+122= 225,AC2=225,∴.AB2+BC2=AC2,.△ABC为直角三角 形，.∠ABC=90°. (2)连接AC.在△ADC中，AD+AC2=289,DC2=172= 289,.△ADC为直角三角形，且∠DAC=90°， Sa数影n=SaMc+S=2×9x12+2×8x15=114, 114×110=12540(元).答：该学校建成这块塑胶场地需 花费12540元. 第二十一章四边形 四边形及多边形 1.A2.D 3.B【解析】由题意得，n-2=7,解得n=9,即这个多边形 是九边形.故选B. 4.D 5.C【解析】360°÷45°=8，即机器人从开始到停止围成的 多边形为八边形，3×8=24（米），即该机器人从开始到停 止所行走的路程为24米.故选C. 6.C【解析】由多边形内角和公式(n-2)×180°，可知多边 形的内角和是180°的整数倍，2024°÷180°=11…44°， 180°-44°=136°，(2024°+136°)÷180°+2=14.故选C. 7.1800 8.132°【解折1(5-2)x180°=540,5×540°=108，(6- 2)×180°=720°，G×720°=120°，∠A0B=360°-1080- 120°=132°. 9.解：(6-2)·180°=4×180°=720°，即∠E+∠D+∠C+∠B +∠BFG+∠FGE=720°..AB∥DE,∴.∠E+∠A=180°，. ∠E=124°，.∠A=180°-124°=56°.FG⊥AE, ∠FGE=∠FGA=90°，∴.∠BFG=56°+90°=146°，又 ∠D=∠BFG,∴.∠D=146°，.124°+146°+80°+∠B+ 146°+90°=720°，解得∠B=134°. 10.解：(1)由题意可得180°×(x-2)=1080°，解得x=8,则 正x边形的周长为8×2=16； (2)1080°÷8=135°，135°-63°=72°，360°÷72°=5，∴.n 的值为5. 11.解：(1)理由：设多边形的边数为n.180°(n-2)=1520°， 解得n=10。,n为正整数，多边形内角和不可能为 1520°； (2)设一个外角为，根据题意可得(n-2)·180°+a= 1520°，∴.a=1520°-(n-2)·180°，.0°<a<180°，∴.0< 追梦之旅铺路卷·八年级 4 4 1520°-(n-2)·180<180,解得9g<n<10g该 多边形的边数为10，.(10-2)×180°=1440°，故该多边 形的内角和为1440°. 12.解：(1)70 (2)四边形CMAN是等垂四边形，理由如下：·CD∥AB, .∠ACD=∠CAB,CM,AN分别平分∠ACD,∠CAB, ·∠DCM=1 )∠ACD,∠BAN=1∠CAB,.∠DCM月 ∠BAN,.·四边形ABCD为等垂四边形，∠DAB= ∠DCB,∴.∠DAB-∠BAN=∠DCB-∠DCM,即∠MCN= ∠MAN,AC⊥BC,.四边形CMAN是等垂四边形. 平行四边形 1.D2.B 3.C【解析】：四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC, DC∥AB,∴.∠CMB=∠MBA..·BM是∠ABC的平分线， .∠CBM=∠MBA,.∠CMB=∠CBM,..CM=BC=2.. AD+DC=7,∴.DC=5,.DM=5-2=3.故选C. 4.B【解析】四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, AD∥BC,∴.∠BCD+∠B=180°，∴.∠BCD=180°-46°= 1 134.:CE平分∠BCD,LBCE=2LBCD=67°，. ∠AEC=180°-67°=113°.故选B. 5.C6.C 7.B【解析】由题意，得0为BD的中点，AD+AB=18.又 E是AD的中点，.OE为△ABD的中位线，AE=2AD, 0B=21B0B+hE=2×18=9(cm.故选R 8.∠1=∠2（答案不唯一）9.12 10.(-2,-1)或(2，-1)或(2,5)【解析】由题意，得AB= 2,0A=2,0C=1,①AC为对角线时，CD=AB=2,点D 的坐标为(-2，-1)；②BC为对角线时，AB=CD=2, 点D的坐标为(2，-1)；③AB为对角线时，BD=AC=3, .点D的坐标为(2,5). 11.证明：(1)M、F分别是BC、CD的中点，.MF∥BD, MF=2BD,同理：MEAC,ME=AC.AC=BD,ME =MF,即△MEF是等腰三角形； (2)ME=MF,∴.∠MEF=∠MFE.MF∥BD,. 铺 ∠MFE=∠OGH,同理，∠MEF=∠OHG,∴.∠OGH= ∠OHG,.∴.OG=OH. 12.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB 手 ∥CD,∴.∠ABE=∠CDF,在△ABE和△CDF中， I∠AEB=∠CFD 案 ∠ABE=∠CDF,.△ABE≌△CDF(AAS),∴.AE=CF, AB=CD ·∠AEB=∠CFD,.∠AEO=∠CFO,.AE∥CF,.四 边形AECF是平行四边形： (2)解：四边形AECF是平行四边形，EF=2,.OE= 0F=1,0A=0C.∠AEB=90°，∴.∠AE0=90°，∴.0A= √AE2+0E2=√2+1=√5，∴.AC=20A=25. 13.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC, BD交于点O,'.ADBC,OA=OC,.∠OAE=∠OCF,在 I∠OAE=∠OCF △AOE和△COF中，{OA=OC ,.△A0E≌ (∠AOE=∠COF △COF(ASA) (AB=CD (2)解：在△ABC和△CDA中，{BC=DA,·.△ABC≌ AC=CA △CDA(SSS),.S△MBc=S△cM= 2SaCD,:△A0E≌ △COF,.S△AOg=SACOF,.S4边形ABFE=S△四边形Aro+S AAOE= 下·ZBR·数学第18页 1 S△图边形o+S△c0F=SA4Bc=2SaA8CDS,=2S2, 矩形 1.A2.B 3.B【解析】四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相 交于点O,∴.∠BAD=90°，AO=C0,AC=BD,.·AE⊥BD 于E,BE=E0,.AE垂直平分OB,∴.A0=AB=1,∴.AC= 2A0=2,∴.AC=BD=2,.AD=√BD2-AB2=√3.故选B. 4.B【解析】.·四边形ABCD是矩形，∴.DC=AB=8,AD= BC=4,∠D=90°，AB∥DC,.∴.∠BAC=∠FCA,由折叠的 性质得：∠FAC=∠BAC,.∠FCA=∠FAC,∴.AF=CF,设 AF=CF=x,DF=8-x,在Rt△ADF中，根据勾股定理得： AD2+DF2=AF2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴.S△ArC= )CF×AD=x5×4=10.故选B, 5.C 6.A【解析】：四边形ABCD是矩形，.∠BAD=LADC= ∠ABC=∠C=90°，AB=CD,·∠BAD的平分线交BC于 点E,∠BME=∠DME=3LBAD=45,∠BEA= ∠BAE=45°，.EB=AB,AE=VAB2+BE=√2AB,: AD=2AB,AD=AE,∠AED=LADE=2×(180°- 45)=67.5°，.·AD∥BC,∴.∠ADE=∠CED,∴.∠AED= ∠CED,:DH⊥AE,.∠DHE=90°，.∠DHE=∠C, ∠ADH=90°-45°=45°，∴.△DHE≌△DCE(AAS),故① 正确；在△ABE和△AHD中，∠BAE=∠DAE,∠ABE= ∠AHD,AE=AD,∴.△ABE≌△AHD(AAS),.BE=DH .AB=BE=AH=HD,,AB=AH,∴.∠AHB= 2×(180°- 45)=67.5°，.·∠0HE=∠AHB,∴.∠0HE=67.5°= ∠AED,∴.0E=0H,∠DH0=90°-67.5°=22.5°，故②错 误；.∠0DH=67.5°-45°=22.5°，.∴∠DH0=∠0DH,. OH=OD,.OE=OD=0H,故③正确；：∠EBH=90°-67. 5°=22.5°，.∠EBH=∠OHD,∠FDH=∠ADC-∠ADH =45°=∠HEB,.△BEH≌△HDF(ASA),.BH=HF,故 ④正确，.正确的是①③④.故选A. 7.22-2 铺8.6V2【解析】：LACB=90°，LBCD=3LACD, 路 .∠ACD=22.5°.CD⊥AB,.∠ACD+∠A=90 ∠A+∠B=90°，∠B=∠ACD=22.5°.，点E是AB 手 的中点，CE=BE=)AB,÷LBCE=LB=2250, 案 ∠DCE=45°..·∠CDE=90°，.CD=DE=3,∴.CE= √CD+DE2=3√2，.AB=2CE=6W2. 918 【解析】连接AD、EG.∠BAC=90°，且BA=9,AC= 5 12,∴.BC=√9+12=15.DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠DEA =∠DFA=∠BAC=90°，∴.四边形DEAF是矩形，∴.EF= AD,当AD LBC时，AD的值最小，此时，Sc=之ABX AC=宁-BxAD.AD=5:BF的装小位为 5:点c 为四边形DBAF对角线交点，心G==18 5 10号或兰【解折1过点Q作0mLB子，则QH=BC- 3cm..PQ=5cm,.∴.PH=√/PQ2-0=4cm,当，点P在 12 点Q右侧时，则34=8-2，t=5;当点P在点Q左 侧时，则3t+4=8-2,t=5 4 追梦之旅铺路卷·八年级 11.(1)证明：由条件可知△BCE和△BCF均是直角三角 形，.M为BC的中点，∴.MF=BM=CM,ME=BM=CM, .ME=MF; (2)解：.·MB=MF,ME=MC,.∠MBF=∠MFB, ∠MEC=∠MCE,·∠ABC=54°，∠ACB=60°，.∠BMF =180°-2×54°=72°，∠CME=180°-2×60°=60°， ∠EMF=180°-72°-60°=48°，.∠FME的度数为48°. 12.解：【验证】∠CMD'∠MCN两直线平行，内错角相 等∠CMD'=LMCN等角对等边 (应用】(1)EC=2MN;理由如下：.·由四边形ABEM折 叠得到四边形A'B'EM,.∠AME=∠A'ME,四边形 ABCD是矩形，.AD∥BC,.∠AME=∠MEN,.∠A'ME =∠MEN,.MW=EN,MW=CN,∴.MW=EW=NC,即 EC=2MN; (2)矩形ABCD沿MC所在直线折叠，.∠D=∠D'= 90°，DC=D'C=2,MD=MD'=4,设MN=NC=x,.ND'= MD'-MW=4-x,在Rt△ND'C中，∠D'=90°，.ND2+ 5 D'C2=NC2,(4-x)2+2=,解得x=2,MN=2, .EC=2MN=5. 菱形、正方形 1.A2.C 3.B【解析】，·四边形ABCD是菱形，∴.∠ADO= 1 2 ∠ADC=60°，AC⊥BD,B0=D0,A0=C0,∠A0D= 90°，.∠DA0=30°，.AD=20D=6,A0=√AD-0D =35,BD=20D=6,AC=2A0=65,Sx6cm=2AC ·BD=18√3.故选B. 4.B【解析】四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC=CD=AD, AC⊥BD.:E为AD边中点，∴.OE是Rt△AOD斜边的中 线，.AD=20E=7,.4×7=28.故选B. 5.A 6.B【解析】连接AC,由题意得AB=BC=AC=AD=DC=4, .△ABC和△ADC是等边三角形，∴.∠BAC=∠DAC= 60°，，∠BAD=120°，①错.取AD的中点E,连接CE, OE,'边长为4的菱形ABCD,DE=0E=)AD=2,CE ⊥AD,∴.CE=√CD2-DE2=2√3，在Rt△AD0中，OE= 24D=2,“0C≤0E+CE=23+2,.最大值为23+2， ②对.故选B. 7.①③（答案不唯一） 8.(3,2W2)【解析】.点A,B的坐标分别为(2,0)，（-1， 0),.OA=2,OB=1,.AB=3.四边形ABCD是菱形， ∴.AD=AB=CD=3,在Rt△BOC中，OC=√BC2-OB2= 2√2，∴.C(0,2√2)，∴.D(3,2W2). 9.105°【解析】四边形ABCD是正方形，.AB=AD, ∠BAD=90°.△ABE为等边三角形，.AE=BE=AB, ∠EAB=60°，∴.AE=AD,∠EAD=∠BAD-∠BAE=30°， LAED=LADE=(1-30)=75LDEF- 180°-75°=105°. 10.16【解析】连接BD交AC于点O.四边形ABCD为 正方形，.BD1AC,OD=OB=OA=OC.AE=CF=2, OE=OF,∴.四边形BEDF为平行四边形，.BD⊥EF,. 四边形BEDF为菱形，∴.DE=DF=BE=BF.,'AC=BD= 8,EF=8-2-2=4,.SxEr=2×EFXBD=-16. 11.8【解析】连接AP,由题意，得AB=AD=10,S△m=2× -40SxAxPE+ 1 XPFXAD= 下·ZBR·数学第19页 40,即，×10×(PE+PF)=40,-PE+PF=8 12.（1)证明：，·四边形ABCD是平行四边形，∴.BC∥AD,BC =AD.E,F分别是BC,AD的中点，BE=BC,AF= 2,BE=AP,心四边形ABBP是平行四边 =2AB,.AB=BE,.四边形ABEF是菱形； (2)解：过点O作OG⊥BC于点G,:E是BC的中点 BC=2AB,∴.BE=CE=AB=4..·四边形ABEF是菱形， ∠ABC=60°，.∠0BE=30°，∠B0E=90°，OE=2, ∠0EB=60°，∴.∠E0G=30°，∴.GE=1,∴.0G=√3，∴.GC =GE+CE=5,.0C=√0G+GC=27. 13.解：(1)正确，在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME. .:四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC,∠B=∠DCB= 90°，∴.BM=BE,.∠BME=45°，∠AME=135°，：CF 是外角∠DCG的平分线，.∠DCF=45°，.∠ECF= 135°，.∴.∠AME=∠ECF,.∠AEF=90°，.∠AEB+ ∠CEF=90°，.·∠AEB+∠BAE=90°，∴.∠BAE=∠CEF, .△AME≌△ECF(ASA),∴.AE=EF. (2)正确.在BA的延长线上取一点N.使AN=CE,连接 NE..BN=BE,.∠N=∠NEC=45°，：CF平分 ∠DCG,.∠FCE=45°，.∠N=∠ECF,四边形ABCD 是正方形，∴.AD∥BE,∴.∠DAE=∠BEA,∴.∠DAE+90° =∠BEA+90°，即∠NAE=∠CEF,.△ANE≌△ECF (ASA),∴.AE=EF. 专题与正方形有关的常考模型 1.解：(1)AE=DF (2)过点E作EM⊥BC于点M,则可证得四边形ABME 为矩形.则AB=EM,在正方形ABCD中，AB=BC,.EM= BC..·EM⊥BC,∴.∠MEF+∠EFM=90°.BG⊥EF,∴. ∠CBG+∠EFM=90°，∴，∠CBG=∠MEF,在△BCG和 (∠CBG=∠MEF △EMF中，{BC=EM ,.△BCG≌△EMF(ASA), (∠C=∠EMF .'BG=EF; (3)连接MN..M、N关于EF对称，∴.MN⊥EF,过点E 作EH⊥BC于点H.过点M作MG⊥CD于点G,则EH⊥ MG,由(2)同理可得△EHF≌△MGN(ASA),∴.NG=HF. AE=2,BF=5,.NG=HF=5-2=3.又.GC=MB=1, .NC=NG+CG=4. 2.(1)证明：四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠B= ∠BCD=∠DCG=90°.取AB的中点M,连接EM,'点E 是边BC的中点..AM=BM=EC=BE,.∠BME= ∠BEM=45°，∴.∠AME=135°.：CF平分∠DCG, ∠DCF=∠FCG=45°，.∠ECF=135°，∴.∠AME= ∠ECF,∠AEF=90°，.∠AEB+∠CEF=90°.又： ∠AEB+∠MAE=90°，∴.∠MAE=∠CEF.又.AM=CE ∠AME=∠ECF,.△AME≌△ECF(ASA),.AE=EF. (2)补全图形如图所示：AE=EF 仍然成立，理由如下：在BA延长 线上截取AP=CE,连接PE,则BP =BE.∠B=90°，.∠P=45. 又：CF平分∠DCG,.∠FCE= 45°，∴.∠P=∠FCE.,AD∥CB,∴.∠DAE=∠BEA., ∠PAE=90°+∠DAE,∠CEF=90°+∠BEA,∴.∠PAE= I∠P=∠FCE ∠CEF,在△APE与△ECF中， AP=CE (∠PAE=∠CEF △APE≌△ECF(ASA),∴.AE=EF 3.(1)证明：：四边形ABCD与EFC0均为正方形， ∠OBM=∠OCN=45°，OB=OC,OB⊥OC,.∠E0G= 90°，∴.∠B0C=∠E0G=90°，∴.∠BOM=∠C0N,∴. 追梦之旅铺路卷·八年级 △OBM≌△OCN(ASA); (2)解：不同意，理由：由(1)可知：△0BM≌△0CW, S△0Bw=S△0CN,.S四边形0MCY=S△0wc+S△0CN=S△0Mc+S△0BM= S△0ac=4SE方影Cm,即当正方形EFC0绕点0转动时，四 边形0MCV的面积总等于正方形ABCD面积的好： 4.证明：(I)四边形ABCD为正方形，AB=AD,∠BAD= ∠B=∠ADC=90°，.LADF=90°，.∠ABE=∠ADF. ∠EAF=90°，.∠BAE=∠DAF,在△ABE和△ADF中 I∠BAE=∠DAF AB=AD ,.△ABE≌△ADF(ASA),.BE=DF; N∠ABE=∠ADF (2)由(1)可得△ABE≌△ADF,.AE=AF.:AG平分 ∠EAF,.∠EAG=∠FAG,在△AEG和△AFG中， AE-AF ∠EAG=∠FAG,.△AEG≌△AFG(SAS),.GE=GF. AG=AG GF=DG+DF,BE=DF,..BE+DG=EG. 第二十二章函数 1.D 2.D【解析】由题意，得x+2≥0且x-1≠0，解得x≥-2且 x≠1.故选D. 3.C4.D 5.C【解析】C.通过观察表格，当支撑物的高度每增加 10cm,对应小车下滑时间的变化情况不相同，C错误.故 选C. 6.D【解析】由函数图象知：当x=0,即P在B点时，BA- BE=1,利用三角形两边之差小于第三边，得到PA-PE≤ AE,y的最大值为AE,AE=5.当PA取最大值时，此 时点P和点C重合，y值不是最大，故D错误.故选D. 7.2√28.y=16x 9.-3【解析】小-3<-1，.把x=-3代入y=2x+3,得y=2 ×(-3)+3=-3. 10.解：(1)时间 (2)301.7(3)2.5 铺 (4)小明离家2.5小时后继续坐公交车到滨海公园 (5)1230【解析】小明从中心书城到滨海公园的平 均速度为30,12=12(kmh),小明爸爸驾车的平均建度 手 4-2.5 3.5-2.530(km/h): 为 30 案 (6)s=30t-75(2.5≤t≤3.5) 11.解：(1)1 (2)如图所示： 2 54-3-2 45 (3)当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，随x的 增大而减小. 第二十三章一次函数 一次函数的概念一次函数的图象和性质 1.C2.D 下·ZBR·数学第20页