专题9.2 向量的线性运算（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦高中数学向量的线性运算核心知识点，系统梳理向量加法（三角形法则、平行四边形法则及运算律）、减法（逆运算定义与三角形法则）、数乘（定义、运算律）及共线定理，构建从基础运算到几何意义再到应用的递进学习支架。 该资料以“即学即练”结合“题型分类”为特色，通过正六边形、平行四边形等实例，引导学生用数学眼光观察空间形式，在运算中发展数学运算素养，在共线定理证明中提升逻辑推理素养。课中辅助教师系统授课，课后通过变式练习帮助学生巩固，有效查漏补缺。

专题9.2 向量的线性运算 教学目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和；掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算． 2.从逆运算的角度理解向量的减法运算，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义． 3.掌握向量数乘的定义、运算律，并理解其几何意义；理解向量共线定理，并能运用它判断两个向量是否共线 4. 通过对向量减法的几何意义的理解，提升直观想象素养；在进行向量的线性运算的过程中发展数学运算素养，在验证向量加法运算律以及运用向量共线定理证明向量共线的过程中，提升逻辑推理素养．经历从实际生活中概括出向量数乘的概念的过程，掌握向量共线定理在判断向量关系中的运用，领悟数形结合的思想． 教学重难点 1.重点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则及其几何意义；向量减法的定义和作图方法；掌握向量数乘的定义、运算律，向量共线定理． 2.难点 对向量加法法则的理解；减法运算时差向量方向的确定；向量共线定理的探究及其应用． 知识点01 向量加法的定义及两个重要法则 1.向量加法的定义： 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a, ＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 求两个向量的和的运算叫作向量的加法． 2.向量的加法的两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法的三角形法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量加法的平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. 注：为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 3．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 【即学即练】 1．在矩形中，等于（  ） A． B． C． D． 2．如图，在正六边形中，（  ） A． B． C． D． 知识点02 向量的减法定义及运算法则 1.向量减法的定义： 若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫作向量的减法. 2.向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作，，则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 【即学即练】 1．在中，化简： （1） ；     （2） ． 2．在中，点满足，则（  ） A． B． C． D． 知识点03 向量的数乘的定义及运算律 1.向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①； ②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反. 2.向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数，恒有 . 【即学即练】 1．已知平面内的两个非零向量，满足，则与（  ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 2．在中，，则（  ） A． B． C． D． 知识点04 向量共线定理 1.向量共线定理 向量(≠)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使. 2.平面向量共线定理的推论： (λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【即学即练】 1．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（  ） A．0 B． C．1 D．2 2．在中，点满足，则（  ） A．点在延长线上 B．不在直线上 C．点在延长线上 D．点在线段上 题型01 向量的加法运算 【典例1】在正六边形中，（  ） A． B． C． D． 向量的加法法则分三角形法则与四边形法则，三角形法则需要向量首位相连，四边形法则需要向量起点相同。 注：（1）零向量与任意向量的和为该向量本身。 （2）将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化。 【变式1】（  ） A． B． C． D． 【变式2】是平行四边形外一点，用、、表示，正确的表示为（  ） A． B． C． D． 题型02 向量的减法运算 【典例1】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　） A． B． C． D． 向量的减法法则需要两个向量的起点一致，结果是由减向量的终点指向被减向量的终点。 【变式1】（  ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式4】若，，则的取值范围是____________- 【变式5】化简下列各式： (1)； (2)． 题型03 向量数乘的有关计算 【典例1】在中，记，，若，则（  ） A． B． C． D． 向量的数乘的运算遵循： 设为实数，那么①；②；③. 注：，. 【变式1】已知，与的方向相反，且，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】在中，若，则（  ） A． B． C． D． 题型04 平面向量的混合运算 【典例1】设向量，，满足，则（  ） A． B． C． D． 平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 【变式1】（　　） A． B． C． D． 【变式2】在平行四边形中，为与的交点，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 题型05 利用平面向量的线性运算求参数 【典例1】在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 利用向量共线定理求参的求解思路： 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量,，设(≠)，化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 注：若与不共线且，则. 【变式1】向量，，若与不共线，且点在线段上，，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 【变式3】在所在平面中有一点P满足，且，则_________ 题型06 利用平面向量共线定理判断或证明点共线问题 【典例1】（1）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（  ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 （2）已知任意两个不共线向量，且，，，求证：A，B，C三点共线． 利用平面向量共线定理证明点共线的策略： (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. 【变式1】已知向量，，，，，则一定共线的三点是（  ） A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D 【变式2】设，为非零向量，则“”是的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（  ） A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线. 题型07 平面向量共线定理的推论及应用 【典例1】如图，设，，线段与交于点F，且，则（  ）    A．4 B．3 C． D．5 平面向量共线定理的推论：(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【变式1】已知向量不平行，向量与平行，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是（  ） A．（1，+∞） B．（-1，1） C．（-1，+∞） D．（-∞，1） 【变式3】在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是_______ 题型08 与向量线性运算有关的三角形的重心、内心问题 【典例1】已知点G为的重心，若，则（  ） A．0 B．1 C． D．3 利用重心、内心的定义以及其性质： 1.若点为的重心 （1）重心：三角形各边中线的交点，重心在中线的三等分点处。 （2）重心的性质： ①重心的坐标为（其中） ② ③ ④若为所在平面内一点，则有 2.若点为的内心 （1）内心：三角形角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 （2）内心的性质： ①，则直线经过的内心（从几何意义理解） 【变式1】在中，若，，则点的轨迹必经过的（  ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式2】已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式3】已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（  ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 题型09 向量的线性运算在几何中的应用 【典例1】（1）在中，，则是（  ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 （2）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（  ） A． B． C． D． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 注意对定理的理解，对系数的几何意义的理解，熟悉定理的逆用。 【变式1】在四边形ABCD中，，则（　 　） A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形 【变式2】已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【变式3】在菱形中，若，则 ． 【变式3】若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为 . 1．（  ） A． B．0 C． D． 2．点在线段上，且，则下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 3．在中，，则（  ） A． B． C． D． 4．在梯形中，，，则（  ） A． B． C． D． 5．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（  ） A．1 B．0 C．3 D．2 6．在中，D为BC中点，，，若，则（  ） A． B． C． D． 7．（多选）下列结论恒为零向量的是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）已知为非零向量，则下列说法错正确的是（  ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 9.（多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（  ） A．若，则点是的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，则 10．________________ 11．在边长为1的正方形中，若，，，则____________- 12．已知与为非零向量，，若三点共线，则（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 14．如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.2 向量的线性运算 教学目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和；掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算． 2.从逆运算的角度理解向量的减法运算，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义． 3.掌握向量数乘的定义、运算律，并理解其几何意义；理解向量共线定理，并能运用它判断两个向量是否共线 4. 通过对向量减法的几何意义的理解，提升直观想象素养；在进行向量的线性运算的过程中发展数学运算素养，在验证向量加法运算律以及运用向量共线定理证明向量共线的过程中，提升逻辑推理素养．经历从实际生活中概括出向量数乘的概念的过程，掌握向量共线定理在判断向量关系中的运用，领悟数形结合的思想． 教学重难点 1.重点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则及其几何意义；向量减法的定义和作图方法；掌握向量数乘的定义、运算律，向量共线定理． 2.难点 对向量加法法则的理解；减法运算时差向量方向的确定；向量共线定理的探究及其应用． 知识点01 向量加法的定义及两个重要法则 1.向量加法的定义： 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a, ＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 求两个向量的和的运算叫作向量的加法． 2.向量的加法的两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法的三角形法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量加法的平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. 注：为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 3．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 【即学即练】 1．在矩形中，等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的几何关系及矩形性质判断各项的结果，即可得答案. 【解析】由题设，，，，，故A、B、C错，D对.    故选：D 2．如图，在正六边形中，（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【解析】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 知识点02 向量的减法定义及运算法则 1.向量减法的定义： 若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫作向量的减法. 2.向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作，，则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 【即学即练】 1．在中，化简： （1） ；     （2） ． 【答案】 【分析】在三角形中，向量的加减法遵循三角形法则. 【解析】(1)， (2). 故答案为： 2．在中，点满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法、减法运算法则计算即可. 【解析】． 故选：B 知识点03 向量的数乘的定义及运算律 1.向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①； ②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反. 2.向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数，恒有 . 【即学即练】 1．已知平面内的两个非零向量，满足，则与（  ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 【答案】D 【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可. 【解析】因为两个非零向量，满足， 所以为共线反向向量，且模不相等， 所以ABC错误，D正确. 故选：D 2．在中，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 【解析】 ，，. 故选：C. 知识点04 向量共线定理 1.向量共线定理 向量(≠)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使. 2.平面向量共线定理的推论： (λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【即学即练】 1．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（  ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据因为向量与向量共线，由求解. 【解析】解：因为向量与向量共线， 所以，即， 因为，是两个不共线的向量， 所以，解得 ， 故选：C 2．在中，点满足，则（  ） A．点在延长线上 B．不在直线上 C．点在延长线上 D．点在线段上 【答案】A 【分析】由题意可得到，根据加法的平行四边形法则即可求解 【解析】由，知， 可知，，三点共线且是中点，所以在延长线上． 故选：A 题型01 向量的加法运算 【典例1】在正六边形中，（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得. 【解析】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. . 故选：D 向量的加法法则分三角形法则与四边形法则，三角形法则需要向量首位相连，四边形法则需要向量起点相同。 注：（1）零向量与任意向量的和为该向量本身。 （2）将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化。 【变式1】（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加法运算法则分析求解. 【解析】由题意可得：. 故选：D. 【变式2】是平行四边形外一点，用、、表示，正确的表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则为、的中点，利用平面向量的线性运算可得出，即可得解. 【解析】设，则为、的中点，如下图所示： 所以，， 同理可得，所以，， 因此，. 故选：C. 题型02 向量的减法运算 【典例1】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合向量的相反向量、加减法法则，即可求解． 【解析】解：由题意可得，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，所以 ． 故选：C． 向量的减法法则需要两个向量的起点一致，结果是由减向量的终点指向被减向量的终点。 【变式1】（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法减法运算即可求解. 【解析】原式． 故选：A. 【变式2】（多选）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量加减法的计算法则直接可得解. 【解析】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项正确； 故选：ABD. 【变式3】如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项. 【解析】D，E为边上的三等分点，所以， 所以D选项正确； 若，则不成立，C选项错误； 方向不同不能相等，A选项错误； 方向相反不能相等，B选项错误. 故选：D. 【变式4】若，，则的取值范围是____________- 【答案】 【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范围. 【解析】因为，所以，，即. 故答案为： 【变式5】化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】根据向量的加法减法运算求解即可. 【解析】（1）. （2） 题型03 向量数乘的有关计算 【典例1】在中，记，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据已知条件以及向量加法和数乘的运算性质得到结果. 【解析】由已知有. 故. 故选：A. 向量的数乘的运算遵循： 设为实数，那么①；②；③. 注：，. 【变式1】已知，与的方向相反，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定方向和大小关系即可得答案. 【解析】由，得， 又与的方向相反，所以. 故选：C. 【变式2】在中，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算即可. 【解析】因，则， 则. 故选：A. 题型04 平面向量的混合运算 【典例1】设向量，，满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【解析】因为，所以. 故选：D. 平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 【变式1】（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【解析】 . 故选：C 【变式2】在平行四边形中，为与的交点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法法则和减法法则进行判断即可. 【解析】对于A: 根据向量加法的平行四边形法则，得，A错误C正确； 根据向量减法的法则得，B错误D错误； 故选：C. 【变式3】如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【解析】因为是的边上的中线， 所以，所以 . 故选：C 题型05 利用平面向量的线性运算求参数 【典例1】在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【解析】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 利用向量共线定理求参的求解思路： 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量,，设(≠)，化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 注：若与不共线且，则. 【变式1】向量，，若与不共线，且点在线段上，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性关系的几何意义得到的线性关系，即可知正确选项. 【解析】由， ∴. 故选：C 【变式2】正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 【答案】 【分析】根据五角星中的长度关系，由平面向量的线性运算即可求解. 【解析】由题意：， 则， 因为，同样, 所以， 则． 故答案为：. 【变式3】在所在平面中有一点P满足，且，则_________ 【答案】 【分析】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【解析】由题设，则， 即，则， 又，所以 . 故答案为：. 题型06 利用平面向量共线定理判断或证明点共线问题 【典例1】（1）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（  ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理求解. 【解析】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. （2）已知任意两个不共线向量，且，，，求证：A，B，C三点共线． 【答案】证明过程见解析 【分析】运用平面向量共线定理进行证明即可. 【解析】因为，， 所以， 因此A，B，C三点共线. 利用平面向量共线定理证明点共线的策略： (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. 【变式1】已知向量，，，，，则一定共线的三点是（  ） A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理一一判断即可. 【解析】因为，故A，B，D三点共线，A对； 因为，，故，不一定共线，B错； 因为，，所以，不一定共线，C错； 因为，，则，不一定共线，D错. 故选：A. 【变式2】设，为非零向量，则“”是的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断. 【解析】表示方向上的单位向量. 若，则与同向，所以，即； 若，当与同向时，；当与反向时，， 即. 故选：A. 【变式3】已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（  ） A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据共线的向量表示进行充分性与必要性的分析即可求解. 【解析】，， 又，有公共点，所以，，三点共线，所以充分性成立； 若，，三点共线，则存在实数使得，即， 当时明显不满足，所以必要性不成立. 即“（）”是“，，三点共线”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式4】如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】证法1：利用三点共线判定定理，列出的关系式，判断其系数之和是否为1； 证法2：连结且与相交于点，利用几何关系可证明和为同一点. 【解析】证法1：因为，所以三点共线． 证法2：连结且与相交于点， 因为，所以． 又因为是的中点且， 所以，即， 又因为， 所以和为同一点，所以三点共线． 题型07 平面向量共线定理的推论及应用 【典例1】如图，设，，线段与交于点F，且，则（  ）    A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【解析】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D. 平面向量共线定理的推论：(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【变式1】已知向量不平行，向量与平行，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量共线定理、平面向量基本定理即可求解. 【解析】因为向量与平行， 所以． 因为向量不平行， 所以解得． 故选：. 【变式2】已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是（  ） A．（1，+∞） B．（-1，1） C．（-1，+∞） D．（-∞，1） 【答案】C 【分析】与同向，用共线基本定理得到关系，表示依据的范围去求. 【解析】因为与同向，所以可设 则有，又因为，， 所以 所以的取值范围是(-1，+∞)， 故选：C. 【变式3】在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是_______ 【答案】25 【分析】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解. 【解析】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故答案为：25 题型08 与向量线性运算有关的三角形的重心、内心问题 【典例1】已知点G为的重心，若，则（  ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【解析】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 利用重心、内心的定义以及其性质： 1.若点为的重心 （1）重心：三角形各边中线的交点，重心在中线的三等分点处。 （2）重心的性质： ①重心的坐标为（其中） ② ③ ④若为所在平面内一点，则有 2.若点为的内心 （1）内心：三角形角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 （2）内心的性质： ①，则直线经过的内心（从几何意义理解） 【变式1】在中，若，，则点的轨迹必经过的（  ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【解析】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 【变式2】已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【解析】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．   ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上． 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 【变式3】已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（  ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【解析】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 题型09 向量的线性运算在几何中的应用 【典例1】（1）在中，，则是（  ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算可得即可判断. 【解析】， ，所以是等边三角形. 故选：A. （2）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【解析】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B. A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 注意对定理的理解，对系数的几何意义的理解，熟悉定理的逆用。 【变式1】在四边形ABCD中，，则（　 　） A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形 【答案】D 【分析】运用同起点的向量加法的平行四边形法则易得. 【解析】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到，由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形. 故选：D. 【变式2】已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解. 【解析】由，得， 如图，分别是的中点，    则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B. 【变式3】在菱形中，若，则 ． 【答案】1 【分析】根据向量减法的运算法则，结合菱形的几何性质可求得正确答案. 【解析】因为四边形为菱形，所以， 又因为，所以是等边三角形，即. 所以. 故答案为：1 【变式3】若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为 . 【答案】直角三角形 【分析】利用向量的线性运算和向量的中线公式得到，从而得到，进而得到角间的关系，再利用三角形内角和为即可求出结果. 【解析】如图，取中点，因为，所以，即，所以，，所以，又三角形内角和为，所以，所以为直角三角形， 故答案为：直角三角形. 1．（  ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【解析】. 故选：D 2．点在线段上，且，则下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【解析】因为点在线段上，且， 所以，，，故A正确，BCD错误. 故选：A. 3．在中，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加减法则以及已知条件建立向量之间的关系. 【解析】由题意得，，又，， ，即， 故选：C. 4．在梯形中，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加法运算求解. 【解析】在梯形中，，， 所以． 故选：D.    5．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（  ） A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】B 【分析】把，，三点共线转化为列出方程组，求解即可. 【解析】因为，，， 所以， 因为，，三点共线，所以存在唯一的，使得， 即， 即，解得：. 故选：B. 6．在中，D为BC中点，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减运算得出、，即可得出在线段上的位置，即可求出. 【解析】因，则，即， 则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 7．（多选）下列结论恒为零向量的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项直接求解判断即可. 【解析】对于A，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 8．（多选）已知为非零向量，则下列说法错正确的是（  ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】ABD 【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可. 【解析】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：ABD． 9.（多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（  ） A．若，则点是的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算结合几何性质逐项分析判断. 【解析】对于选项A：因为，可得， 即，则点是边的中点，故A正确； 对于选项B：因为，可得， 即，则点在边的延长线上，故B错误； 对于选项C：设的中点为，则， 由重心性质可知：点是的重心，故C正确； 对于选项D：因为，则， 整理得，故D正确． 故选：ACD． 10．________________ 【答案】 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【解析】 ． 故答案为： 11．在边长为1的正方形中，若，，，则____________- 【答案】2 【分析】由平面向量的加减运算及模运算求解． 【解析】． 故答案为：2 12．已知与为非零向量，，若三点共线，则（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【解析】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 13．如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果； （2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论. 【解析】（1）由题图，， . （2）由， 又，所以，故三点共线. 14．如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【答案】(1)在线段上靠近点的四等分点处；(2) 【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【解析】（1）过作交于，如图，    因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以， 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； （2）因为，所以， 所以， 因为，，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 29 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $