第14讲 复数的三角形式（知识清单+4题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

第14讲 复数的三角形式 知识清单 知识点01：复数的三角形式 知识点02 复数的三角形式的乘、除运算 知识点03 复数乘、除法的几何意义 题型讲解 （举三反三） 题型1：复数的三角表示 题型2：复数乘、除运算的三角表示 题型3：三角表示下复数的几何意义 题型4：三角表示下复数的乘方与开方 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01复数的三角形式 （1） 辐角 如图，以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线 (起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi(a，b∈R)的辐角. （2） 辐角主值 我们把适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z=a+bi(a，b∈R)的辐角主值，记 作arg z，即0≤arg z<2π. 每一个非零的复数z=a+bi(a，b∈R)都有唯一确定的模与辐角主值；反过来，复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数. 两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等. 设复数z=a+bi(a，b∈R，z≠0)的辐角为θ，则cos θ=，sin θ=，其中r=. 知识点02 复数的三角形式的乘、除运算 1. 乘法运算法则 设z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cos θ2+isin θ2)， 则z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. 这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和. 2. 除法运算法则 设z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cos θ2+isin θ2)，且z2≠0， 则== [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 知识点03 复数乘、除法的几何意义 1. 复数乘法的几何意义 如图，在复平面内分别画出与复数z1，z2对应的向量， (假定θ1，θ2均取辐 角主值，其他取值不影响讨论)，然后把向量按逆时针方向旋转一个角θ2得 (模仍为r1)，再把的模r1变为原来的r2倍，从而得到一个新的向量， 所对应 的复数r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]即为z1z2，这就是复数乘法的几何意义.   2. 复数除法的几何意义 　　在复平面内分别画出与复数z1，z2对应的向量， ，然后把向量按顺时 针方向旋转一个角θ2(θ2>0)得 (如果θ2<0，就要把按逆时针方向旋转角|θ2|得 )，再把的模r1变为原来的，从而得到一个新的向量， 所对应的复数 ·[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]即为，这就是复数除法的几何意义. 方法与技巧：如何求辐角主值 1. 每一个不等于零的复数都有唯一确定的模与辐角主值，并且由它的模与辐角主值唯一确定. 因此，两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等. 2. 任何一个不为零的复数的辐角有无限个，且这些角相差2π的整数倍. 例如，复数i 的辐角是+2kπ，其中k可以取任何整数. 3. 求两个复数辐角主值的代数和时可利用下面两个公式： (1)arg z1+arg z2=arg(z1·z2)+2kπ(k取某一确定整数)； (2)arg z1-arg z2=arg+2kπ(k取某一确定整数). 题型1：复数的三角表示 【例1-1】在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为______． 【例1-3】（2024高一下·江苏·专题练习）把()的代数形式化为三角形式. 【变式1-1】设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题，__________；关于x的方程，的解为__________． 【变式1-3】（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 题型2：复数乘、除运算的三角表示 【例2-1】（24-25高一下·江苏盐城·期末）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】计算：_________．(用代数形式表示) 【例2-3】（2024高一下·江苏·专题练习）化简下列各式： (1) ； (2) 【变式2-1】计算的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】计算________. 【变式2-3】计算： (1)； (2). 题型3：三角表示下复数的几何意义 【例3-1】若复数，其中是虚数单位，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【例3-2】（2024高一·江苏·专题练习）复数(12+5i)2(239﹣i)的辐角主值是___________. 【例3-3】在复平面内，将与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数，写出你的思考过程． 【变式3-1】把复数3－i对应向量按顺时针方向旋转π，所得向量对应复数为（    ） A．2 B．－2i C．－3－i D．3－i 【变式3-2】若，则的辐角主值为______. 【变式3-3】图中四边形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用复数方法证明：．    题型4：三角表示下复数的乘方与开方 【例4-1】（24-25高一上·江苏·月考）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【例4-2】复数的(i)6+()9虚部为（    ） A．﹣i B．i C．1 D．﹣1 【例4-3】若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为________. 【变式4-1】已知：棣莫弗公式（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】任何一个复数z=a+bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r（cosθ＋isinθ）]n=rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4-3】利用1的立方根，则8立方根是______． 一、单选题 1．下列各式中已表示成三角形式的复数是（    ）. A． B． C． D． 2．若，则的三角形式为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏苏州·期末）设为虚数单位，复数满足，则（   ） A． B． C．2 D．4 5如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 6．已知复数则（    ） A． B． C． D． 7．欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知为虚数单位，，，则等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的有（    ） A．z的虚部为 B． C． D． 10．（24-25高一·江苏淮安·月考）已知复数，，则下列命题成立的有（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 11．任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（    ） A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 三、填空题 12．将复数化为三角形式：______． 13．已知向量对应的复数为，把绕原点O按顺时针方向旋转后，再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数为________(用代数形式表示)． 14．（2024高一下·江苏·专题练习）_________. 四、解答题 15．求同时满足的复数z(用代数形式表示)． 16．请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 17．计算： (1)； (2)； (3) (4) 18．设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数. 19．已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 复数的三角形式 知识清单 知识点01：复数的三角形式 知识点02 复数的三角形式的乘、除运算 知识点03 复数乘、除法的几何意义 题型讲解 （举三反三） 题型1：复数的三角表示 题型2：复数乘、除运算的三角表示 题型3：三角表示下复数的几何意义 题型4：三角表示下复数的乘方与开方 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01复数的三角形式 （1） 辐角 如图，以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线 (起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi(a，b∈R)的辐角. （2） 辐角主值 我们把适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z=a+bi(a，b∈R)的辐角主值，记 作arg z，即0≤arg z<2π. 每一个非零的复数z=a+bi(a，b∈R)都有唯一确定的模与辐角主值；反过来，复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数. 两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等. 设复数z=a+bi(a，b∈R，z≠0)的辐角为θ，则cos θ=，sin θ=，其中r=. 知识点02 复数的三角形式的乘、除运算 1. 乘法运算法则 设z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cos θ2+isin θ2)， 则z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. 这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和. 2. 除法运算法则 设z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cos θ2+isin θ2)，且z2≠0， 则== [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 知识点03 复数乘、除法的几何意义 1. 复数乘法的几何意义 如图，在复平面内分别画出与复数z1，z2对应的向量， (假定θ1，θ2均取辐 角主值，其他取值不影响讨论)，然后把向量按逆时针方向旋转一个角θ2得 (模仍为r1)，再把的模r1变为原来的r2倍，从而得到一个新的向量， 所对应 的复数r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]即为z1z2，这就是复数乘法的几何意义.   2. 复数除法的几何意义 　　在复平面内分别画出与复数z1，z2对应的向量， ，然后把向量按顺时 针方向旋转一个角θ2(θ2>0)得 (如果θ2<0，就要把按逆时针方向旋转角|θ2|得 )，再把的模r1变为原来的，从而得到一个新的向量， 所对应的复数 ·[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]即为，这就是复数除法的几何意义. 方法与技巧：如何求辐角主值 1. 每一个不等于零的复数都有唯一确定的模与辐角主值，并且由它的模与辐角主值唯一确定. 因此，两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等. 2. 任何一个不为零的复数的辐角有无限个，且这些角相差2π的整数倍. 例如，复数i 的辐角是+2kπ，其中k可以取任何整数. 3. 求两个复数辐角主值的代数和时可利用下面两个公式： (1)arg z1+arg z2=arg(z1·z2)+2kπ(k取某一确定整数)； (2)arg z1-arg z2=arg+2kπ(k取某一确定整数). 题型1：复数的三角表示 【例1-1】在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 【例1-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为______． 【答案】 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可求得旋转后的复数，根据虚部的定义求解即可. 【详解】由题意，复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转， 可得， 所以，所得的向量对应的复数虚部为. 故答案为：. 【例1-3】（2024高一下·江苏·专题练习）把()的代数形式化为三角形式. 【答案】 【分析】 运用复数三角形式公式计算即可. 【详解】因为，所以， 在复平面内对应的点在轴的正半轴上， 所以， 所以. 【变式1-1】设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可. 【详解】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以. 故选：B. 【变式1-2】欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题，__________；关于x的方程，的解为__________． 【答案】 ； 或或或或或或或或． 【分析】将代入欧拉公式，可以求出，将2x看成一个整体，利用三角恒等变换可得，结合可以求出结果． 【详解】由题意，； 由， 得， 则 ， 即， 即， 即， 即， 解得或， 又，， 故或或或或或或或或， 故x的取值集合为 故答案为1，或或或或或或或或． 【变式1-3】（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】 运用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】（1）. （2）. 题型2：复数乘、除运算的三角表示 【例2-1】（24-25高一下·江苏盐城·期末）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用欧拉公式结合复数的指数运算可求得结果. 【详解】. 故选：C. 【例2-2】计算：_________．(用代数形式表示) 【答案】 【分析】由复数三角形式的除法运算直接求解即可. 【详解】. 故答案为：. 【例2-3】（2024高一下·江苏·专题练习）化简下列各式： (1) ； (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】利用复数三角形式的乘法除法法则，化简求值. 【详解】（1） ； （2） . 【变式2-1】计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角运算公式运算即可. 【详解】因为 所以， 所以， 故选：B. 【变式2-2】计算________. 【答案】 【分析】利用复数的三角表示可得原式，计算可得结果. 【详解】 故答案为： 【变式2-3】计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，结合复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . （2）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . 题型3：三角表示下复数的几何意义 【例3-1】若复数，其中是虚数单位，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，结合复数的几何意义，画出图形，即可得到结果. 【详解】 由题意可得，对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，对应的点为，如上图所示，则 故选:C 【例3-2】（2024高一·江苏·专题练习）复数(12+5i)2(239﹣i)的辐角主值是___________. 【答案】 【分析】先将复数(12+5i)2(239﹣i)化为28561+28561i，即可求得其辐角主值. 【详解】z的辐角主值 argz=arg[(12+5i)2(239﹣i)] =arg[(119+120i)(239﹣i)] =arg[28561+28561i]. 故答案为： 【例3-3】在复平面内，将与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数，写出你的思考过程． 【答案】 【分析】将与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，可得所求复数为，代入三角函数值，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【详解】根据复数乘法的几何意义，所求的复数是， 即. 故与所得的向量对应的复数是. 【变式3-1】把复数3－i对应向量按顺时针方向旋转π，所得向量对应复数为（    ） A．2 B．－2i C．－3－i D．3－i 【答案】C 【分析】将复数化成三角形式为，从而得到其对应向量绕原点O按顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数． 【详解】因为， 其对应向量绕原点O按顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数为： . 故选：C． 【点睛】复数乘法的几何意义：复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的．在用到复数的三角表示式时，要先算出复数的模和辐角．求解时注意向量旋转的方向． 【变式3-2】若，则的辐角主值为______. 【答案】 【分析】直接利用复数三角形式进行化简，求出的辐角主值． 【详解】，辐角． 得的辐角主值. 故答案为：. 【变式3-3】图中四边形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用复数方法证明：．    【答案】证明见解析 【分析】根据题意，建立以为坐标原点的直角坐标系，分别表示出对应的复数，并将复数改写成三角表示的形式并进行乘法运算即可得出结论. 【详解】以为坐标原点，以方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：    令，可得点， 所以对应的复数分别为， 所以分别为的辐角，且； 可得 ； 所以可得 题型4：三角表示下复数的乘方与开方 【例4-1】（24-25高一上·江苏·月考）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据复数的三角形式计算可得答案. 【详解】设， 所以， 可得，两式相除可得， 可得，， 因为，所以， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 结合选项，只有D正确. 故选：D. 【例4-2】复数的(i)6+()9虚部为（    ） A．﹣i B．i C．1 D．﹣1 【答案】D 【分析】分别计算cos2π+isin2π=1，(﹣i)2=﹣1，即可得出. 【详解】∵cos2π+isin2π=1， (﹣i)2=﹣1， ∴i. ∴原式=1﹣i，其虚部为﹣1. 故选：D 【例4-3】若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为________. 【答案】 【分析】求得，根据复数的概念可得出的表达式，即可求得正整数的最小值. 【详解】因为 因为为纯虚数，则，可得， 可得，又因为，当时，正整数取最小值. 故答案为：. 【变式4-1】已知：棣莫弗公式（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由已知求得复数所对应点的坐标，结合三角函数的象限符号得答案． 【详解】解：由， 所以， 复数在复平面内所对应的点的坐标为，， ， 所以，， 复数在复平面内所对应的点位于第二象限． 故选：． 【变式4-2】任何一个复数z=a+bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r（cosθ＋isinθ）]n=rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由棣莫弗定理可得，再由此复数为纯虚数，可得，从而可求出m的值 【详解】解：由棣莫弗定理可得， 因为复数为纯虚数， 所以且， 所以， 得， 因为，所以正整数m的最小值为4， 故选：B 【变式4-3】利用1的立方根，则8立方根是______． 【答案】， 【分析】设立方根为形式，由可得且，结合求结果. 【详解】令1的立方根为且，则， 所以，即，且，即，故且， 则且， 当时， 当时， 当时； 同理，令且， 所以，即，且，即，故且， 则且， 当时， 当时， 当时； 故答案为：， 一、单选题 1．下列各式中已表示成三角形式的复数是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】复数的三角表示为，对比选项得到答案. 【详解】复数的三角表示为：，其中，B选项满足. 故选：B. 2．若，则的三角形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对应的辐角主值可得其三角形式. 【详解】，辐角主值为，则其三角形式为. 故选：C. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对，然后再化为复数的三角形式可得答案 【详解】 所以 ， 故选：B 4．（24-25高一上·江苏苏州·期末）设为虚数单位，复数满足，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据复数除法的几何意义求复数的模. 【详解】. 故选：A 5如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的三角形式公式，利用复数的乘法以及三角函数的运算，可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 6．已知复数则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的辐角为即可求解. 【详解】由设复数的辐角为， 则， 又复数在复平面内对应的点为，在第二象限， 所以，即. 故选：D 7．欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出，进而求解. 【详解】 ， ， ， ，， 即，， . 故选：A. 8．已知为虚数单位，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可. 【详解】， . 故选：D. 二、多选题 9．已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的有（    ） A．z的虚部为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用复数的概念、模的计算公式、辐角的定义与乘方的计算方法，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以z的虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为一个复数的辐角有无数多个，故错误，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BD. 10．（24-25高一·江苏淮安·月考）已知复数，，则下列命题成立的有（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】举例说明判断A；利用复数的三角形式计算判断B；利用复数的代数形式，结合模及共轭复数的意义计算判断CD. 【详解】对于A，当时，，而，A错误； 对于B，令，则， 于是，而，即有，因此成立，B正确； 设复数，， 对于C，由，得， 则，，因此，C正确； 对于D，，则， ，因此，D正确. 故选：BCD 11．任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（    ） A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 【答案】ABD 【分析】根据复数三角函数形式即可判断A;通过解方程求解验证即可判断B,利用复数用三角函数形式表示复数，然后根据模的公式求出模，最后利用余弦函数的有界性求出范围即可判断C；根据复数的几何意义求出交点即可判断D; 【详解】对于A；由， 复数 位于第二象限，其辐角为， 所以，故A对； 由得或， 由得， 因为是方程的虚数根， 不妨设， 所以，故B对； 因为，令， 则 ， 又，故C错； 的解是单位圆上的 2025 次单位根， 即所有复数 z满足且辐角为，其中， 所以，这些点均匀分布在单位圆上， 令，所以是6 次单位根： ， 所以， 这些点是以 −1 为中心、半径为 1 的圆上的 6 个点， 因为， 所以，即， 在，中，满足的为：， 此时 或， 综上，满足条件的复数共2个；故D对； 故选：ABD 三、填空题 12．将复数化为三角形式：______． 【答案】 【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可. 【详解】解：复数中，，设为复数的辐角主值， 又 所以. 故答案为：. 13．已知向量对应的复数为，把绕原点O按顺时针方向旋转后，再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数为________(用代数形式表示)． 【答案】 【分析】根据辐角的含义进行运算． 【详解】对应的复数为. 故答案为：. 14．（2024高一下·江苏·专题练习）_________. 【答案】 【分析】借助复数的三角表示的运算法则计算即可得. 【详解】 . 故答案为：. 四、解答题 15．求同时满足的复数z(用代数形式表示)． 【答案】 【分析】由复数的三角形式化为代数形式，结合复数的四则运算即可求解. 【详解】由题可得， ∴. 16．请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 【答案】(1) (2) (3) 【分析】求出模及幅角，即可将复数的代数形式化为三角形式． 【详解】（1）因为，，，所以， 于是． （2）因为，，，所以， 于是． （3）因为，，，所以， 于是． 17．计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3（4）利用复数三角形式的乘法与除法运算法则求解即可，注意计算的准确性. 【详解】（1） . （2） . （3） . （4） . 18．设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数. 【答案】 【分析】根据复数的三角表示的几何意义及运算法则计算即可. 【详解】依题意得， 所以 . 19．已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 【答案】(1)，其中. (2)的最大值为3，最小值为0. (3)证明见解析 【分析】（1）根据复数三角形的定义可得复数的三角表示形式； （2）设，利用乘法的性质可得，根据余弦函数的性质可求最值； （3）利用题设复数三角形式的乘法结合复数的乘法可证三倍角公式. 【详解】（1）设， 则，故， 故，其中. （2）因为，故设， 故 ， 因为，故， 故的最大值为3，此时，最小值为0，此时. （3）设，则 ， 但 ， 故，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $