专题12.1 复数的概念及四则运算（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

专题12.1 复数的概念及四则运算 教学目标 1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i，理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件； 2.理解复数代数形式的加法、减法、乘法运算法则；理解复数代数形式的乘方与除法的运算法则，深刻理解复数除法是乘法运算的逆运算． 3.能运用运算律进行运算，掌握共轭复数的定义． 4. 在对实数集扩充的探索过程中，提升数学抽象素养；1. 通过对复数除法定义的探究，提升学生的逻辑推理素养；通过对复数四则运算的例题教学，提升学生的数学运算素养． 教学重难点 1.重点 引进虚数单位i的必要性，对i的规定，复数的有关概念；复数的代数形式的加法、减法、乘法运算、除法运算(分母实数化)及共轭复数的概念． 2.难点 对实数系扩充到复数系的过程的理解，对复数概念的理解；会应用运算法则解方程、因式分解等. 知识点01 复数的有关概念 1．复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做_复数__，其中i叫做_虚数单位__全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做_复数集__.规定i·i＝i2＝_－1__. 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈ R　)，a与b分别叫做复数z的_实部与虚部__. 注：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是． 3.复数的分类 （1）复数a＋bi(a，b∈R) （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 4.共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部_相等__，虚部_互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝ a－bi　. (3)性质： ①代数性质：实部相等，虚部互为相反数． ②几何性质：关于实轴对称． 注：实数a的共轭复数仍是a本身，即z∈C，z＝⇔z∈R，这是判断一个复数是否为实数的一个准则 【即学即练】 1．下列说法正确的是（     ） A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是 C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部 【答案】B 【分析】用复数的相关概念判断即可 【解析】A： 表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误； B： 由，可知的平方根是，故B正确； C： 当是实数，故C错误； D： 若，则复数虚部为0，故D错误； 故选：B 2．复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（     ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据虚部定义即可求解. 【解析】由于，故虚部为. 故选：A 知识点02 复数的四则运算法则 1.复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i　， z1－z2＝_(a－c)＋(b－d)i__. 2.复数加法的运算律 (1)交换律：_z1＋z2＝z2＋z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z1＋(z2＋z3)__. 3.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(ac－bd)＋(ad＋bc)i__. 知识点 5　复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝_z2·z1__ 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝_z1z2＋z1z3__ 4.复数代数形式的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝ ＋i　(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)． 注：（1）对复数的加法法则的理解． ①两个复数相加，类似于两个多项式相加：实部与实部相加，虚部与虚部相加．很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数．但是两个虚数之和不一定是一个虚数，如(－i)＋i＝0. ②当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和． ③复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加． （2）对复数的减法法则的理解． ①两个复数相减，类似于两个多项式相减：把z＝a＋bi(a，b∈R)看成关于“i”的多项式，则复数的减法类似于多项式的减法，只需要“合并同类项”就可以了． ②很明显，两个复数的差是一个确定的复数．但是两个虚数之差不一定是一个虚数，如(3＋2i)－2i＝ （3）运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立． （4）运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数． 【即学即练】 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的减法法则运算即可求解. 【解析】． 故选：C 2．若复数为纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【解析】因为为纯虚数，则，解得. 故答案为：. 知识点03 复数相等的充要条件 两个复数相等的条件： 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔_a＝c且b＝d__.a＋bi＝0⇔_a＝b＝0__. 注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立． (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解． 【即学即练】 1．若复数，则实数（     ） A．2 B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据复数相等可得出关于实数的方程组，即可解得实数的值. 【解析】因为复数， 则有，解得， 故选：A. 2．若a，，i是虚数单位，且，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据复数相等的充要条件列出方程，求解即可得出答案. 【解析】根据复数相等的充要条件可得，解得， 所以，. 故选：D. 题型01 虚数单位i及其性质 【典例1】 .（为虚数单位） 【答案】0 【分析】利用的指数幂的周期可计算得出所求代数式的值. 【解析】由题意，的周期为4，则. 故答案为：0. 【变式1】复数（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用，可求值. 【解析】. 故选：A. 【变式2】 . 【答案】0 【分析】利用虚数单位的性质进行计算即可. 【解析】， 故答案为：0. 题型02 复数的基本概念辨析及应用 【典例1】下列结论中正确的是（ ） A.若R，则是纯虚数； B.若R且，则； C.若C，则复数的实部为a，虚部为b； D.i的平方等于. 【答案】D 【分析】利用复数的概念逐一判断各个命题即得. 【解析】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在A中，若，则不是纯虚数，A错误； 在B中，两个虚数不能比较大小，B错误； 在C中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，C错误； 在D中，i的平方等于，D正确. 故选：D. (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是． 【变式1】在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念，即可得答案. 【解析】，是纯虚数，，，是实数，是虚数． 故选：C. 【变式2】对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 【答案】C 【分析】结合复数概念逐一判断即可. 【解析】对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错； 对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错. 故选：C. 【变式3】已知为虚数单位，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【答案】C 【分析】根据复数的概念即可求解. 【解析】A.，说法不正确； B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确； C.当时，是实数，说法正确； D.复数的虚部是1，说法不正确. 故选：. 【变式4】已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为___________ 【答案】 【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可. 【解析】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故答案为： 题型03 复数的相等 【典例1】已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 【答案】 1 【分析】根据复数相等，列方程组，求解，即可得答案. 【解析】由题意，得，解得， 故答案为：1；-1 (1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立． (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解． 【变式1】已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（     ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【分析】根据复数相等联立方程求得的值. 【解析】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 【变式2】若与均为实数，且，则的值为（     ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案. 【解析】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 【变式3】已知复数，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围. 【解析】复数，且， 所以，则 因为，所以，当时，，当时， 所以的取值范围是. 故选：B. 题型04 已知复数的类型求参数 【典例1】已知，若（为虚数单位）是实数，则（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据实数的定义即可得出结论. 【解析】由题意可知复数的虚部为，即. 故选：B. 【变式1】若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【解析】因为复数（为虚数单位）为纯虚数，则，解得. 故选：A. 【变式2】复数为纯虚数的充分不必要条件是（     ） A．0 B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用纯虚数的定义求出，再利用充分不必要条件的定义判断. 【解析】复数为纯虚数，等价于，即或， 由选项知，只有是复数为纯虚数的充分不必要条件，其他选项均不符合. 故选：B. 【变式3】已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)或；(2)且；(3) 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可. （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可. （3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可. 【解析】（1）若z是实数，则，解得或． （2）若z是虚数，则，解得且． （3）若z是纯虚数，则解得． 【变式4】已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)-2；(2)[2，6] 【分析】（1）z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值； （2）由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围. 【解析】（1）由z1为纯虚数， 则解得m＝－2. （2）由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3. ∵－1≤sin θ≤1， ∴当sin θ＝1时，λmin＝2， 当sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2，6]. 题型05 复数的四则运算 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）（2）（3）由复数四则运算法则进行计算即可求解. 【解析】（1）原式． （2） =. （3） ． 对复数除法的两点说明： (1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似． (2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化． 【变式1】（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，准确计算，即可求解. 【解析】根据复数的运算法则，可得. 故选：B. 【变式2】i是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算即可. 【解析】. 故答案为： 【变式3】已知，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的定义即可得解. 【解析】由， 得， 所以. 故答案为：. 题型06 共轭复数的求解 【典例1】已知复数满足，则复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用复数除法求出复数，根据共轭复数的定义求，即可得. 【解析】由题设， 则，故虚部为. 故选：B. 共轭复数的性质： (1)代数性质：实部相等，虚部互为相反数． (2)几何性质：关于实轴对称． (3)实数a的共轭复数仍是a本身，即z∈C，z＝⇔z∈R，这是判断一个复数是否为实数的一个准则 【变式1】已知复数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用共轭复数的定义即可求出结果. 【解析】复数，则， 故选：A. 【变式2】复数的共轭复数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，根据复数除法的计算法则求出复数，再根据共轭复数的定义求出即可得解. 【解析】因为复数， 所以. 故选：A. 【变式3】若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法及乘法计算求解即可. 【解析】若，则， 则. 故选：A. 【变式4】已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 【答案】 【分析】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【解析】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为：. 题型07 复数的乘方 【典例1】若复数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据得到方程组，求出，再利用复数乘法和乘方法则计算出答案. 【解析】设，则，， 又，故，解得， 故，. 故选：C. 【变式1】（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法与复数的乘方化简可得结果. 【解析】因为，故. 故选：D. 【变式2】已知复数，则 . 【答案】 【分析】根据复数代数形式的乘方运算法则计算可得. 【解析】因为，所以. 故答案为： 题型08 利用复数的四则运算求参数 【典例1】设复数的实部与虚部互为相反数，则（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案. 【解析】， 由已知得，解得， 故选：D. 【变式1】若复数的实部与虚部的和为3，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】化简复数，利用实部与虚部的和即可求出的值. 【解析】由题意， ， ∵实部与虚部的和为3， ∴，． 故选：D. 【变式2】如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（     ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】先运用复数的四则运算法则化简，再根据等部复数的定义列方程计算即得. 【解析】可得：， 依题意得，. 故选：D. 题型09 复数范围内分解因式 【典例1】在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）（2）结合复数运算求得正确答案. 【解析】（1）由于， 所以. （2）由于， 所以. 【变式1】在复数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】首先分解为，再在复数范围内分解因式. 【解析】 ， 故答案为：. 【变式2】在复数范围内分解因式= . 【答案】 【分析】先求得的根，然后进行因式分解. 【解析】由得， 解得， 所以. 故答案为：. 题型10 复数范围内方程的根 【典例1】已知是关于的方程 一个根，则（     ） A．-2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】将代入方程，即可得到关于的方程组，解出即可. 【解析】将代入方程得， 即，则，解得，故， 故选：B. 1．复数范围内实数系一元二次方程的根： 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则： 当∆>0时，方程有两个不相等的实根，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭复数. 2.复数的方程的解题策略： (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用 【变式1】已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【解析】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B. 【变式2】已知是关于x的方程（）的一个复数根，则（     ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】将复数根代入方程后结合实部虚部均为零可求的值. 【解析】因为是关于x的方程（）的一个复数根， 所以，整理得：， 而，故， 故选：A. 【变式3】在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D．或2 【答案】D 【分析】分解因式解方程,再求模长即可求解. 【解析】由， 得. 因为，所以或， 当或，； 当或，. 故选：D 【变式4】已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的特征结合韦达定理计算求参； （2）应用复数乘法计算结合纯虚数定义计算求参. 【解析】（1）由复数是实系数一元二次方程的一个根， 得该方程的另一个实根为，因此， 所以. （2）依题意，， 由为纯虚数，得，解得. 1．下列四种说法正确的是（     ） A．如果实数，那么是纯虚数 B．实数是复数 C．如果，那么是纯虚数 D．任何数的偶数次幂都不小于零 【答案】B 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【解析】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 2．若实数x，y满足，则（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由条件结合复数相等的定义求，再求即可. 【解析】因为，所以，，故，故C正确. 故选：C. 3．已知复数是纯虚数，则实数的值为（     ） A． B．1或6 C． D．1 【答案】D 【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算. 【解析】由题意可得：且，则. 故选：D. 4．已知是关于的方程的根，则（     ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【答案】C 【分析】先由实系数一元二次方程复数根的共轭性，得到方程的另一根为，再由韦达定理求出的值，即可得解. 【解析】因为关于的方程的系数为实数， 且是方程的根，所以由复数根的共轭性可知另一根为， 由韦达定理可知，得， ， 所以. 故选：C. 5．已知 ，为虚数单位，若为实数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，又，求解即可. 【解析】由于， 因为，则，解得. 故选：C. 6．已知复数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的理解及复数模的不等式的解法求解. 【解析】由，得，解得或. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 7．（多选）已知i为虚数单位,下列命题中正确的是（     ） A．若,则是纯虚数 B．虚部为的虚数有无数个 C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 【答案】BCD 【分析】选项A，纯虚数的虚部是非零的实数，所以错误；选项B，虚部确定，实部可以是任意实数，所以正确；选项C，根据复数的分类，可判断正确；选项D，由复数相等的充要条件可判断为正确. 【解析】对于A,若,则,不是纯虚数,故A错误； 对于B,虚部为的虚数可以表示为, 有无数个,故B正确； 根据复数的分类,判断C正确； 两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立, 但两个复数的实部相等推不出两个复数相等, 充分性不成立,故D正确. 故选:BCD. 8．（多选）已知i为虚数单位,下列命题中正确的是（     ） A．若x,,则的充要条件是 B．是纯虚数 C．若,则 D．当时,复数是纯虚数 【答案】BD 【分析】选项A：取,满足方程，所以错误；选项B：,恒成立，所以正确；选项C：取,,，所以错误；选项D：代入 ，验证结果是纯虚数，所以正确. 【解析】取,,则, 但不满足,故A错误； ,恒成立,所以是纯虚数, 故B正确； 取,,则,但不成立,故C错误; 时，复数是纯虚数, 故D正确. 故选:BD. 9.（多选）已知为虚数单位，复数，则（     ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BCD 【分析】利用复数的除法运算化简可得，即可结合选项逐一求解. 【解析】由可得， 对于A，，故A错误， 对于B，的虚部为，故B正确， 对于C, ，故C正确， 对于D，在复平面内对应的点为，它在第一象限，故D正确， 故选：BCD. 10．设复数为实数时，则实数的值是 ． 【答案】 【解析】因为复数为实数的充要条件为，所以依题意有． 故答案为：3 11．设的共轭复数是,若,,则等于 . 【答案】 【分析】可设，由,可得关于a,b的方程，即可求得，然后求得答案. 【解析】解析：设,因为,所以, 又因为,所以, 所以.所以, 即,故. 12．已知复数w满足为虚数单位，． 求z； 若中的z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根． 【答案】（1）．（2），，． 【分析】利用复数的运算计算出w，代入z即可得出． 把代入关于x的方程，利用复数相等解出p，q，即可得出． 【解析】 ，， ． 是关于x的方程的一个根， ，， ，q为实数，， 解得，． 解方程，得 实数，，方程的另一个根为． 13．设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据复数的加法计算结合复数的类型计算求参，最后结合乘法计算求解； （2）应用除法及乘法计算结合复数类型列式求参即可. 【解析】（1）， 因为是实数，所以有，解得， 因此 （2）， 因为是纯虚数，所以有 解得，所以． 14．已知复数，，其中为非零实数. (1)若是实数，求的值； (2)若，复数为纯虚数，求实数的值. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）根据题意，求得，结合是实数，得到，即可求解； （2）根据题意，得到，结合复数为纯虚数，列出方程，即可求解. 【解析】（1）解：由复数，可得， 因为是实数，可得，即， ∵为非零实数.所以. （2）解：由，可得，所以， 则， 因为复数为纯虚数，可得， 解得或. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.1 复数的概念及四则运算 教学目标 1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i，理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件； 2.理解复数代数形式的加法、减法、乘法运算法则；理解复数代数形式的乘方与除法的运算法则，深刻理解复数除法是乘法运算的逆运算． 3.能运用运算律进行运算，掌握共轭复数的定义． 4. 在对实数集扩充的探索过程中，提升数学抽象素养；1. 通过对复数除法定义的探究，提升学生的逻辑推理素养；通过对复数四则运算的例题教学，提升学生的数学运算素养． 教学重难点 1.重点 引进虚数单位i的必要性，对i的规定，复数的有关概念；复数的代数形式的加法、减法、乘法运算、除法运算(分母实数化)及共轭复数的概念． 2.难点 对实数系扩充到复数系的过程的理解，对复数概念的理解；会应用运算法则解方程、因式分解等. 知识点01 复数的有关概念 1．复数的定义 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做_复数__，其中i叫做_虚数单位__全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做_复数集__.规定i·i＝i2＝_－1__. 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈ R　)，a与b分别叫做复数z的_实部与虚部__. 注：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是． 3.复数的分类 （1）复数a＋bi(a，b∈R) （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 4.共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部_相等__，虚部_互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝ a－bi　. (3)性质： ①代数性质：实部相等，虚部互为相反数． ②几何性质：关于实轴对称． 注：实数a的共轭复数仍是a本身，即z∈C，z＝⇔z∈R，这是判断一个复数是否为实数的一个准则 【即学即练】 1．下列说法正确的是（     ） A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是 C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部 2．复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（     ） A． B． C． D．1 知识点02 复数的四则运算法则 1.复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i　， z1－z2＝_(a－c)＋(b－d)i__. 2.复数加法的运算律 (1)交换律：_z1＋z2＝z2＋z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z1＋(z2＋z3)__. 3.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(ac－bd)＋(ad＋bc)i__. 知识点 5　复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝_z2·z1__ 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝_z1z2＋z1z3__ 4.复数代数形式的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝ ＋i　(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)． 注：（1）对复数的加法法则的理解． ①两个复数相加，类似于两个多项式相加：实部与实部相加，虚部与虚部相加．很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数．但是两个虚数之和不一定是一个虚数，如(－i)＋i＝0. ②当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和． ③复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加． （2）对复数的减法法则的理解． ①两个复数相减，类似于两个多项式相减：把z＝a＋bi(a，b∈R)看成关于“i”的多项式，则复数的减法类似于多项式的减法，只需要“合并同类项”就可以了． ②很明显，两个复数的差是一个确定的复数．但是两个虚数之差不一定是一个虚数，如(3＋2i)－2i＝ （3）运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立． （4）运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数． 【即学即练】 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．若复数为纯虚数，则实数的值为 ． 知识点03 复数相等的充要条件 两个复数相等的条件： 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔_a＝c且b＝d__.a＋bi＝0⇔_a＝b＝0__. 注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立． (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解． 【即学即练】 1．若复数，则实数（     ） A．2 B．3 C．0 D．1 2．若a，，i是虚数单位，且，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型01 虚数单位i及其性质 【典例1】 .（为虚数单位） 【变式1】复数（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】 . 题型02 复数的基本概念辨析及应用 【典例1】下列结论中正确的是（ ） A.若R，则是纯虚数； B.若R且，则； C.若C，则复数的实部为a，虚部为b； D.i的平方等于. (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是． 【变式1】在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 【变式3】已知为虚数单位，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【变式4】已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为___________ 题型03 复数的相等 【典例1】已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . (1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立． (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解． 【变式1】已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（     ） A．4 B． C．6 D．或6 【变式2】若与均为实数，且，则的值为（     ） A．3 B．4 C． D． 【变式3】已知复数，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型04 已知复数的类型求参数 【典例1】已知，若（为虚数单位）是实数，则（     ） A． B． C．2 D．3 【变式1】若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（     ） A． B．或 C． D． 【变式2】复数为纯虚数的充分不必要条件是（     ） A．0 B． C．或 D．或 【变式3】已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【变式4】已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 题型05 复数的四则运算 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 对复数除法的两点说明： (1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似． (2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化． 【变式1】（     ） A． B． C． D． 【变式2】i是虚数单位，复数 ． 【变式3】已知，则 ． 题型06 共轭复数的求解 【典例1】已知复数满足，则复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 共轭复数的性质： (1)代数性质：实部相等，虚部互为相反数． (2)几何性质：关于实轴对称． (3)实数a的共轭复数仍是a本身，即z∈C，z＝⇔z∈R，这是判断一个复数是否为实数的一个准则 【变式1】已知复数，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】复数的共轭复数为（     ） A． B． C． D． 【变式3】若，则（     ） A． B． C． D． 【变式4】已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 题型07 复数的乘方 【典例1】若复数满足，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知复数，则 . 题型08 利用复数的四则运算求参数 【典例1】设复数的实部与虚部互为相反数，则（     ） A． B． C．2 D．3 【变式1】若复数的实部与虚部的和为3，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（     ） A． B．0 C．3 D． 题型09 复数范围内分解因式 【典例1】在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【变式1】在复数范围内分解因式： ． 【变式2】在复数范围内分解因式= . 题型10 复数范围内方程的根 【典例1】已知是关于的方程 一个根，则（     ） A．-2 B．3 C．6 D．7 1．复数范围内实数系一元二次方程的根： 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则： 当∆>0时，方程有两个不相等的实根，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭复数. 2.复数的方程的解题策略： (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用 【变式1】已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知是关于x的方程（）的一个复数根，则（     ） A． B． C．4 D．6 【变式3】在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D．或2 【变式4】已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 1．下列四种说法正确的是（     ） A．如果实数，那么是纯虚数 B．实数是复数 C．如果，那么是纯虚数 D．任何数的偶数次幂都不小于零 2．若实数x，y满足，则（     ） A． B．1 C．2 D．3 3．已知复数是纯虚数，则实数的值为（     ） A． B．1或6 C． D．1 4．已知是关于的方程的根，则（     ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 5．已知 ，为虚数单位，若为实数，则（     ） A． B． C． D． 6．已知复数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（多选）已知i为虚数单位,下列命题中正确的是（     ） A．若,则是纯虚数 B．虚部为的虚数有无数个 C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 8．（多选）已知i为虚数单位,下列命题中正确的是（     ） A．若x,,则的充要条件是 B．是纯虚数 C．若,则 D．当时,复数是纯虚数 9.（多选）已知为虚数单位，复数，则（     ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 10．设复数为实数时，则实数的值是 ． 11．设的共轭复数是,若,,则等于 . 12．已知复数w满足为虚数单位，． 求z； 若中的z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根． 13．设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求． 14．已知复数，，其中为非零实数. (1)若是实数，求的值； (2)若，复数为纯虚数，求实数的值. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $