第二十章 勾股定理-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十章 勾股定理 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.勾股定理适用的条件是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 2.底边长为16cm,底边上的高为6cm的等腰 三角形的腰长为() A.8 cm B.9cm C.10 cm D.12 cm 3.生活情境·手势解锁如图是小英爸爸设置 的手机手势密码图，已知左右、上下两个相 邻密码点间的距离均为1，手指沿A-B-C D顺序解锁.按此手势解锁一次的路径 长为( A.5 B.3+√3 C.3+√5 D.6 BE⊙⊙ ①⊙Pc 警方提醒您已进入 24小时监控区域 A⊙⊙⑤D 请注遮您的言行举止 第3题图 第5题图 4.下列选项中（图中三角形都是直角三角 形)，不能用来验证勾股定理的是( a b a 5.如图，地铁公安监控区域的警示图标中，摄 像头的支架是由水平、竖直方向的AB、BC 两段构成，若BC段长度为8cm,点A,C之 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 勾股定理 及其应用 测试分数：55分 间的距离比AB段长2cm,则AB段的长度 为() A.10 cm B.12 cm C.15 cm D.17 cm 6.如图，△ABC中，AB=17cm,AC=10cm,以 BC所在的直线为x轴，BC边上的高AO所 在的直线为y轴建立如图所示的平面直角 坐标系，以1cm作为坐标系的单位长度，点 B的坐标是（-15,0)，则点C的坐标 是() A.(4.5,0) B.(5,0) C.(5.5,0) D.(6,0) ⊙ B O 0 DA -2-101234F5 第6题图 第7题图 7.如图所示，点F、O、D、A是数轴上四个点，O 与原点重合，边长为3的正方形OABC被分 成形状、大小完全相同的四个直角三角形和 一个小正方形，OD=2,DE=DF.则点F表 示的数是( A.5 B.2+/5 C.3√2 D.2+√3 8.如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周长 是12m,高5m,要从A点环绕油罐建梯子， 正好到达A的正上方的B点，则梯子最短 需要() A.12m B.13m C.17m D.20m 年级下·ZBR·数学第3页 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.已知直角三角形的两直角边长分别为3和 5,则第三边的长为 10.如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注 解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵 爽弦图”，此图案的示意图如图2，其中四 边形ABCD和四边形EFGH都是正方形， △ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全 等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB 的长为 图1 图2 11.生活情境·遛狗如图，一天傍晚，小方和家 人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体 时，牵绳的手离地面高度为AB=13分米， 小狗的高CD=3分米，小狗与小方的距离 AC=24分米（绳子一直是直的）.求牵狗绳 BD= 分米 12.数学思想·分类思想如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB=5cm,AC=3cm,动点P从 点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移 动，设运动的时间为ts,当t= 时，△ABP为直角三角形 B P C 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 三、解答题（共19分） 13.(9分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、 ∠B、∠C的边分别为a、b、c. (1)若a=2,b=4,求c; (2)若a:b=3:4,c=10,求a,b的值 14.（10分)某传媒公司张贴广告如图所示，已 知吊臂总长AB=15米，吊臂支柱B点与楼 房的距离BE=12米，且吊臂B点距离地 面1.5米 (1)求吊臂最高点A与地面的距离(A0的 长度)； (2)完成A处张贴任务后，吊车沿射线OP 后移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若 已知AC长为3米，求吊臂支柱B点移动 的距离(BD的长度). E-- 图1 图2 、年级下·ZBR·数学第4页 勾股定理的逆 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.下列各组数中，不是勾股数的是( A.8,13,15 B.6,8,10 C.5,12,13 D.9,40,41 2.在三角形ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分 别为a,b,c,且满足b2-a2=c2,则这个三角 形中互余的一对角是() A.∠A与∠B B.∠C与∠A C.∠B与∠C D.以上都不正确 3.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记 为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直 角三角形的是( A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.a2=c2-b2 111 D.a:b:c=。 345 4.如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每 个小正方形边长均为1)，点A,B,C恰好在 网格图中的格点上，那么∠ABC的度数 为() A.90° B.60° C.45° D.30° 北 东 第4题图 第5题图 5.如图，出租车司机王师傅从A地出发，要到 距离A地13km的C地去，先沿：北偏东 70°方向行驶了12km,到达B地，然后再从 B地行驶了5km到达C地，此时王师傅位 于B地的() A.北偏东20°方向上 B.北偏西20°方向上 C.北偏西30°方向上 D.北偏西40°方向上 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 定理及其应用 测试分数：55分 6.生活情境·测量土地某工程的测量人员在 规划一块如图所示的三角形土地时，在BC 上有一处古建筑D,使得BC的长不能直接 测出，工作人员测得AB=130米，AD=120 米，BD=50米，在测出AC=150米后，测量 工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想 办法求出BC的长度为( )米 A.90 B.120 C.140 B D D.150 二、填空题（每小题3分，共9分） 7.趣味题古埃及人曾经用如图所示的方法 画直角：把一根长绳打上等距离的13个结， 然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距 的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其 中一角便是直角，这样做的道理 是 (13) (1)12) (2)K 6(11) (10) (3)H (9) (4)及 (5)(6)(7)(8) 8.已知等腰△ABC的底边BC=5,D是腰AB 上一点，且CD=4,BD=3,则AD的长 为 D B B 0 第8题图 第9题图 9.如图，已知AC=4,BC=3,BD=12,AD=13, ∠ACB=90°，则阴影部分的面积 为 、年级下·ZBR·数学第5页 三、解答题（共28分） 10.(9分)如图，在△ABC中，点D是BC边上 一点，连接AD,若AB=10,AC=17,BD=6, AD=8. (1)求证：△ABD是直角三角形； (2)求BC的长 11.生活情境·自行车(9分)某工厂计划生产 一批自行车，如图①为自行车的实物图，图 ②为其车架部分示意图，经测量，上管AB =64cm,下管AD=80cm,∠BDC=90°，后 下叉CD=55cm,后上叉CB=73cm.根据 设计要求需保证AB∥CD,请判断该车架是 否符合设计要求，并说明理由， 上管 米 下管后下叉 图① 图② 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 12.（10分)为了增强学生体质，丰富校园文化 生活，推行中小学生每天锻炼一小时的 “阳光体育运动”，某学校决定在校园内某 一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课 间活动使用，如图，已知AB=9m,BC= 12m,CD=17m,AD=8m,施工人员在只 有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的 距离，就确定了∠ABC=90°. (1)请写出施工人员测量的是哪两点之间 的距离，以及确定∠ABC=90的依据； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费 为110元，请计算该学校建成这块塑胶场 地需花费多少元？ 、年级下·ZBR·数学第6页22.解：(1)5 …(2分) 2≤x≤亏时，y与x之间的函数关系式为y (2)设当 1 (1 k+b=17 x+b(k≠0)，则 6 ∫k=90 5k+b=20 解得{6=20，y=90x+2 1 2≤x≤5) …(6分) 3)当=立时，=0x位2=-95,95 114(千米/ 时) …(8分) 114<120,.这辆汽车减速前没有超速.…(10分) 23.(1)解：DE=CF …(2分)》 (2)证明：四边形ABCD是正方形，.AD=DC,AD∥ BC,∠ADE=∠DCF=90.AE=DF,在Rt△ADE和 Rt△DcF中，{AD=DC,.Rt△ADE≌Rt△DCF(H皿)， DE=CF. …(4分) 又：CH=DE,CF=CH.点H在BC的延长线上， ∠DCH=∠DCF=90°.：DC=DC,∴.△DCF≌△DCH (SAS),∴.∠H=∠DFC..·ADBC,.∠ADF=∠DFC ∴.∠ADF=∠DHC; …(6分) (3)解：延长BC到点G,使CG=DE=8,连接DG.四边 形ABCD是菱形，.AD=DC,AD∥BC,.∠ADE= ∠DCG …(7分)》 (AD=DO 在△ADE和△DCG中，{∠ADE=∠DCG,.△ADE兰 DE=CG △DCG(SAS),∴.∠DGC=∠AED=60°，DG=AE. …(8分)》 .DF=AE,.DG=DF,∴.△DFG是等边三角形，∴.FG= FC+CG=DF=11,.FC=11-8=3. …(10分) 十”十十”十十十”十十”十”十” 《铺路帮手》答案 第十九章二次根式 1.C2.A 铺 3.C【解析】√(a-2)2=Ia-21,由数轴知，1<a<2,∴.原式 =2-a.故选C. 4.A【解析】阴影部分长为√32-√2=3√2cm,宽为2cm, .图中阴影部分的面积为3√2×√2=6cm2.故选A. 案 5.B 6.C【解析】三角形ABC三边长分别为4,5,6，p= 之+c=4+5+6-15 2 2,·三角形ABC的面积为： 15 156 15753 5&(5x25x6三2222 V2 华ni选c 7.6(答案不唯一) 8.73 9.已【解析】由题意，可得5=2×2000，.P=0.0025,.1 =0.05A.,·0.01<0.05,.∴.此时通过人体的电流已超过 人体能承受的安全电流 483x12=4-32; 10.解：()原式=√3√2 (2)原式=4-3-8+42-1=-8+42. 11.解：(1)3242 (2)由题意得：(32+42)×42-18-32=6(dm2),.剩 余木料的面积为6dm2. 追梦之旅铺路卷·八年级 (3)由题意得：剩余木条长为32dm,宽为(42-32) =√2dm,.1×4<3√2<1×5,0.7×2<2<0.7×3,2×4=8 (块)，.最多能截出8块这样的木条. 12.解：(1)2+1（2)3+√6 (3)原式=(2-1+√3-√2+…+√2025-√2024)× （√2025+1)=（√2025-1）×（√2025+1）=（√2025）2 -12=2025-1=2024. 第二十章勾股定理 勾股定理及其应用 1.A2.C3.C4.B 5.C【解析】设AB为xcm,则AC=(x+2)cm,由题意可知， ∠ABC=90;BC=8cm,在Rt△ABC中，由勾股定理得：x +82=(x+2)2,解得：x=15,即AB段的长度为15cm.故选 C. 6.D【解析】点B的坐标是(-15,0)，.0B=15,在 Rt△AOB中，由勾股定理得：OA=V√AB-OB= √17-152=8(cm),在Rt△A0C中，由勾股定理得：0C =√AC2-0A2=√102-82=6(cm),.点C的坐标是(6， 0).故选D. 7.B【解析】由题意得：AE=OD=2,AD=0A-OD=3-2=1, .在Rt△ADE中，DE=√AE+AD2=√5，.DF=DE=√5， .∴.OF=OD+DF=2+√5.故选B. 8.B 9.√34 10.10【解析】依题意知，BG=AF=DE=8,EF=FG=2,. BF=BG-FG=6,∴.在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB= WAF2+BF2=√/82+62=10. 11.26 12.2或25 【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC =3cm,.BC2=AB2-AC2=52-32=16,.BC=4cm,由题 意知BP=2tcm.①如图1，当∠APB为直角时，点P与 点C重合，BP=BC=4cm,即2t=4,解得t=2;②如图2， 当∠BAP为直角时，BP=2tcm,CP=(2t-4)cm,AC= 3cm,在Rt△ACP中，AP2=32+(2t-4)2,在Rt△BAP中， AB2+Ap2=BP2,即52+[32+(2t-4)2]=(2t)2,解得t= 25综上所迷，当i=2或2时，△4BP为直角三角形. P R C(P) B 图1 图2 13.解：(1)：∠C=90°，由勾股定理得，c=√2+4=25； (2)设a=3x,b=4x,则c=√9x2+16x2=5x=10,.x=2, ∴.a=3x=6,b=4x=8. 14.解：(1)AB=15米，BE=12米，∴.AE=√AB2-BE= √152-122=9（米），由题意可知0E=1.5米，.A0=9+ 1.5=10.5(米)，答：吊臂最高点A与地面的距离是 10.5米； (2).·AE=9米，AC=3米，.∴.CE=AE-AC=9-3=6 (米)，CD=AB=15米，.DE=√CD2-CE= √152-6=3√2I(米)，.BD=(3√2I-12)米. 勾股定理的逆定理及其应用 1.A2.B3.D4.C5.B 6.C【解析】AD2+BD2=120+502=16900,AB2=16900, .AD2+BD=AB2,∴.△ABD是直角三角形，∠ADB=90°， ∴.∠ADC=90°，.CD=√AC2-AD2=90米，.BC=50+90 =140(米)，.BC的长是140米.故选C. 下·ZBR·数学第17页 7 7.勾股定理的逆定理8. 6 9.24【解析】连接AB,:∠ACB=90°，AC=4,BC=3,.AB =√AC2+BC2=5,BD=12,AD=13,.AB2+BD2=169, AD2=132=169,.AB2+BD2=AD2,.△ABD是直角三角 x5×12- 形，.LABD=90°，∴.Sm影部分=S△ABm-SABc=2 2×4×3=24 10.(1)证明：.BD=6,AD=8,.BD2+AD2=62+82=100. AB=10,.BD2+AD2=AB2,.△ABD是直角三角形； (2)解：根据(1)得，△ABD是直角三角形，∠ADB= 90°，.∠ADC=90°，在Rt△ADC中，AD+CD=AC2.. AD=8,AC=17,∴.CD=15.,BD=6,∴.BC=BD+CD= 21. 11.解：该车架符合设计要求，理由如下：.∠BDC=90°，后 下叉CD=55cm,后上叉CB=73cm,∴BD=√BC2-CD =48cm,.AB=64cm,AD =80cm,.'.AB2+BD2=6400= AD2,.△ABD是直角三角形，∠ABD=90°，.∠ABD= ∠BDC,.AB∥CD. 12.解：(1)施工人员测量的是AC的距离.依据：若AC= 15m,则∠ABC=90°.在△ABC中，AB2+BC2=92+122= 225,AC2=225,∴.AB2+BC2=AC2,.△ABC为直角三角 形，.∠ABC=90°. (2)连接AC.在△ADC中，AD+AC2=289,DC2=172= 289,.△ADC为直角三角形，且∠DAC=90°， Sa数影n=SaMc+S=2×9x12+2×8x15=114, 114×110=12540(元).答：该学校建成这块塑胶场地需 花费12540元. 第二十一章四边形 四边形及多边形 1.A2.D 3.B【解析】由题意得，n-2=7,解得n=9,即这个多边形 是九边形.故选B. 4.D 5.C【解析】360°÷45°=8，即机器人从开始到停止围成的 多边形为八边形，3×8=24（米），即该机器人从开始到停 止所行走的路程为24米.故选C. 6.C【解析】由多边形内角和公式(n-2)×180°，可知多边 形的内角和是180°的整数倍，2024°÷180°=11…44°， 180°-44°=136°，(2024°+136°)÷180°+2=14.故选C. 7.1800 8.132°【解折1(5-2)x180°=540,5×540°=108，(6- 2)×180°=720°，G×720°=120°，∠A0B=360°-1080- 120°=132°. 9.解：(6-2)·180°=4×180°=720°，即∠E+∠D+∠C+∠B +∠BFG+∠FGE=720°..AB∥DE,∴.∠E+∠A=180°，. ∠E=124°，.∠A=180°-124°=56°.FG⊥AE, ∠FGE=∠FGA=90°，∴.∠BFG=56°+90°=146°，又 ∠D=∠BFG,∴.∠D=146°，.124°+146°+80°+∠B+ 146°+90°=720°，解得∠B=134°. 10.解：(1)由题意可得180°×(x-2)=1080°，解得x=8,则 正x边形的周长为8×2=16； (2)1080°÷8=135°，135°-63°=72°，360°÷72°=5，∴.n 的值为5. 11.解：(1)理由：设多边形的边数为n.180°(n-2)=1520°， 解得n=10。,n为正整数，多边形内角和不可能为 1520°； (2)设一个外角为，根据题意可得(n-2)·180°+a= 1520°，∴.a=1520°-(n-2)·180°，.0°<a<180°，∴.0< 追梦之旅铺路卷·八年级 4 4 1520°-(n-2)·180<180,解得9g<n<10g该 多边形的边数为10，.(10-2)×180°=1440°，故该多边 形的内角和为1440°. 12.解：(1)70 (2)四边形CMAN是等垂四边形，理由如下：·CD∥AB, .∠ACD=∠CAB,CM,AN分别平分∠ACD,∠CAB, ·∠DCM=1 )∠ACD,∠BAN=1∠CAB,.∠DCM月 ∠BAN,.·四边形ABCD为等垂四边形，∠DAB= ∠DCB,∴.∠DAB-∠BAN=∠DCB-∠DCM,即∠MCN= ∠MAN,AC⊥BC,.四边形CMAN是等垂四边形. 平行四边形 1.D2.B 3.C【解析】：四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC, DC∥AB,∴.∠CMB=∠MBA..·BM是∠ABC的平分线， .∠CBM=∠MBA,.∠CMB=∠CBM,..CM=BC=2.. AD+DC=7,∴.DC=5,.DM=5-2=3.故选C. 4.B【解析】四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, AD∥BC,∴.∠BCD+∠B=180°，∴.∠BCD=180°-46°= 1 134.:CE平分∠BCD,LBCE=2LBCD=67°，. ∠AEC=180°-67°=113°.故选B. 5.C6.C 7.B【解析】由题意，得0为BD的中点，AD+AB=18.又 E是AD的中点，.OE为△ABD的中位线，AE=2AD, 0B=21B0B+hE=2×18=9(cm.故选R 8.∠1=∠2（答案不唯一）9.12 10.(-2,-1)或(2，-1)或(2,5)【解析】由题意，得AB= 2,0A=2,0C=1,①AC为对角线时，CD=AB=2,点D 的坐标为(-2，-1)；②BC为对角线时，AB=CD=2, 点D的坐标为(2，-1)；③AB为对角线时，BD=AC=3, .点D的坐标为(2,5). 11.证明：(1)M、F分别是BC、CD的中点，.MF∥BD, MF=2BD,同理：MEAC,ME=AC.AC=BD,ME =MF,即△MEF是等腰三角形； (2)ME=MF,∴.∠MEF=∠MFE.MF∥BD,. 铺 ∠MFE=∠OGH,同理，∠MEF=∠OHG,∴.∠OGH= ∠OHG,.∴.OG=OH. 12.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB 手 ∥CD,∴.∠ABE=∠CDF,在△ABE和△CDF中， I∠AEB=∠CFD 案 ∠ABE=∠CDF,.△ABE≌△CDF(AAS),∴.AE=CF, AB=CD ·∠AEB=∠CFD,.∠AEO=∠CFO,.AE∥CF,.四 边形AECF是平行四边形： (2)解：四边形AECF是平行四边形，EF=2,.OE= 0F=1,0A=0C.∠AEB=90°，∴.∠AE0=90°，∴.0A= √AE2+0E2=√2+1=√5，∴.AC=20A=25. 13.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC, BD交于点O,'.ADBC,OA=OC,.∠OAE=∠OCF,在 I∠OAE=∠OCF △AOE和△COF中，{OA=OC ,.△A0E≌ (∠AOE=∠COF △COF(ASA) (AB=CD (2)解：在△ABC和△CDA中，{BC=DA,·.△ABC≌ AC=CA △CDA(SSS),.S△MBc=S△cM= 2SaCD,:△A0E≌ △COF,.S△AOg=SACOF,.S4边形ABFE=S△四边形Aro+S AAOE= 下·ZBR·数学第18页