专题05 平面直角坐标系相关压轴问题 【暑期培优】 2026年七升八人教版数学七年级数学下册

**基本信息** 聚焦平面直角坐标系压轴问题，通过5类40道题构建从基础变换到综合探究的递进训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移综合题|8题|含动态点与图形面积计算|坐标变换→图形运动→函数关系建立| |角的数量关系|8题|涉及角平分线与动态探究|平行线性质→角关系推理→分类讨论| |规律性问题|8题|坐标序列与图形规律|特殊到一般→归纳递推→数学建模| |最值问题|8题|路径与面积最值|对称变换→函数思想→优化决策| |面积存在性|8题|含参数的面积等量关系|面积公式→方程思想→存在性判断|

专题05 平面直角坐标系相关压轴问题 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 平面直角坐标系相关平移综合题】 1 【类型2 探究角的数量关系】 24 【类型3 规律性问题】 47 【类型4 最值问题】 53 【类型5 面积相关存在性问题】 69 【类型1 平面直角坐标系相关平移综合题】 1．综合与探究： 如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接 (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)存在，3 (3)3 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解； （2）由平移的性质可得点，点，，由面积关系可求解； （3）分点N在线段上，点N在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点A和点的坐标分别为；， 故答案为：；； （2）解：存在． 过D作的延长线，垂足为H，如图所示： ∵点A和点的坐标分别为；， ∴， ∵将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段， ∴点C和点D的坐标分别为和， ∴， 设M点坐标为，连接， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴存在这样的，使得四边形的面积等于9； （3）解：不变． 理由如下： 当点N在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，， 过D作的延长线，垂足为H ，连接， ∵， ， ∴ = = ， 当点N运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， ， 综上可知，的值为． 【点睛】本题是考查了平移的性质，非负数性质，解二元一次方程组，坐标与图形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，其中a、b满足． (1) 求点A、点B的坐标； (2)如图1，连接AB，并将A点向左平移m个单位（）到点C，连接．若在上有点G，且满足，已知点D为线段上一动点（不与B点重合），射线交直线于点E，交直线于点F，试探究D在运动过程中、、之间是否有某种确定的数量关系？请说明理由； (3)如图2，若将线段AB向左平移2个单位，再向上平移1个单位，点M为x轴上一点，点为第二象限内一动点，过点Q作轴于点N，连接，若的面积等于由四条线段围成的图形的面积，请直接写出点M的横坐标（用含n的式子表示）． 【答案】(1)点 ，点 (2)，理由见解析 (3) 或  ． 【分析】（1） 利用非负性可求解； （2） 由平行线的性质可得 ，由三角形的内角和定理可求解； （3）由面积和差关系列出等式可求解． 【详解】（1）解： , , , ，, 点 ，点 ； （2）解：，理由如下： 将 点向左平移 个单位 () 到点 , , , , , , , , , , , , ; （3）如图，过点 作 轴于 ，连接 , , 延长交x轴于点 由平移的性质可得点 ，点 ，点 ， 点 ， 轴， , 设点 ， 当 时， 的面积等于由 , , , 四条线段围成的图形的面积， , , 解得：, 当 时，且点在的左边， 如图： 的面积等于由 , , , 四条线段围成的图形的面积， , 点 , 当 时，且点在的右边，如下图： 的面积等于由 , , , 四条线段围成的图形的面积， , 点 , 综上所述： 的坐标为 或  ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且a，b满足． (1)如图1，求出点A，B的坐标； (2)如图2，把线段沿x轴的方向平移得到线段，B的对应点F在y轴上，作的平分线，连接，，设，求（用含的式子来表示） (3)如图3，在（2）的前提下，继续平移线段至，点A的对应点M在第三象限，点B的对应点在第四象限，且，，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据绝对值、偶次方的非负性，求出，，即可得到点A，B的坐标； （2）由平移得，，根据平行线的性质得到，，结合角平分线定义求出，根据，求出，再利用三角形内角和求出； （3）先求出的面积，根据平移得到点E、F的坐标，设，则，得，利用列式计算求解即可 【详解】（1）解：∵． ∴， 解得， ∴； （2）解：由平移得，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵把线段沿x轴的方向平移得到线段，B的对应点F在y轴上， ∴，， ∵平移线段至，点A的对应点M在第三象限，点B的对应点在第四象限，且， ∴设，则，即， ∴， 得， 过点E作轴，作于点R，于点H，交y轴于点W，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴． 4．如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________，与关系为________，四边形的面积为________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，，； (2)；；，理由见解析． 【分析】（）由非负数的性质得出，，故，，所以，，由平移性质可知，，，然后通过面积公式即可求解； （）由点在上运动，，则的纵坐标为，根据点的横坐标与纵坐标相等，得出，求出的值即可； 当点在上运动，则点的横坐标为，由（）得，，最后列代数式即可； 当时，点在上运动，则过作，则有，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 由平移性质可知，，，，，， ∴四边形的面积为 ； （2）解：∵点在上运动，， ∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴， 解得：； 由平移性质可知，， ∵点在上运动， ∴点的横坐标为， 由（）得，，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为； ，理由如下： 当时，点在上运动，则过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴． 5．在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求的面积； (2)如图，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若与的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当的面积为时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用算术平方根的非负数性质得出，进而求出，可得，，利用三角形面积公式即可得出答案； （2）连接，过点作轴于，根据平移的性质得出，根据与的面积相等得出，根据各点坐标求出，设，根据可求出，即可求出点坐标； （3）根据的面积为，得出点在外，分两种情况，当点在第三象限时，过点、、作长方形，且各边与轴、轴分别平行，设运动时间为，，由两点速度可得，利用三角形面积公式可得，利用割补法，结合的面积为可列出方程，解方程求出的值即可得出点坐标；当点在第一象限时，同理可求出点坐标，综上即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：如图，连接，过点作轴于， ∵将点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点，， ∴，，， ∵与的面积相等， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵点在轴上且位于点左侧，， ∴设 ∴， 解得：， ∴点的坐标为． （3）解：∵的面积为，， ∴点在外， 如图，当点在第三象限时，过点、、作长方形，且各边与轴、轴分别平行， 设运动时间为，，则，， ∴， ∵， ∴， 整理得，，即， ∵的面积为，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 如图，当点在第一象限时，过点分别作轴于、轴于， 设，同理可得：， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵的面积为，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上所述：点的坐标为或． 6．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； (3)如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； (4)如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，再结合算术平方根的含义可得； （2）过点作轴于点，作轴于点，连接，根据题意得到，表示出，列等式即可解答； （3）求出，，过作轴的垂线，过、作轴的垂线，交点为，再利用面积建立方程求解即可； （4）分情况讨论：当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为与过且平行于轴的直线交于，；当在的左边时，过作轴的垂线与过且平行于轴的直线交于，，再建立不等式组解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点作轴于点，作轴于点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵为的中点， ， ∵把点向右平移d（）个单位长度，再向下平移个单位长度至点， ， 即， 如图，过B作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为． ∴，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴的面积为23， ∴， 解得； （4）如图，当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，与过且平行于轴的直线交于， 由题意可得， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图，当在的左边时，过作轴的垂线与过点且平行于轴的直线交于， 由题意可得， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，或． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）将沿轴向左平移，平移后点的对应点为点，点的对应点为点，点的对称点为点，当点到达点时，停止平移，设平移的距离为． ①当点在直线上时，求的面积； ②当与四边形重合部分的面积为2时，请直接写出的值． 【答案】（1）点的坐标为；（2）①；②1或 【分析】（1）解方程，即可求D的坐标； （2）①先求出O，B，C各点的坐标，然后根据点的平移t设G，F，E三点的坐标，根据点G在直线y＝2x+6上求出G点坐标，利用面积公式可求出△DCG的面积； ②首先计算△EFG的面积，判断当点G在直线y＝2x+6上时，E点的位置，及点F达到点A是，G点的位置．进而判断何时△EFG与四边形AOCD重合部分的面积为2，然后求解． 【详解】解：（1）∵直线y＝﹣2x+3与直线y＝2x+6交于点D， 由，得 ； ∴点D的坐标为（，）； （2）当x＝0时，y＝2×0+6＝6，y＝﹣2×0+3＝3； 当y＝0时，2x+6＝0，﹣2x+3＝0；解得x＝﹣3，x； 点O（0，0），A（﹣3，0），B（，0），C（0，3）； 由平移的距离为t知，点E（，0），点F（﹣t，0），点G（﹣t，3）； ①当点G在直线y＝2x+6上时，得3＝2×（﹣t）+6，解得t； ∴点G坐标为（，3）； ∴GC； S△DGC•（yD﹣yc）； ②； 当点G在直线y＝2x+6上时， FE＝OBFD， O，E重合， △GFE完全在四边形AOCD内， 此时S△GFE＝S△COB；即重合部分面积为； 此时，t， 1°当t时，GE与y轴交于M， 此时△EFG与四边形AOCD重合部分的为四边形GFOM，面积为2． 即S△MOE+S四边形GFOM， ∴S△MOES四边形GFOM； ∵OM∥GF ∴△MOE∽△GFE ∴ ∴OE； 即t＝BO﹣OE＝1； 2°当t时，GE与y＝2x+6交于N，GF与y＝2x+6交于N， 此时△EFG与四边形AOCD重合部分的为四边形QFEN，面积为2 此时； 设直线GE解析式：y＝﹣2x+b； 把E（，0）代入得y＝﹣2x+b，解得b＝3﹣2t； 直线GE解析式：y＝﹣2x+3﹣2t； 解方程得； ； ∴点N坐标为（，）； 把x＝﹣t代入y＝2x+6，得y＝﹣2t+6， GQ＝3﹣（﹣2t+6）＝2t﹣3， S△GNQGQ•|yG﹣yN|•（t） 解得t或t（舍去）； ∴t＝1，或t． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，已知一次函数求点的坐标及已知解析式及点在直线上求点的坐标，三角形相似等知识，考查了平移的相关知识，及不规则图形的面积问题． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴，到轴的距离为，点的坐标为，点在轴上点A的右侧，且，过点作平行于轴的直线，点是直线上的一个动点． (1)若点在第一象限，且到轴的距离为． ①点的坐标为______； ②线段的长为______； ③如图，连接、、，平移线段，使A到的位置、到的位置，则点的坐标为______． (2)平移图中的线段，点始终在直线上，设点的纵坐标为． ①在点运动的过程中，若线段与轴有一个交点，则点的纵坐标的取值范围是______． ②当三角形的面积等于时，求点的坐标． 【答案】(1)①；②；③ (2)①；②或 【分析】（1）①先确定出，进而求出，求出，即可求出答案； ②先判断出轴，即可求出答案； ③先判断出点A向右平移个单位，向上平移1个单位到点，即可求出答案； （2）①找出当点平移到轴上时和当点平移到轴上时，的值，即可求出答案； ②分两种情况，由平移的性质，利用割补法，即可分别求出答案． 【详解】（1）解：①点A在轴正半轴，到轴的距离为， ， ， 点在轴上点A的右侧，且， ， ， 过点作平行于轴的直线， 点的横坐标为， 点在第一象限，且到轴的距离为， 点， 故答案为：； ②由①知，， ， 轴， ， 故答案为：； ③由平移得，点平移到点， 点A向右平移个单位，向上平移1个单位到点， 点向右平移个单位，向上平移1个单位到点， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，， ①当点平移到轴上时，点向下平移个单位，此时， 当点平移到轴上时，点向下平移2个单位， 点也向下平移2个单位，此时， 当线段与轴有一个交点时，点的纵坐标的取值范围是， 故答案为：； ②， ， 由（1）知，， 设点的纵坐标为n， 如备用图，当点D在x轴上方时，， 三角形的面积等于，， ， 解得， 点， ， ； 当点D在x轴下方时，， 如图：过点B作直线m，于点E， 三角形的面积等于，，BE=3，EM=1， ， 解得， 点， ， ， 即点或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，三角形、梯形的面积公式及利用割补法求面积，掌握平移的性质是解本题的关键． 【类型2 探究角的数量关系】 9．如图，在平面直角坐标系中，点，坐标分别为、，且，满足，现同时将点，向下平移个单位，再向左平移个单位，得到点，的对应点，，连接，，，． (1)直接写出、、点的坐标； (2)延长交轴于点，点是线段上的一个动点，（不与，点重合）连，，当点在线段上移动时，，，之间存在某种固定的数量关系，请先写出这种数量关系，再说明理由； (3)已知点在轴上，连接，，若的面积刚好是四边形面积的一半，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是 (2)，理由见解析 (3)点的坐标是或 【分析】（1）根据二次根式的性质和绝对值的性质求出、的值，即可得到点、、的坐标； （2）根据平移的性质可知，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得； （3）设点的坐标是，则，，根据点的位置，分情况求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 点，向下平移个单位，再向左平移个单位，得到点，的对应点，， 点的坐标是，点的坐标是； （2）解：， 理由如下， 如下图所示， 由平移可知，， ， 是的外角， ， ； （3）解：如下图所示， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 又点是与轴的交点， 点的坐标是， ，， 四边形的面积是， 设点的坐标是，则，， 当时， 如下图所示， ， ， ，， ， 整理得：， 可得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 如下图所示， ， ， ， 整理得：， 解得：， 点的坐标为； 当时， 如下图所示， ， ， ， 整理得：， 解得：， 点的坐标为； 当时，如下图所示， ， ， ， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，当的面积刚好是四边形面积的一半时，点的坐标是或． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点、和， ，将线段平移到的位置． (1)求点的坐标； (2)点为轴正半轴上一动点，连接，． ①当点在线段上时，求证：； ②当时，求点的坐标，此时、和有何数量关系？请直接写出它们的关系，不需证明． 【答案】(1) (2)①证明：如图，作， 由平移的性质得：， ， ∴，． ∵， ∴． ②点的坐标为， 【分析】（1）由平方和算术平方根的非负性可求得，的值，即可求出点，的坐标，再根据平移的性质即可求得点的坐标； （2）①作，则，可得 ，，根据即可求证；②设点的坐标为，，则，分两种情况讨论：当点在线段上时，，求出点的值，不符合题意，舍去；当点在线段的延长线上时，，求出点的值，即可得出点的坐标；过点作，则，可得，，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解∵， ∴，． ，． ，． ∴． 由平移的性质得：，， ， ． （2）解：①略 ②∵， ∴． 设点的坐标为， 当点在线段上时，即， 则， 解得， ∵， ∴此种情况不成立． 如图，当点在线段的延长线上时，即， 则， 解得， ． 此时，． 如图，过点作， ∵， ， ∴，． ∵， ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，，，当点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动（点P不与点A重合），同时点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动． (1)和的位置关系是 ； (2)如图，当点在线段上运动，点在线段上运动时，连接，，使的面积是面积的3倍，求出点的坐标； (3)在点，的运动过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)P点的坐标为 (3)当P在线段上，Q在线段上时，；当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时，，理由如下： ①当P在线段上，Q在线段上时，如图，过Q点作的平行线， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时，如图，过Q点作的平行线， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据点B与点C的纵坐标相同即可判断； （2）设当P运动t秒时，得出求解即可； （3）分①当P在线段上，Q在线段上时和②当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点B与点C的纵坐标相同， ∴； （2）解：设当P运动t秒时， 由题可得， ， ∴ ， 解得， ∴， ∴P点的坐标为； （3）解：略 12．如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点C的坐标（_______，_______）； (2)点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，写出点的坐标； (3)如图把点往上平移个单位得到点，画射线，连接，点在射线上运动（不与点、重合），写出点的坐标；并探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)；0 (2)或 (3)；或． 【分析】本题考查了坐标与图形、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，求出，即可得解； （2）先求出面积，设点，根据三角形面积公式列出方程计算即可得解； （3）分类讨论：点在点下方，点在点上方，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴的负半轴， ∴． （2）解：∵点B的坐标是，， ∴ ∵点在轴上， ∴设点， ∴， ∵三角形的面积是三角形面积的， ∴ 解得：． ∴点或． （3）解：点往上平移个单位得到点， ∴点， 当点在射线上（、）不重合，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点在的上方，设于交于， ∵ ∴， ∵ ∴． 13．在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． (1)证明：； (2)过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）过点P作，可证明，得到，再由角的和差关系可证明结论； （2）①设直线交x轴于点K，根据题意可得，，轴，则；根据，求出，据此可得答案；②分点Q在点D上方和点Q在点D下方这两种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点P作， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，设直线交x轴于点K， ∵， ∴，； ∵，点P与原点重合， ∴，即轴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3-1所示，当点Q在点D上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点D下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 14．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中，满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)将平移到，点A对应点，若三角形的面积等于13，求点D的坐标； (3)如图2，若平移到，点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点不包含点A，点B，连接平分，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)点，点 (2) (3) 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b,得到答案； （2）如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作于N．根据构建方程求解即可． （3）如图2中，延长交的延长线于M．首先证明，再利用结论，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ，且 ， ∴， 解得， ∴点，点； （2）解：如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作于N． ∵， ∴， 解得：， 则点C的坐标为， ∵， 由点平移到点，平移方式为向左平移2个单位，再向下平移5个单位， 根据平移规律，点D的坐标为； （3）解：如图2中，延长，交的延长线于M． ∵由平移可得， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 15．在平面直角坐标系中如图，点的坐标为，点的坐标为，且满足，将线段平移至线段，点的对应点在轴上，点的对应点． (1)直接写出，，的值． (2)若点在轴上且满足，求点的坐标． (3)如图，点为线段上一点，点为线段上一点，点为线段上一点，和的平分线交于点，试探究和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)解：当点E在直线左侧时，；当点E在直线右侧时，；理由如下： 设，， ∵和的平分线交于点H， ∴，； 如图所示，当点E在直线左侧时，过点H作， 由平移的性质可得， ， ，， ； 同理可得； ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在直线右侧时， 同理可得， ， ； 综上所述，当点E在直线左侧时，；当点E在直线右侧时，． 【分析】（1）非负性求出的值，根据题意确定平移规则，进而求出的值； （2）根据三角形的面积公式进行求解即可； （3）分点E在直线左侧和点E在直线右侧，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵将线段平移至线段，点B的对应点D在y轴上，点A的对应点， ∴平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度， ； （2）解：由（1）得点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ，，， ， ∵点P在y轴上且满足， ， ， ， ∴点P的纵坐标为或， ∴点P的坐标为或； （3）略 16．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足， (1)直接写出M、N的坐标：M（0，_____），N（_____，0）； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴的正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为秒． ①如图1，当时，设，求与的比值； ②如图2，当与互补时，在线段上任取一点E，连接．点G为的角平分线上一点，连接，且满足，设、，和，请直接写出，，三者之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)①；②或． 【分析】（1）首先根据非负数的性质解得的值，可确定点的坐标，即可获得答案； （2）①当时，可有，易得，，进而可计算出，结合，得到，进而根据三角形面积公式计算即可； ②分G点在平行线之间和G点在平行线之外两种情况，分别根据平行线的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当时，， ，， ∴，， ， ， ∴， ∴ 由图可知点在第四象限， ∴， ∴， ∴； ②根据题意，将图2补全，如下图所示， ∵与互补 ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 如下图，当G点在平行线之间时，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 如下图，当G点在平行线之外时，过点作，过点作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 综上所述，，，之间的数量关系为或． 【类型3 规律性问题】 17．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与轴重合，并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为_____ 【答案】 【分析】根据坐标的变化规律可知，纵坐标每8个点一次循环，横坐标每两个点增加一个单位长度，再根据点在第254个循环中的第2个点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：由图及题意可得，第一个正方形中，， 各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0； 第二个正方形中，， 各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，，，0； 根据坐标的变化规律可知，纵坐标每8个点一次循环，横坐标每两个点增加一个单位长度， ∵， ∴的横坐标为， ∵， ∴点在第254个循环中的第2个点的位置，故其纵坐标为， ∴点的坐标为． 18．如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…，依此规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是_____. 【答案】 【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，根据规律写出坐标即可． 【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， 第2026次跳动至点的坐标是， 答案为：． 19．如图，，…，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________. 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标规律，分别从横坐标、纵坐标进行探究是解题的关键．从横坐标、纵坐标两方面探究即可求解． 【详解】解：从开始，坐标依次为： ， 横坐标为， 横坐标为， 横坐标为， 横坐标为， 纵坐标为1， .纵坐标为2， 纵坐标为3， 纵坐标为， 的坐标： 横坐标：， 纵坐标：2026， 的坐标为． 故答案为：． 20．如图，点，点，点，点，点…，按照这样的规律下去，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标规律探索，通过观察已知点的坐标，分别找出下标为奇数和偶数的点的横、纵坐标变化规律，归纳出通项公式，进而求解． 【详解】解：观察已知点的坐标：，，，，可以发现规律：当下标为奇数时，，，，，；当下标为偶数时，，，，，． 是偶数，且， ， 点的横坐标为，纵坐标为，即． 21．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律，第个点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据题意可以发现当为奇数时，第个点的横坐标为，第个点的横坐标为，且两者的纵坐标均为，然后写出第个点的坐标即可． 【详解】解：由图可知，在轴上，第1个点的横坐标为1， 第2个点的横坐标为， 第9个点的横坐标为， 第10个点的横坐标为， 可以发现当为奇数时，第个点的横坐标为，第个点的横坐标为，且两者的纵坐标均为， ∵，是奇数， ∴第个点是横坐标，且在轴上， ∴第个点的坐标为． 22．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标___________． 【答案】 【分析】根据题意，当下标为偶数时，横、纵坐标的绝对值等于下标的一半，且横坐标为正数，纵坐标为负数，求解即可； 【详解】解：根据点，，，得到规律如下： 下标为偶数时，横、纵坐标的绝对值等于下标的一半，且横坐标为正数，纵坐标为负数， 故点的坐标为． 23．如图，，，，…，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为_______________． 【答案】 【分析】根据图形可知为第个等腰直角三角形的直角顶点，其纵坐标的绝对值等于，符号由的奇偶性决定；横坐标在1和2之间循环，由的奇偶性决定.确定对应的值即可求解． 【详解】解：观察图形可知，，，，……，分别为第1，2，3，……，个等腰直角三角形的直角顶点， ∵第个等腰直角三角形的斜边长为， ∴该三角形斜边上的高为，即点的纵坐标的绝对值为； 观察图形可知，当为奇数时，点在轴上方，纵坐标为正；当为偶数时，点在轴下方，纵坐标为负， ∵， ∴点是第个等腰直角三角形的直角顶点； ∵是奇数， ∴点的纵坐标为1013； 点的横坐标规律： 第1个三角形斜边为，，，中点横坐标为，即横坐标为1； 第2个三角形斜边为，，，中点横坐标为，即横坐标为2； 第3个三角形斜边为，，，中点横坐标为，即横坐标为1； 第4个三角形斜边为，，，中点横坐标为，即横坐标为2； …… 由此可知，当为奇数时，点的横坐标为1；当为偶数时，点的横坐标为2； ∵1013是奇数， ∴点的横坐标为1； 综上所述，点的坐标为． 24．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2026个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第个点作为第列，作为第列，以此类推，则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，，列共有坐标总数为，据此找出第2026个点的位置即可求解． 【详解】解：将第个点作为第列，作为第列，以此类推， 则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，列共有坐标总数为， ， ， 第个坐标在第列， ， 从下往上数第个坐标的纵坐标为， 第个点的坐标是． 【类型4 最值问题】 25．如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接，，为折线段上的动点（不与点，重合），记，其中为实数． （1）当时，的最大值为______； （2）若存在最大值，则的最小值为______． 【答案】 3 2 【分析】（1）当时，表示折线段上的点到直线的距离，当点与点重合时，点到直线的距离最大，即可得的最大值； （2）点和点到直线的距离相等，且大于点到直线的距离，由不与点，重合，可得当时，无最大值，当点与点重合时，取最大值，即可得的最小值． 【详解】（1）解：当时，， 根据绝对值的意义可知，表示折线段上的点到直线的距离， ∴当点与点重合时，点到直线的距离最大， ∴当时，的最大值为， （2）解：∵，，， ∴点和点到直线的距离相等，且大于点到直线的距离， ∵为折线段上的动点，且不与点，重合， ∴当时，无最大值， 当时，的最大值为，此时，点与点重合， ∴若存在最大值，则的最小值为． 26．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知点，，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．连接，，． (1)直接写出点的坐标： ； (2)若点是轴上一点，的长是否有最小值？若有，直接写出最小值；若没有，说明理由； (3)第二象限内有一点，若点到轴的距离与点到轴的距离相等，试写出一个满足要求的点的坐标． 【答案】(1)； (2)最小值为； (3)（答案不唯一）． 【分析】本题考查了根据平移方式确定点的坐标，点到坐标轴的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平移方式确定点的坐标，即可求解； （2）根据题意可得当时，轴，此时的长有最小值，最小值为； （3）根据题意得出点的纵坐标为，即可求解． 【详解】（1）解： ∵点，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的坐标为，即； （2）∵， ∴当时，轴，此时的长有最小值，最小值为； （3）∵点， ∴点到轴的距离为， ∴点到轴的距离为，即的纵坐标的绝对值为． 又∵点在第二象限， ∴点的纵坐标为， ∴满足题意． 27．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称两点为轴距等点．例如，图中的两点即为轴距等点． (1)已知点，在点中，点的轴距等点是___________； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是___________（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是___________； (3)已知点，点，连接．点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得两点为轴距等点，求的最小值． 【答案】(1) (2)①（答案不唯一，满足条件即可）；② (3) 【分析】本题主要考查了新的定义、线段的平移、坐标与图形等知识点，正确理解轴距等点的定义是解题的关键． （1）根据轴距等点的定义逐个判断即可解答； （2）①根据轴距等点即可列出等式，再找一组满足等式的值即可解答；②求出平移后的的坐标，再轴距等点列出等式求解即可； （3）设，可得，且，再根据轴距等点即可列出等式，即可判断出a的最小值． 【详解】（1）解：点两条坐标轴的距离之和为，点到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为． 故点A的轴距等点是． 故答案为：． （2）解：设点E的坐标为， ∵点在第三象限，点E与点为轴距等点， ∴，，，即，满足该等式的值不唯一， 如，，即． ②由①得，， ∴， ∵点与点R为轴距等点， ∴，即， ∴，即， ∴或（不合题意，舍去），得， ∴， ∴． 故答案为． （3）解：设， ∵ ∴，且， ∵两点为轴距等点， ∴， ∴， ∴时，， ∴a的最小值为． 28．请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，b为的整数部分． (1)a＋b＋c＝　 　； (2)点P为坐标平面内的一个动点，若S△PBC＝2S△ABC，求点A与点P距离的最小值； (3)如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 【答案】(1)-5 (2)4 (3)D 【分析】（1）根据二次根式的非负性、二次方的非负性求出a、c的值，根据b为的整数部分，求出b的值，即可得出答案； （2）根据点P在一条平行于y轴的直线上，根据垂线段最短，即可得出点A与点P距离的最小值； （3）连接OD、OE，设点D的坐标为（m，n），根据，得出，根据平移的性质，得出E（2n，n），根据列出关于n的方程，解方程即可得出n的值，得出D点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴的整数部分是2， ∴， ∴． 故答案为：-5． （2）解：∵A（a，0），B（0，b），C（0，c）， ∴A（-4，0），B（0，2），C（0，-3）， ∴， ∵S△PBC＝2S△ABC， ∴， ∵， ∴点P到BC的距离为：， ∵点B、C在y轴的直线上， ∴点P在平行于y轴的直线上，且与y轴的距离为8， ∴点P在直线或直线上， ∵点A到直线的最小距离为，点A到直线的最小距离为： ∴点A与点P之间最小距离为：． （3）解：连接OD、OE，如图所示： 设点D的坐标为（m，n）， ∵， ∴， ∴， ∴D点坐标为（2n-4，n）， ∵点D向右平移4个单位长度得到点E， ∴E（2n，n）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了点与坐标的关系，非负性的应用，平移的性质，利用等积法求解等知识，能灵活应用相关知识点，是解题的关键． 29．已知在平面直角坐标系中，点． (1)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (2)若P为x轴正半轴上异于原点O的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q， ①当P点在x轴上移动时，试判断线段的长是否会发生变化，如果不变求出线段的长，如果发生变化请说明理由； ②连接，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①为定值，理由见解析；② 【分析】（1）根据是等腰直角三角形，将绕点逆时针旋转得到，如图，根据旋转的性质、已知条件和等腰三角形的性质可利用证明，再根据全等三角形的性质和线段的和差关系即可推出结论； （2）①是定值，作于，在上截取，连接，如图，证，根据余角的性质可得，进而可根据推出，可得，从而可得，然后根据等腰直角三角形的性质和判定即可得到结论；②由①知点为定点，且，当时，线段有最小值，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）线段、、之间的数量关系为； 证明：， ， 将绕点逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ， ，即、、三点共线， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 即； （2）是定值，且； 作于，在上截取，连接，如图，则， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即是定值； ②由①知点为定点，且，， ， 如图，当时，线段有最小值， ， ，即的最小值为． 【点睛】本题考查了图形与坐标、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 30．在平面直角坐标系中，已知点，将其先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则称是点的平移美点． (1)直接写出点的平移美点； (2)若点的平移美点在轴上，求的值； (3)如图，正方形，点，，，，已知点是点的平移美点． ①若点的平移美点为，确定点的坐标； ②将点向上平移个单位长度得到，若线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部，直接写出的最大值及此时的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①点的坐标为；②的最大值为3，此时的值为0． 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移变换的性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． （1）直接根据平移美点的定义求解即可； （2）根据题意得，据此求解即可； （3）①由点的平移美点为，列二元一次方程组求解即可；②由的最大上限求得，当时，线段的端点为和，此时线段完全在正方形内，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得点的平移美点为即； （2）解：点的平移美点的横坐标为， 由题意得， 解得； （3）解：①∵点的平移美点为， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②∵是平移美点， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∵将点向上平移个单位长度得到， ∴， ∵线段的端点需满足: 在正方形内:,； 在正方形内:,； ∴，， 当，且时，最大为3，符合题意； ∴的最大值为3，此时的值为0． 31．在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点与点的“禾距”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“围差”，记为．如图1，已知点，． (1)点与点的“禾距”的值为______； (2)已知点在轴上，线段关于点的“围差”为，则点的坐标为______． (3)若点与点的“禾距”为． ①请在图中画出所有符合题意的点组成的图形： ②的最小值为_______． 【答案】(1) (2)或 (3)①见详解；② 【分析】（1）直接将，代入“禾距”公式进行计算即可； （2）先设，然后分情况讨论点在线段上时的最大值与最小值，再根据“围差”的定义列出方程求解即可． （3）①设，根据“禾距”公式列出方程，然后分情况讨论去掉绝对值符号，得到不同情况下的直线方程，从而画出图形． ②先分析的最大值与最小值的情况，然后找出的最小值． 【详解】（1）解：根据题意得． 故答案为：． （2）解：设，点在线段上，设 ①时， 当时，， 当时，， 线段关于点的“围差”为， ， ． ②时， 当时，， 当时，， 线段关于点的“围差”为， ， （舍去）． ③时， 当时，， 当时，， 线段关于点的“围差”为， ∴， 解得， 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． （3）解：①设， 点与点的“禾距”为， ，即， 当，时，，即； 当，时，，即； 当，时，，即； 当，时，，即． ∴所有符合题意的点组成的图形是以，，，为顶点的正方形． ②点在线段上， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关键是理解题目中“禾距”及“围差”的意义． 32．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且满足，点C为y轴正半轴上的一个动点． (1)_____，_____； (2)连接交于点D，若三角形和三角形的面积相等，求点C的坐标； (3)如图2，过点C作的平行线l，点M、N为直线l上两个动点，线段和线段相交于点E，且满足，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2) (3)40 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，延长交于点T，连接，可求出的面积，再证明，据此利用三角形的面积公式求解即可； （3）将线段平移得到线段，连接（其中点M与点N是对应点），则，可证明三点共线，可证明；根据点B到的距离一定不大于的长，故当时，的面积有最大值，最大值为，则四边形的面积的最大值为40． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图1所示，过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，延长交于点T，连接， 由（1）得， ∴，， ∴ ； ∵三角形和三角形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：如图所示，将线段平移得到线段，连接（其中点M与点N是对应点）， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴； ∵平行线间的距离处处相等， ∴（等底等高）， ∴； ∵垂线段最短， ∴点B到的距离一定不大于的长， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， ∴四边形的面积的最大值为40． 【类型5 面积相关存在性问题】 33．在平面直角坐标系中如图所示，点A的坐标为． (1)请求出； (2)x轴上是否存在点P，使得，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标． 【答案】(1)6.5 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）由的面积=梯形的面积的面积的面积，即可计算； （2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：作轴于H， ∵的面积=梯形的面积的面积的面积， ∴的面积； （2）解：存在，理由如下： ∵的面积， ∴， 当P在C的右侧，， ∴此时P的坐标是， 当P在C的左侧，， ∴此时P的坐标是， ∴P的坐标是或． 34．平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在点，使四边形的面积与的面积相等 【分析】（1）根据几个非负数和的性质得到，，，分别解一元一次即可得到A、B、C三点的坐标； （2）根据三角形的面积公式和四边形的面积进行计算； （3）若，则，解得，然后分别写出点的坐标． 【详解】（1）解：∵． ，，， ，，， ，，； （2）解：∵，， ∴在三角形，底，高， ∴． ∵点在第二象限， 所以，对于，底，高为（因为）， ∴， ∴四边形的面积； （3）解：∵，，，则垂直于轴，， 到轴的距离为， ∴的底，高为， ∴， 由（2）知四边形的面积， ∴， 解得， 所以点的坐标为， ∴存在点，使四边形的面积与的面积相等． 35．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，四边形的面积为12 (2)存在，点E坐标为或 【分析】（1）利用平移方式求出点、的坐标，根据平移的性质可得四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式求解面积即可； （2）根据的面积是面积的3倍求出，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据平移方式可得，点的坐标为即，点的坐标为即， ， 点，的坐标分别是，， ， 由平移的性质知，四边形是平行四边形， 四边形的面积为； （2）解：由题知， ，． 因为的面积是面积的3倍， 所以， 则． 因为点B坐标为， 则， 所以点E坐标为或． 36．在平面直角坐标系中如图所示，已知点． (1)请求出； (2)轴上是否存在点，使得，若不存在，说明理由：若存在，求点坐标． 【答案】(1)6.5 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）由的面积=梯形的面积的面积的面积，即可计算； （2）根据点的位置，分点在点C左边和右边两种情况，根据三角形面积公式，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：作轴于H， ∵的面积=梯形的面积的面积的面积， ∴的面积； （2）解：存在，理由如下：如图， ∵的面积， ∴， 当P在C的右侧，， ∴此时P的坐标是， 当P在C的左侧，， ∴此时P的坐标是， ∴P的坐标是或． 37．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)求点C的坐标和三角形的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点C的坐标为，的面积为10 (2)存在，点D的坐标为或 【分析】（1）直接根据平移规律即可得点C的坐标，再根据三角形的面积公式解答即可； （2）先求出、，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可． 【详解】（1）解：根据平移方式可得点C的坐标为； ， ， ∴， 所以的面积为10； （2）解：存在，由（1），点B的坐标为， ∴点B到x轴的距离为4， ∵，， ， ∵点A的坐标为， ∴点D的横坐标为或， ∴点D的坐标为或． 38．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，若a，b，c满足关系式． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求的面积； (3)是否存在，使得的面积为面积的两倍？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点 (2)6 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据非负数性质得，，，由此得，，，进而可得出A，B，C三点的坐标； （2）根据点得，，，且轴，再由三角形的面积公式即可得出的面积； （3）先求出，进而得，再根据点，轴得点P到直线BC的距离为，则，解此方程求出x即可得出点P的坐标． 此题主要考查了点的坐标，非负数的性质，三角形的面积，理解点的坐标，熟练掌握非负数的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 【详解】（1）解：，，， 又， ，，， ，，， 点，，； （2）解：∵点，，； ，，，且轴， ； （3）解：存在． ，， ， ， 点P的坐标为，轴， 点P到直线的距离为， ， ， ，， 由，解得：， 当时，， 此时点P的坐标为； 由，解得：， 当时，， 此时点P的坐标为， 点P的坐标为或 39．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ______； ______；点B的坐标为______； (2)在移动过程中，当点P移动3秒时，求三角形的面积； (3)当点P移动11秒时，坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或或 【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，进而根据长方形的性质可得出点的坐标； （）当点P移动3秒时，，此时点在上，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）分两种情况，根据三角形面积公式列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴轴，轴， ∴； （2）解：当点P移动3秒时，， 此时点在上， ∴三角形的面积； （3）解：存在， 当点移动秒时，移动的路程为， ∵， ∴点在上，即 ∴ ∴， ∴； ①当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； ②当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； 综上，存在或或或，使的面积与的面积相等． 40．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2，3，4 (2)9 (3)存在．点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，平面直角坐标系中两点间的距离公式，图形面积的计算，本题的关键是求出点的坐标以及根据点的坐标求解直角坐标系中的图形面积． （1）根据非负数的性质，可求解a与b的值，再由这一条件可求解c的值； （2）根据直角梯形的面积公式代入边长求解即可； （3）先表示出的面积，再由面积关系列式可求解m的值，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2，3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 故答案为：9； （3）解：存在， ∵，， ∴以为底，点P的横坐标的绝对值为， ∴， ∵的面积为四边形面积的2倍， ∴， 即，解得， 当时，， 当时，， 综上，点的坐标为或． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面直角坐标系相关压轴问题 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 平面直角坐标系相关平移综合题】 1 【类型2 探究角的数量关系】 5 【类型3 规律性问题】 9 【类型4 最值问题】 11 【类型5 面积相关存在性问题】 15 【类型1 平面直角坐标系相关平移综合题】 1．综合与探究： 如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接 (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，直接写出的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，其中a、b满足． (1) 求点A、点B的坐标； (2)如图1，连接AB，并将A点向左平移m个单位（）到点C，连接．若在上有点G，且满足，已知点D为线段上一动点（不与B点重合），射线交直线于点E，交直线于点F，试探究D在运动过程中、、之间是否有某种确定的数量关系？请说明理由； (3)如图2，若将线段AB向左平移2个单位，再向上平移1个单位，点M为x轴上一点，点为第二象限内一动点，过点Q作轴于点N，连接，若的面积等于由四条线段围成的图形的面积，请直接写出点M的横坐标（用含n的式子表示）． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且a，b满足． (1)如图1，求出点A，B的坐标； (2)如图2，把线段沿x轴的方向平移得到线段，B的对应点F在y轴上，作的平分线，连接，，设，求（用含的式子来表示） (3)如图3，在（2）的前提下，继续平移线段至，点A的对应点M在第三象限，点B的对应点在第四象限，且，，求点M的坐标． 4．如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________，与关系为________，四边形的面积为________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 5．在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求的面积； (2)如图，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若与的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当的面积为时，求出点的坐标． 6．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； (3)如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； (4)如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）将沿轴向左平移，平移后点的对应点为点，点的对应点为点，点的对称点为点，当点到达点时，停止平移，设平移的距离为． ①当点在直线上时，求的面积； ②当与四边形重合部分的面积为2时，请直接写出的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴，到轴的距离为，点的坐标为，点在轴上点A的右侧，且，过点作平行于轴的直线，点是直线上的一个动点． (1)若点在第一象限，且到轴的距离为． ①点的坐标为______； ②线段的长为______； ③如图，连接、、，平移线段，使A到的位置、到的位置，则点的坐标为______． (2)平移图中的线段，点始终在直线上，设点的纵坐标为． ①在点运动的过程中，若线段与轴有一个交点，则点的纵坐标的取值范围是______． ②当三角形的面积等于时，求点的坐标． 【类型2 探究角的数量关系】 9．如图，在平面直角坐标系中，点，坐标分别为、，且，满足，现同时将点，向下平移个单位，再向左平移个单位，得到点，的对应点，，连接，，，． (1)直接写出、、点的坐标； (2)延长交轴于点，点是线段上的一个动点，（不与，点重合）连，，当点在线段上移动时，，，之间存在某种固定的数量关系，请先写出这种数量关系，再说明理由； (3)已知点在轴上，连接，，若的面积刚好是四边形面积的一半，直接写出点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点、和， ，将线段平移到的位置． (1)求点的坐标； (2)点为轴正半轴上一动点，连接，． ①当点在线段上时，求证：； ②当时，求点的坐标，此时、和有何数量关系？请直接写出它们的关系，不需证明． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，，，当点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动（点P不与点A重合），同时点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动． (1)和的位置关系是 ； (2)如图，当点在线段上运动，点在线段上运动时，连接，，使的面积是面积的3倍，求出点的坐标； (3)在点，的运动过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 12．如图1，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点C的坐标（_______，_______）； (2)点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，写出点的坐标； (3)如图把点往上平移个单位得到点，画射线，连接，点在射线上运动（不与点、重合），写出点的坐标；并探究，，之间的数量关系． 13．在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． (1)证明：； (2)过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 14．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中，满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)将平移到，点A对应点，若三角形的面积等于13，求点D的坐标； (3)如图2，若平移到，点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点不包含点A，点B，连接平分，，试探究与的数量关系． 15．在平面直角坐标系中如图，点的坐标为，点的坐标为，且满足，将线段平移至线段，点的对应点在轴上，点的对应点． (1)直接写出，，的值． (2)若点在轴上且满足，求点的坐标． (3)如图，点为线段上一点，点为线段上一点，点为线段上一点，和的平分线交于点，试探究和之间的数量关系，并说明理由． 16．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足， (1)直接写出M、N的坐标：M（0，_____），N（_____，0）； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴的正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为秒． ①如图1，当时，设，求与的比值； ②如图2，当与互补时，在线段上任取一点E，连接．点G为的角平分线上一点，连接，且满足，设、，和，请直接写出，，三者之间的数量关系． 【类型3 规律性问题】 17．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与轴重合，并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为_____ 18．如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…，依此规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是_____. 19．如图，，…，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________. 20．如图，点，点，点，点，点…，按照这样的规律下去，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律，第个点的坐标为______． 22．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标___________． 23．如图，，，，…，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为_______________． 24．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2026个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【类型4 最值问题】 25．如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接，，为折线段上的动点（不与点，重合），记，其中为实数． （1）当时，的最大值为______； （2）若存在最大值，则的最小值为______． 26．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知点，，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．连接，，． (1)直接写出点的坐标： ； (2)若点是轴上一点，的长是否有最小值？若有，直接写出最小值；若没有，说明理由； (3)第二象限内有一点，若点到轴的距离与点到轴的距离相等，试写出一个满足要求的点的坐标． 27．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称两点为轴距等点．例如，图中的两点即为轴距等点． (1)已知点，在点中，点的轴距等点是___________； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是___________（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是___________； (3)已知点，点，连接．点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得两点为轴距等点，求的最小值． 28．请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，b为的整数部分． (1)a＋b＋c＝　 　； (2)点P为坐标平面内的一个动点，若S△PBC＝2S△ABC，求点A与点P距离的最小值； (3)如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 29．已知在平面直角坐标系中，点． (1)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (2)若P为x轴正半轴上异于原点O的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q， ①当P点在x轴上移动时，试判断线段的长是否会发生变化，如果不变求出线段的长，如果发生变化请说明理由； ②连接，直接写出线段的最小值． 30．在平面直角坐标系中，已知点，将其先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则称是点的平移美点． (1)直接写出点的平移美点； (2)若点的平移美点在轴上，求的值； (3)如图，正方形，点，，，，已知点是点的平移美点． ①若点的平移美点为，确定点的坐标； ②将点向上平移个单位长度得到，若线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部，直接写出的最大值及此时的值． 31．在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点与点的“禾距”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“围差”，记为．如图1，已知点，． (1)点与点的“禾距”的值为______； (2)已知点在轴上，线段关于点的“围差”为，则点的坐标为______． (3)若点与点的“禾距”为． ①请在图中画出所有符合题意的点组成的图形： ②的最小值为_______． 32．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且满足，点C为y轴正半轴上的一个动点． (1)_____，_____； (2)连接交于点D，若三角形和三角形的面积相等，求点C的坐标； (3)如图2，过点C作的平行线l，点M、N为直线l上两个动点，线段和线段相交于点E，且满足，求四边形面积的最大值． 【类型5 面积相关存在性问题】 33．在平面直角坐标系中如图所示，点A的坐标为． (1)请求出； (2)x轴上是否存在点P，使得，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标． 34．平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 35．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 36．在平面直角坐标系中如图所示，已知点． (1)请求出； (2)轴上是否存在点，使得，若不存在，说明理由：若存在，求点坐标． 37．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)求点C的坐标和三角形的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 38．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，若a，b，c满足关系式． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求的面积； (3)是否存在，使得的面积为面积的两倍？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ______； ______；点B的坐标为______； (2)在移动过程中，当点P移动3秒时，求三角形的面积； (3)当点P移动11秒时，坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 40．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $