专题12.2 复数的几何意义（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦复数的几何意义核心知识点，系统梳理复平面的建立（实轴、虚轴），复数与复平面内点（坐标(a,b)）、向量的一一对应关系，以及复数加减运算的几何意义（平行四边形法则）和复数模的概念（向量模、点到原点距离），构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料通过“知识点解析+即学即练+题型典例+变式拓展”的分层设计，结合几何直观与代数运算，培养学生直观想象和数学抽象核心素养。例如通过复数对应点象限判断参数取值，训练数学思维逻辑性；利用复数模的几何意义分析图形（如圆），提升直观想象能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题12.2 复数的几何意义 教学目标 1.了解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量． 2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 3.通过对复数的几何意义的探究，提升学生的直观想象和数学抽象的核心素养 教学重难点 1.重点 复数的几何意义． 2.难点 复数加、减法的几何意义. 知识点01 复数的几何意义 1.复平面的定义： 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_复平面__，x轴叫做_实轴__，y轴叫做_虚轴__.实轴上的点都表示_实数__；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2.复数的几何意义 注：(1)复数与复平面上的点：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)． (2)复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个． 3.复数加、减法的几何意义： 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是 　，与z1－z2对应的向量是 　. 注：向量对应的复数是z2－z1，而不是z1－z2，即终点对应的复数减起点对应的复数，这个顺序是不能颠倒的． 【即学即练】 1．已知复数，则z在复平面内对应的点为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求出对应的点即可. 【解析】复数对应的点为， 故选：B. 2．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（  ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【解析】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 知识点02 复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作_|z|__或_|a＋bi|__.即|z|＝|a＋bi|＝ 　，其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于_|a|__(a的绝对值)． 注：(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小． (2)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小． (3)几何角度理解：|z|表示复数的点Z到原点的距离．|z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离． 【即学即练】 1．已知复数，则（  ） A． B． C． D．20 【答案】B 【分析】利用复数的模的公式计算求解即可 【解析】因为复数，所以. 故选：B. 2．（多选）已知复数满足，则（  ） A．的实部为 B．的虚部为 C．满足：的复数对应的点所在区域的面积为 D．对应的向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为 【答案】AC 【分析】化简可得，进而结合实部和虚部的定义可判断AB；根据复数模的公式求出，设，进而可得复数对应的点所在区域是以原点为圆心，1为半径的圆内的区域（包括圆），进而求解可判断C；结合图象求解即可. 【解析】由， 则， 所以的实部为，虚部为，故A正确，B错误； 因为， 则，设， 则，即， 所以复数对应的点所在区域是以原点为圆心，1为半径的圆内的区域（包括圆）， 则所在区域的面积为，故C正确； 如图，对应的向量为， 则向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为，故D错误. 故选：AC. 题型01 复数的坐标表示 【典例1】在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义可得，即可求解. 【解析】在复平面内，复数z对应点的坐标为， 所以，，在复平面中对应的点坐标为. 故选：A. 【变式1】如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义，由点的坐标得出复数. 【解析】复数对应的点，则复数. 故选：D. 【变式2】在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点D的坐标为，然后由题意得，从而可求出的值，进而可求得点D对应的复数. 【解析】由题知，点，设点D的坐标为， 则有，. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 即，得，所以点D对应的复数为. 故选：C. 题型02 判断复数对应的点所在的象限 【典例1】当时，复数在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义直接判断. 【解析】由 又，则，， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故选：A. 复数的几何意义： 任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． 【变式1】设，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求出即可. 【解析】因为，所以对应复平面内点的坐标，所以位于第二象限， 故选：B. 【变式2】当时，复数在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义可得出结论. 【解析】当时，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【变式3】（多选）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（  ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解析】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D. 题型03 利用复数对应坐标的特点求参数 【典例1】已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1或2;(2);(3) 【分析】（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解； （2）根据复数的概念列式即可求解； （3）根据复数的几何意义列式即可求解. 【解析】（1）由题意 ， 若是实数，则，解得或 （2）若是纯虚数，则，解得； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得. 复数几何意义的两个注意点： (1)复数与复平面上的点：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)． (2)复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个． 【变式1】复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义即可得解. 【解析】根据题意得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式2】复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围. 【解析】复数在复平面上对应的点的坐标为， 根据第二象限坐标的特点可得，从而可得. 故选：D. 【变式3】若复数(,i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第三象限,则k的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据复数z所对应的点在第三象限列不等式组，解不等式组求得的取值范围， 【解析】∵复数z所对应的点在第三象限,或. 故答案为：或 【变式4】已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数在复平面内对应的点: （1）位于第四象限? （2）在实轴负半轴上? （3）位于上半平面(含实轴)? 【答案】（1）;（2）;（3）或.. 【分析】（1）根据实部大于零，虚部小于零列不等式组，解不等式组求得的取值范围. （2）根据实部小于零，虚部为零列式，由此求得的值. （3）根据虚部为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围. 【解析】(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限,需满足. (2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足. (3)要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足,解得或. 题型04 复数的向量表示 【典例1】（多选）设复数，（R），对应的向量分别为（为坐标原点），则（  ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】AD 【分析】对A，根据模长公式求解即可； 对B，根据向量平行的坐标公式求解即可； 对C，根据向量垂直的坐标公式求解的关系，再求解即可； 对D，根据复数的几何意义数形结合求解即可 【解析】对A，； 对B，对应的坐标为，对应的坐标为，因为，故，即，故B错误； 对C，若，则，即，因为，故，即，故，故C错误； 对D，若，即，其几何意义为到的距离小于等于，又的几何意义为到的距离，故的最大值为 故D正确； 故选：AD 复数的几何意义： 一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【变式1】在如图所示的复平面内，复数，，对应的向量分别是，，，则复数对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由图形得到复数，，，然后进行四则运算，即可求出此复数对应的点. 【解析】由题图知则， 所以其在复平面内对应的点为，在第三象限. 故选C 【变式2】如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（  ） A． B． C．(6.5) D． 【答案】D 【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解. 【解析】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 【变式3】在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，由，分析得关于原点对称，所以确定，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题. 【解析】解：因为复数对应的点为 且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上 又，所以为圆的直径，即关于原点对称 所以 因为 所以 又，， 则 所以 即的最大值为，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式4】设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. (1)求实数的值； (2)求的坐标； (3)已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由题意可得，根据A，E，C三点共线，存在实数k，使得求解即可； （2）结合（1）的结论，利用向量的坐标运算即可求解； （3）由A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，得，设，则，再利用（2）的结论即可求解. 【解析】（1）复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， ， 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 所以，解得，； （2）； （3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以， 设，则， 因为，所以，解得， 即点A的坐标为. 【变式5】已知复数，， (1)若，求角； (2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围； (3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)角；(2)；(3) 【分析】(1)利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解 (2)由向量的数量积运算结合两角差的正弦整理，再由角度的范围求出相位范围后即可求出的取值范围 (3)利用向量数量积的坐标运算进行化简等式，转化为和三角函数的表达式，求出三角函数的整体范围后再计算表达式的范围，进而求出最后结果 【解析】（1），，由，得，， 又， （2）由复数的坐标表示得，，， 则，又， ，当时，取最大值为4， 当时，取最小值为， 所以的取值范围为 （3）由题意得，，，， 又，， 化简得，，由小问2的结论可得，， 当，得 恒成立， 当，得，或， 综合所述，的取值范围为 题型05 复数的模的计算及其应用 【典例1】已知，，是虚数单位，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念，可求得，的值，再根据复数模长公式即可求解. 【解析】∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：B. 对复数模的三点说明： (1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小． (2)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小． (3)几何角度理解：|z|表示复数的点Z到原点的距离．|z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离． 【变式1】已知设，则，则的最小值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先求得复数实部与虚部的关系，再去求的最小值即可解决. 【解析】由，可得，可令， 则 （为锐角，且） 由，可得 则的最小值为3. 故选：A 【变式2】（多选）已知、都是复数，下列正确的是（  ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】利用特殊值判断A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D. 【解析】对于A：令、，则，显然不满足，故A错误； 对于C：令、，则，， 所以，但是，故C错误； 设，， 所以， 则 ， 又， 所以，故B正确； ，又， 所以，故D正确. 故选：BD 【变式3】已知复数，，如果，那么实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，利用模的计算公式列不等式求解实数a的取值范围. 【解析】，， 又因为，所以，解得. 故答案为： 【变式4】已知复数，其中，若复平面内复数对应的点在第一象限． (1)求实数的取值范围； (2)若存在实数，使得的共轭复数，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据复数对应的点在第一象限，得到不等式，求出的取值范围； （2）根据共轭复数和复数相等得到，从而得到，结合（1）中，得到的取值范围． 【解析】（1）复数对应的点的坐标为， 因为在第一象限，所以， 所以的取值范围为． （2）因为，所以 所以， 由（1）知：，所以，即的取值范围是． 题型06 复数的模的几何意义 【典例1】设z为复数，在复平面内满足下列条件的点Z的集合是什么图形？请画出图形. (1)； (2)； 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析 【分析】（1）设，根据模长公式以及圆的方程，确定表示的图形； （2）设，根据模长公式以及圆的方程，确定表示的图形； 【解析】（1）设，因为，所以， 所以在复平面内点Z的集合是表示以原点为圆心，半径为5的圆上的点， 其图形如下图所示：    （2）设，因为，所以， 所以在复平面内点Z的集合表示以原点为圆心， 分别以1和4为半径的两个圆所夹的圆环， 但不包含以圆环原点为圆心，以1为半径的圆的边界. 其图形如下图所示：    与复数模有关的最值问题： （1）求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状． （2）复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点． 【变式1】已知复数满足，则的最小值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由复数的几何意义求解即可. 【解析】由，得， 所以复数在复平面内对应的点到点的距离恒等于1， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径， 即. 故选：B. 【变式2】设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数减法的几何意义可知图形为圆环，求圆环面积即可. 【解析】表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为，    故选：C. 【变式3】（多选）已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（  ） A．若复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B．若复数z满足，则复数 C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则 【答案】CD 【分析】根据复数减法的模的几何意义，判断A选项的正确性.设，结合求得，由此判断B选项的正确性.根据复数模的定义判断C选项的正确性.根据复数加法、减法的模的几何意义，判断D选项的正确性. 【解析】满足的复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上，A错误； 在B中，设，则. 由，得，解得，B错误；由复数的模的定义知C正确； 由的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确. 故选：CD 【变式4】已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【解析】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 【变式4】已知复数分别满足，，则的最大值为___________ 【答案】8 【分析】先通过模长公式求出复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，再利用的最大值为两圆圆心距加两个圆的半径即可求得结果. 【解析】设，则， 如图，复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 则． 故答案为：8 题型07 复数加、减法的几何意义的应用 【典例1】在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（  ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【答案】C 【分析】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【解析】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 【变式1】若向量分别表示复数，则=（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【解析】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B. 【变式2】已知，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【解析】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 【变式3】复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据即，求得点对应的复数，进而即得. 【解析】因为对应的复数是，对应的复数为，又， 所以对应的复数为，又， 所以点对应的复数为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 【变式4】如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1);(2). 【分析】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【解析】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【分析】利用共轭复数的概念和复数的几何意义易得. 【解析】由题意得，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：B. 2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点的坐标，由对称求出点的坐标，进而求出对应的复数. 【解析】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D. 3．已知复数，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据复数的模得到关于a的方程，求出a的值，再根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可． 【解析】因为，且， 整理得，解得或， 即等价于或， 且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 4．在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数与复平面内的点的对应关系确定的坐标，即可确定其对应的复数. 【解析】因为复数，在复平面内对应的点为，， 即，， 所以， 则对应复数为． 故选：A． 5．）已知（，是虚数单位），，定义：，，给出下列命题： ①对任意，都有； ②若是复数的共轭复数，则恒成立； ③，则； ④对任意，结论恒成立； 则其中真命题是（  ） A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．①③ 【答案】C 【分析】①用特殊值验证，证明为假命题. ②根据的定义，证明为真命题. ③由②可知③为假命题. ④根据的定义，证明为真命题. 【解析】对于①，当时，，所以①为假命题. 对于②，令，则，所以②为真命题. 对于③，由于②成立，而和不一定相等，所以③为假命题. 对于④，依题意，根据复数减法的模的几何意义可知，表示复数和对应两点间的距离，表示复数和对应两点间的距离，表示复数和对应两点间的距离.根据三角形两边的和大于第三边可知，当对应的点在和对应的两点连成的线段上时，，所以成立. ④为真命题. 故选：C. 6．复数，满足，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．3 【答案】 【分析】设，利用复数模的意义求出在复平面内对应点的轨迹，再结合复数的几何意义及圆的性质求出最小值. 【解析】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故选：A． 7．（多选）设复数z满足,i为虚数单位,则下列命题正确的是 A． B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 C．z的共轭复数为 D．复数z在复平面内对应的点在直线上 【答案】AC 【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【解析】,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B不正确;z的共轭复数为,C正确;复数z在复平面内对应的点不在直线上,D不正确. 故选:AC 8．（多选）下列说法正确的是（  ） A．复平面内表示复数的点位于第二象限 B．若复数z满足，则 C．若复数，则且时z为纯虚数 D．若复数z满足，则 【答案】ACD 【分析】求出复平面内表示复数的对应的点可判断A；举反例可判断B；根据复数分类可判断C；根据复数加法的几何意义可判断D． 【解析】A选项：复平面内表示复数的点位于第二象限，故A正确； B选项：若，则，但，故B错误； C选项：若复数，则且时z为纯虚数，故C正确； D选项：根据复数加法的几何意义可知，设， 则， 所以， 所以复数z对应的点的集合为圆心为、半径为1的圆， 所以，故D正确． 故选：ACD. 9.（多选）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（  ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC. 【解析】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 设， 对于B，由，得，则， 因此，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BCD 10．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则 . 【答案】 【分析】化简，利用关于实轴对称，即得解z. 【解析】，由复数与对应的点关于实轴对称，可得. 故答案为： 11．设复数，满足，，复数在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形的面积为 . 【答案】 【分析】设，，根据复数的线性运算及几何意义可得，，，，进而得到，可得，，，进而求解即可. 【解析】设，， 则， 所以，，，， 所以， 即， 所以， 又，， 在中，过作，垂足为， 则为中点，即， 所以， 所以. 故答案为： 12．已知，且，i为虚数单位，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将问题化为坐标系中点到定点的距离恒为1，求定点与动点的最小距离. 【解析】令，则， 所以，等价于坐标系中点到定点的距离恒为1， 即动点在以为圆心，半径为1的圆上，如下图：    又表示动点到定点的距离，而与的距离为， 所以， 在之间且共线，左侧等号成立；在之间且共线，右侧等号成立； 所以的最小值是. 故答案为： 13．设复数，m为实数． (1)当m为何值时，z是纯虚数; (2)若，求的值; (3)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1)5；(2)；(3) 【分析】（1）根据复数的相关概念列式求解； （2）根据复数的模长公式运算求解； （3）根据共轭复数的概念以及复数的几何意义列式求解. 【解析】（1）若z是纯虚数，则，解得， 所以当时，z是纯虚数. （2）若，则， 所以. （3）因为复数，对应的点为， 若复数在复平面内对应的点在第三象限， 则，解得， 故实数m的取值范围为. 14．已知，，，，是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为，. （1）若，求，； （2）若，为实数，求，的值. 【答案】（1），（2） 【分析】（1）求出，，由题得，解方程组即得解； （2）由题得，解方程组即得解. 【解析】（1）∵，， 所以，， 所以， 又， ∴，∴， ∴，. （2）由（1）得，， ∵，为实数， ∴，∴ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.2 复数的几何意义 教学目标 1.了解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量． 2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 3.通过对复数的几何意义的探究，提升学生的直观想象和数学抽象的核心素养 教学重难点 1.重点 复数的几何意义． 2.难点 复数加、减法的几何意义. 知识点01 复数的几何意义 1.复平面的定义： 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_复平面__，x轴叫做_实轴__，y轴叫做_虚轴__.实轴上的点都表示_实数__；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2.复数的几何意义 注：(1)复数与复平面上的点：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)． (2)复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个． 3.复数加、减法的几何意义： 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是 　，与z1－z2对应的向量是 　. 注：向量对应的复数是z2－z1，而不是z1－z2，即终点对应的复数减起点对应的复数，这个顺序是不能颠倒的． 【即学即练】 1．已知复数，则z在复平面内对应的点为（  ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（  ） A．或 B． C．且 D．或 知识点02 复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作_|z|__或_|a＋bi|__.即|z|＝|a＋bi|＝ 　，其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于_|a|__(a的绝对值)． 注：(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小． (2)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小． (3)几何角度理解：|z|表示复数的点Z到原点的距离．|z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离． 【即学即练】 1．已知复数，则（  ） A． B． C． D．20 2．（多选）已知复数满足，则（  ） A．的实部为 B．的虚部为 C．满足：的复数对应的点所在区域的面积为 D．对应的向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为 题型01 复数的坐标表示 【典例1】在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（  ） A． B． C． D． 【变式2】在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（  ） A． B． C． D． 题型02 判断复数对应的点所在的象限 【典例1】当时，复数在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 复数的几何意义： 任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． 【变式1】设，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】当时，复数在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（多选）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（  ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 题型03 利用复数对应坐标的特点求参数 【典例1】已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 复数几何意义的两个注意点： (1)复数与复平面上的点：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)． (2)复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个． 【变式1】复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2】复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式3】若复数(,i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第三象限,则k的取值范围是 . 【变式4】已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数在复平面内对应的点: （1）位于第四象限? （2）在实轴负半轴上? （3）位于上半平面(含实轴)? 题型04 复数的向量表示 【典例1】（多选）设复数，（R），对应的向量分别为（为坐标原点），则（  ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 复数的几何意义： 一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【变式1】在如图所示的复平面内，复数，，对应的向量分别是，，，则复数对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（  ） A． B． C．(6.5) D． 【变式3】在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 . 【变式4】设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. (1)求实数的值； (2)求的坐标； (3)已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 【变式5】已知复数，， (1)若，求角； (2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围； (3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围． 题型05 复数的模的计算及其应用 【典例1】已知，，是虚数单位，若，则（  ） A． B． C． D． 对复数模的三点说明： (1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小． (2)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小． (3)几何角度理解：|z|表示复数的点Z到原点的距离．|z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离． 【变式1】已知设，则，则的最小值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（多选）已知、都是复数，下列正确的是（  ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【变式3】已知复数，，如果，那么实数a的取值范围是 . 【变式4】已知复数，其中，若复平面内复数对应的点在第一象限． (1)求实数的取值范围； (2)若存在实数，使得的共轭复数，求的取值范围． 题型06 复数的模的几何意义 【典例1】设z为复数，在复平面内满足下列条件的点Z的集合是什么图形？请画出图形. (1)； (2)； 与复数模有关的最值问题： （1）求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状． （2）复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点． 【变式1】已知复数满足，则的最小值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（  ） A．若复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B．若复数z满足，则复数 C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则 【变式4】已知复数满足，则的取值范围是 . 【变式5】已知复数分别满足，，则的最大值为___________ 题型07 复数加、减法的几何意义的应用 【典例1】在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（  ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【变式1】若向量分别表示复数，则=（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 【变式4】如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（  ） A． B． C． D． 3．已知复数，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（  ） A． B． C． D． 5．）已知（，是虚数单位），，定义：，，给出下列命题： ①对任意，都有； ②若是复数的共轭复数，则恒成立； ③，则； ④对任意，结论恒成立； 则其中真命题是（  ） A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．①③ 6．复数，满足，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．3 7．（多选）设复数z满足,i为虚数单位,则下列命题正确的是 A． B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 C．z的共轭复数为 D．复数z在复平面内对应的点在直线上 8．（多选）下列说法正确的是（  ） A．复平面内表示复数的点位于第二象限 B．若复数z满足，则 C．若复数，则且时z为纯虚数 D．若复数z满足，则 9.（多选）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（  ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 10．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则 . 11．设复数，满足，，复数在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形的面积为 . 12．已知，且，i为虚数单位，则的最小值是 . 13．设复数，m为实数． (1)当m为何值时，z是纯虚数; (2)若，求的值; (3)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 14．已知，，，，是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为，. （1）若，求，； （2）若，为实数，求，的值. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $