第15章 专题微课 概率与统计的综合问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

第15章 专题微课 概率与统计的综合问题 [课时跟踪检测] 1.(10分)根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数(API)不大于100时，空气质量为优良.某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x，y，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110. (1)若x<y，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率；(5分) (2)若90<x<150，求这5天空气污染指数的方差的最小值.(5分) 解：(1)由题意知(90+110+x+y+150)=110，则x+y=200. 因为x<y，所以x<100<y. 从这5天中任选2天，所有的结果为(90，110)，(90，x)，(90，y)，(90，150)，(110，x)，(110，y)，(110，150)，(x，y)，(x，150)，(y，150)，共10种， 这2天的空气质量均为优良的结果为(90，x)，只有1种，故所求的概率为P=. (2)方差s2=×[(90-110)2+(110-110)2+(x-110)2+(y-110)2+(150-110)2] =[2 000+(x-110)2+(90-x)2] =(x-100)2+440， 因为90<x<150，所以当x=100时，s2的值最小，最小值为440. 2.(15分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(5分) (2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(5分) (3)求续保人本年度平均保费的估计值.(5分) 解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为=0.55， 故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3，故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 3.(15分)在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病；为了解这种职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图： (1)求样本中患病者的人数和图中a，b的值；(4分) (2)试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；(6分) (3)某研究机构提出，可以选取常数X0=4.5，若一名从业者该项身体指标检测值大于X0，则判定其患有这种职业病；若检测值小于X0，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.(5分) 解：(1)根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为100×=40. a=1-0.10-0.35-0.25-0.15-0.10=0.05，b=1-0.10-0.20-0.30=0.40. (2)由(1)可知，患病者的人数为40，未患病的人数为60，该项身体指标检测值不低于5的样本中，有患病者40×(0.30+0.40)=28(名)，未患病者60×(0.10+0.05)=9(名)，共37名. 故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为×85 000=31 450. (3)当X0=4.5时，在100个样本数据中，有40×(0.10+0.20)=12(名)患病者被误判为未患病，有60×(0.10+0.05)=9(名)未患病者被误判为患病，因此判断错误的概率为. 4.(15分)某校高三年级举行了高校强基计划模拟考试(满分100分)，将不低于50分的考生的成绩分为5组，即[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制频率分布直方图如图所示，其中在[90，100]内的人数为2. (1)求a的值，并估计不低于50分考生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；(5分) (2)现把[50，60)和[90，100]内的所有学生的考号贴在质地、形状和大小均相同的小球上，并放在盒子内，现从盒中随机抽取2个小球，若取出的两人成绩差不小于30，则称这两人为“黄金搭档组”.现随机抽取3次，每次取出2个小球，记下考号后再放回盒内，记取出“黄金搭档组”的次数为2的概率.(10分) 解：(1)由题意得(0.005+0.01+0.015+a+0.045)×10=1，解得a=0.025， 不低于50分考生的平均成绩估计为55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分). (2)在[90，100]上的频率为0.005×10=0.05，由条件得总人数为=40， 所以在[50，60)内的人数为40×0.1=4， 记[50，60)内的所有学生的考号所在小球分别为a1，a2，a3，a4，[90，100]内的所有学生的考号所在小球分别为b1，b2， 则从这6个球中抽取2个球的结果有a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4，a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2，共15种， 其中为“黄金搭档组”有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，共8种， 所以抽取出“黄金搭档组”的概率P=.记取出“黄金搭档组”的次数为2为事件A，事件Ai(i=1，2，3)表示第i次取出“黄金搭档组”， 所以P(A)=P(A1A2 )+P(A1A3)+P(A2A3)=××+××+××=，故取出“黄金搭档组”的次数为2的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $