第九章 平面直角坐标系 平面直角坐标系与图形面积问题 专项练 2025-2026学年人教版（2024）数学七年级下册

第9章 平面直角坐标系 平面直角坐标系与图形面积问题 专项练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册 一、单选题 1．已知点，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知点，，点P在x轴上，且三角形的面积为4，则点P的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．已知点，，则三角形的面积为（） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，四边形在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C．11 D．17 5．如图，三角形沿着x轴向右平移3个单位长度得到三角形，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，平移折线AEB，得到折线CFD，则平移过程中扫过的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．数学中有许多优美、寓意美好的曲线．在平面直角坐标系中，绘制如图所示的曲线，给出下列四个结论：①曲线经过的整点即横、纵坐标均为整数的点中，横纵坐标互为相反数的点有2个；②曲线在第一、二象限中的任意一点到原点的距离都大于1；③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，其中正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 二、填空题 8．如图，三角形三个顶点的坐标分别为，，，则三角形的面积为________． 9．点O是半圆的圆心，若将半圆平移至如图的位置，则半圆所扫过的面积为______． 10．已知点、，点P在轴上，且的面积为5，则点P的坐标为__________． 三、解答题 11．如图，在边长为1的正方形网格中，，，． (1)平移线段AB到线段CD，使点A与点C重合，则点D的坐标为______； (2)线段AB平移至线段CD处所扫过的面积为______； (3)平移线段AB，使其两端点都在坐标轴上，则平移后点A的坐标为______． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)把四边形经过平移后得到四边形，点A的对应点的坐标为．请你画出四边形，并写出，，的坐标； (2)若四边形内有一点，则经过平移后的对应点的坐标为________； (3)求四边形的面积． 13．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，且a，b满足关系式，连接． (1)求a，b的值； (2)求三角形的面积； (3)若有一点，使得以点O，A，B，C为顶点的四边形的面积为三角形面积的2倍，若，求点C的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴上．如果点A坐标是，点C坐标是． (1)求点B和点D的坐标； (2)将这个长方形向下平移2个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？请你写出平移后四个顶点的坐标； (3)如果点Q以每秒个单位长度的速度在长方形的边上从点A出发到点C停止，沿着的路径运动，那么当点Q的运动时间分别是1秒和4秒时，三角形的面积各是多少？请你分别求出来． 15．如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为． (1)求，的值及； (2)若点在轴上，且，试求点的坐标． 16．已知：在平面直角坐标系中，，，． (1)求的面积； (2)设点P在x轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 17．如图，已知点，，，，，，三点在同一条直线上，求三角形的面积． 18．在平面直角坐标系内，已知A（2x，3x+1）．     （1）点A在x轴下方，在y轴的左侧，且到两坐标轴的距离相等，求x的值； （2）若x=1，点B在x轴上，且S△OAB=6，求点B的坐标． 19．如图，将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，可以得到． (1)画出平移后的； (2)写出三个顶点的坐标； (3)已知点P在x轴上，以A1、B1、P为顶点的三角形面积为4，求点P的坐标． 参考答案 1．C 本题考查了坐标与图形的性质，根据三角形的面积计算即可． 解：∵点，，， ∴三角形的面积 ． 故选C． 2．C 本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，根据三角形的面积求出点的坐标是解题的关键．设点P的坐标为，根据三角形的面积为4即可求出x的值． 解：∵点P在x轴上， ∴设点P的坐标为， ，的面积为4， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或， 故选：C． 3．D 本题主要考查坐标与图形性质，熟练掌握割补法求图形的面积是解题的关键．根据A、B点坐标画出图形，利用割补法即可求得三角形的面积． 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 故选：D． 4．B 本题考查坐标与图形的性质，求不规则图形的面积，关键是转化成特殊的图形再求解．用长方形面积减去三个三角形和一个小正方形的面积，即可求出四边形的面积． 解：∵，，， ∴四边形的面积． 故选B． 5．A 本题考查了平移的性质，先由求出的长，根据平移的性质得出，然后根据三角形面积公式计算即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵三角形沿着x轴向右平移3个单位长度得到三角形， ∴， ∴角形的面积为∶． 故选A． 6．C 据平移的性质确定平移过程中扫过的图形的形状，从而确定面积. 根据题意得：平移折线AEB，得到折线CFD，则平移过程中扫过的图形为矩形ABCD， 所以其面积为2×3＝6， 故选C． 本题考查了平移的性质，能够确定平移形成的图形是确定面积的基础，难度不大． 7．D 本题考查了坐标系中图形的面积，图形的对称性，点与象限的关系，点与圆的关系，熟练掌握图形的对称性，点与象限的关系，点与圆的关系，是解题的关键．根据曲线的对称性，正方形的性质，面积求法，结合坐标系可以判定． 解：如图，连接，， ∵曲线经过点，，，，，， ∴①错误； ∵曲线在第一、二象限中的任意一点都在以O为圆心，以1为半径的圆外， ∴曲线在第一、二象限中的任意一点到原点的距离大于1， ∴②正确； ∵的面积为， ∵四边形是长方形且，， ∴长方形面积为2， ∴长方形面积与的面积和为3， ∵曲线所围成的“心形”区域的面积大于矩形的面积与的面积和， ∴曲线所围成的“心形”区域的面积大于3， ∴③正确； 故选∶D． 8．8 此题考查了利用网格求三角形的面积，坐标与图形等知识．求出，三角形的边上的高为4，即可求出答案． 解：由题意，得， ∵点B的坐标为，边轴， ∴点B到直线的距离为， 即三角形的边上的高为4， ∴． 故答案为： 9．6 半圆平移到半圆的位置时所扫过的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式计算即可． 解：连接． 由图示可知： 扫过的面积等于长方形的面积，即． 故答案为：6． 本题主要考查了平移的性质，结合图形，找到所扫过的部分是一个长方形是解题的关键． 10．（-4，0）或（6，0） 设P（m，0），利用三角形的面积公式构建绝对值方程求出m即可； 解：如图，设P（m，0）， 由题意： •|1-m|•2=5， ∴m=-4或6， ∴P（-4，0）或（6，0）， 故答案为：（-4，0）或（6，0） 此题考查三角形的面积、坐标与图形性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 11．(1) (2)15 (3)或 （1）根据点A与点C的坐标得出坐标变化规律，从而得到点D的坐标； （2）根据平移的性质得出ABDC是平行四边形，根据平行四边形的面积公式列式计算即可； （3）分两种情况：①平移后A的对应点在y轴上，B的对应点在x轴上；②平移后A的对应点在x轴上，B的对应点在y轴上． （1）解：∵平移线段AB到线段CD，使点A与点C重合，A(2,4)，C(-3,4)， ∴坐标变化规律是：横坐标减去5，纵坐标不变， ∵B(4,1)， ∴点D的坐标为(-1,1)， 故答案为：(-1,1)； （2）解：∵平移线段AB到线段CD， ∴ABCD，AB=CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴线段AB平移至线段CD处所扫过的面积为：5×3=15， 故答案为：15； （3）解：分两种情况： ①如果平移后A的对应点在y轴上，B的对应点在x轴上， 那么坐标变化规律是：横坐标减去2，纵坐标减去1， ∵A(2,4)， ∴平移后点A的坐标为(0,3)； ②如果平移后A的对应点在x轴上，B的对应点在y轴上， 那么坐标变化规律是：横坐标减去4，纵坐标减去4， ∵A(2,4)， ∴平移后点A的坐标为(-2,0)； 故答案为(0,3)或(-2,0)． 此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 12．(1)见解析，，， (2) (3) 本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）由（1）得平移规律，再进行解答即可； （3）利用梯形面积公式求解即可． （1）解：如图，四边形即为所求． ，，． （2）解：由（1）得平移的规律为：向左平移5个单位，再向下平移4个单位， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：． 13．(1)， (2) (3) 本题考查了非负性的性质、坐标与图形的性质： （1）利用非负数的性质解答即可； （2）利用割补法求解即可； （3）由点C的纵坐标为b，可知点C的坐标为，从而轴．由得点C在点A右侧，过点B作BD⊥AC于点D．然后画出图形，根据以点O，A，B，C为顶点的四边形的面积为三角形面积的2倍列式求解即可． （1）解：∵， ∴， ∴，． （2）解：由（1），得，， ∴． （3）解：∵点C的纵坐标为b， ∴点C的坐标为， ∴轴． ∵， ∴点C在点A右侧． 如答图，过点B作BD⊥AC于点D． ∵， ∴， 即， 解得， ∴点C的坐标为． 14．(1)点B的坐标是，点D的坐标是 (2)，，， (3)， 本题考查的是坐标与图形的变化，掌握平行于坐标轴的点的坐标特点和平移与坐标变化的规律是解题的关键． （1）根据平行于坐标轴的点的坐标特点即可求得答案； （2）根据平移与坐标变化的关系即可求得答案； （3）根据运动时间求得三角形的高，然后根据公式计算即可． （1）解：∵点A坐标是，点C坐标是， ∴点B的坐标是，点D的坐标是． （2）解：∵将这个长方形向下平移2个单位长度， ∴平移后，四个顶点的坐标分别是，，，． （3）解：∵点A坐标是，点C坐标是，点B的坐标是，点D的坐标是， ∴，． 运动时间1秒时，点Q在线段上， 三角形的面积； 运动时间4秒时，点Q在线段上， 三角形的面积． 15．(1)，， (2)点的坐标为或 （1）由，结合绝对值、完全平方的性质即可得出，的值，再结合三角形的面积公式即可求出的值； （2）设出点的坐标，找出线段的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出的值，从而得出点的坐标． （1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴点，点， 又∵点， ∴，， ∴； （2）解：设点M的坐标为，则， 又∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：或， 点的坐标为或． 本题考查了坐标与图形的性质、完全平方的性质以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值：（2）根据三角形的面积公式得出关于含绝对值符号的一元一次方程．解决该题型题目时，根据绝对值、算术平方根的非负性求出点的坐标是关键． 16．(1) (2)点P的坐标为或 本题主要考查的是坐标与图形的性质，利用割补法求得的面积是解题的关键． （1）过点向、轴作垂线，垂足分别为、，然后依据求解即可． （2）设点的坐标为，于是得到，然后依据三角形的面积公式求解即可． （1）过点C作轴，轴，垂足分别为D、E． ． （2）设点P的坐标为，则． 与的面积相等， ． 解得：或． 所以点P的坐标为或． 17． 本题考查坐标与图象，利用分割法求三角形的面积即可． 解：，， ． ，， 三角形的面积 ． 18．（1）x=﹣1（2）点B的坐标为（3，0）或（﹣3，0）   【试题分析】（1）根据题意，判断点A在第三象限，根据点A到两坐标轴的距离相等， 得2x=3x+1，解得：x=﹣1. （2）将x=1代入A（2x，3x+1），得：A（2，4），  设B（a，0）， 列出面积方程，得：×4×|a|=6，解得：a=±3. 【试题解析】（1）∵点A在x轴下方，在y轴的左侧，  ∴点A在第三象限， ∵点A到两坐标轴的距离相等， ∴2x=3x+1，解得：x=﹣1 （2）若x=1，则A（2，4），  设B（a，0）， ∵S△OAB=6， ∴×4×|a|=6， 解得：a=±3， ∴点B的坐标为（3，0）或（﹣3，0）   19．见解析 （1）将△ABC的三个顶点分别向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，连接各点，可以得到△A1B1C1； （2）利用网格，找到各点横纵坐标即可找到△A1B1C1三个顶点的坐标； （3）由于以A1、B1、P为顶点的三角形得高为4，底为B1P，利用三角形的面积公式即可求出B1P的长，从而求出B1P的长． （1）画图如下： （2）由图可知：A1(0，4)；B1(2，0)；C1(4，1)． （3）∵A1O=4，三角形的面积为4， ∴×4B1P=4， ∴B1P=2， ∴P(0，0)，(4，0)． 本题考查了作图-平移变换，要注意找到关键点，将关键点平移，然后连接关键点即可． 学科网（北京）股份有限公司 $