第10章 三角恒等变换 阶段质量评价-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

[阶段质量评价]　　　　　　　第10章　三角恒等变换 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.) 1.已知sin α=，则cos(π-2α)= (　　) A.- B.- C. D. 解析:选B　cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2×-1=-.故选B. 2.计算2sin 14°cos 31°+sin 17°等于 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选A　2sin 14°cos 31°+sin 17°=2sin 14°·cos 31°+sin(31°-14°)=sin 14°cos 31°+cos 14°·sin 31°=sin(31°+14°)=sin 45°=. 3.若sin α+cos α=，则sin= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为sin α+cos α=，所以sin=sin α+cos α=(sin α+cos α)=×=.故选A. 4.若tan θ=2，则7cos2θ-2sin 2θ= (　　) A.- B. C.-2 D.2 解析:选A　7cos2θ-2sin 2θ====-.故选A. 5.若tan α=2，π<α<，则cos 等于 (　　) A.- B. C.- D. 解析:选C　因为tan α==2，sin2α+cos2α=1，所以cos2α=.又因为π<α<，所以cos α=-<<，所以cos =-=-=-. 6.已知角α，β满足tan α=，sin β=2cos(α+β)sin α，则tan β= (　　) A. B. C.1 D.2 解析:选B　由sin β=2cos(α+β)sin α，得sin β=sin[(α+β)+α]-sin[(α+β)-α]，进而sin β=sin(2α+β)-sin β⇒2sin β=sin(2α+β)=sin 2αcos β+cos 2αsin β，所以sin β(2-cos 2α)=sin 2αcos β⇒tan β====，故选B. 7.已知θ∈(0，2π)，若函数f(x)=2sin xcos x-sin(2x+θ)在上无零点，则θ的值可能为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　令f(x)=0，则sin 2x=sin(2x+θ)，故sin 2x=sin 2xcos θ+cos 2xsin θ，则tan 2x=tan 2xcos θ+sin θ，故tan 2x=在x∈无零点.因为tan 2x>0，所以≤0.因为1-cos θ>0，所以sin θ≤0.因为θ∈(0，2π)，所以θ∈[π，2π).故选D. 8.若sin(α+β)=cos 2αsin(α-β)，则tan(α+β)的最大值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　若sin(α+β)=cos 2αsin(α-β)， 则sin[2α-(α-β)]=cos 2αsin(α-β)， 即sin 2αcos(α-β)-sin(α-β)cos 2α=cos 2αsin(α-β)， 所以sin 2αcos(α-β)=2cos 2αsin(α-β)，即tan 2α=2tan(α-β)，故tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]==. 若使得tan(α+β)取得最大值，不妨设tan(α-β)>0，则tan(α+β)=≤=，当且仅当=2tan(α-β)，即tan(α-β)=时取等号. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.) 9.已知α，β，γ∈，sin β+sin γ=sin α，cos α+cos γ=cos β，则下列说法正确的是 (　　) A.cos(β-α)= B.cos(β-α)= C.β-α= D.β-α=- 解析:选BD　由已知可得所以1=sin2γ+cos2γ=(sin α-sin β)2+(cos β-cos α)2=2-2(cos βcos α+sin βsin α)=2-2cos(β-α)，所以cos(β-α)=.因为α，β，γ∈，所以-<β-α<，因为sin γ=sin α-sin β>0，函数y=sin x在上单调递增，所以α>β，则-<β-α<0，故β-α=-. 10.关于函数f(x)=sin 2x+2sin2x-1，下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)的最大值为2 C.直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴 D.点是函数f(x)的图象的一个对称中心 解析:选AD　由已知得函数f(x)=sin 2x-cos 2x=sin.函数f(x)的最小正周期T==π，所以A正确;当sin=1时，函数取得最大值f(x)max=，所以B不正确;当x=时，f=sin=1，即f不是函数f(x)的最值，所以x=不是函数f(x)的对称轴，所以C不正确;当x=时，f=sin=0，所以点是函数f(x)的图象的一个对称中心，所以D正确.故选AD. 11.已知a=(cos θ，sin θ)，b=(cos φ，sin φ)，则下列选项可能成立的是 (　　) A.|a+b|=|a-b| 　B.|a-b|=1 C.(a+b)·(a-b)=1 　D.|4a-5b|=6 解析:选ABD　因为a+b=(cos θ+cos φ，sin θ+sin φ)，a-b=(cos θ-cos φ，sin θ-sin φ)，所以|a+b|2=(cos θ+cos φ)2+(sin θ+sin φ)2=2+2(cos θcos φ+sin θsin φ)=2+2cos(θ-φ)， |a-b|2=(cos θ-cos φ)2+(sin θ-sin φ)2=2-2(cos θcos φ+sin θsin φ)=2-2cos(θ-φ)， 若θ=φ+，则|a+b|2=|a-b|2=2，故|a+b|=|a-b|，A可能正确;若θ=φ+，则|a-b|2=1，|a-b|=1，B可能正确;(a+b)·(a-b)=(cos θ+cos φ，sin θ+sin φ)·(cos θ-cos φ，sin θ-sin φ)=cos 2θ-cos 2φ+sin 2θ-sin 2φ=(cos 2θ+sin 2θ)-(cos 2φ+sin 2φ)=1-1=0，故C一定不正确;|4a-5b|2=(4cos θ-5cos φ)2+(4sin θ-5sin φ)2=16+25-40(cos θcos φ+sin θsin φ)=41-40cos(θ-φ)，当cos(θ-φ)=时，|4a-5b|2=36，故|4a-5b|=6，D可能正确. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12.(5分)已知tan=，则tan α=　　　　.  解析:∵tan==，∴tan α=-. 答案:- 13. (5分)设f(x)=sin 3x+cos 3x，若对任意实数x都有m≤f(x)，则实数m的取值范围是　　　　.   解析:f(x)=sin 3x+cos 3x=2+=2sin，所以f(x)min=-2，于是若对任意实数x都有m≤f(x)，则m≤-2. 答案:(-∞， -2] 14.(5分)已知 sin α=，cos β=，且α，β为锐角，则α+2β=　　　　.  解析:因为sin α=，且α为锐角，所以cos α===.因为cos β=，且β为锐角，所以sin β===.因为sin 2β=2sin βcos β=2××=，cos 2β=1-2sin2β=1-2×=，所以cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=×-×=.因为α∈，β∈，所以2β∈(0，π).所以α+2β∈，故α+2β=. 答案: 四、解答题(本大题共5小题，共77分.) 15.(13分)化简求值:(1)sincos-sinsin ;(7分) (2).(6分) 解:(1)sin cos -sin ·sin =cos cos -sin sin =coscos-sin sin =cos =cos =cos cos -sin sin =. (2) = = ==tan45°=1. 16.(15分)已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)-1. (1)求f(x)的最小正周期和单调区间;(8分) (2)若f(α)=，α∈，求cos 2α的值.(7分) 解:(1)由函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)-1=2sin xcos x+2cos 2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+)， 可得函数f(x)的最小正周期为T==π. 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，可得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z;令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，可得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (2)由f(α)=，可得f(α)=2sin=，即sin =. 因为α∈，可得2α+∈， 可得cos =-， 所以cos 2α=cos =cos +sin =×+×=. 17.(15分)已知α，β为锐角， 且=3. (1)求2sin α+cos α的值;(7分) (2)若cos(α+β)=，求sin β的值.(8分) 解:(1)∵===3， ∴cos α=3sin α. ∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+9sin2α=1. 又α为锐角，∴sin α=，cos α=， ∴2sin α+cos α=2×+=. (2)由(1)可知sin α=，cos α=. ∵cos(α+β)=，且α，β为锐角， ∴sin(α+β)==， ∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =×-×=. 18.(17分)已知cos(α+β)=，tan β=，且α，β∈. (1)求cos 2β-sin2 β+sin βcos β的值;(7分) (2)求2α+β的值.(10分) 解:(1)∵tan β=，∴cos2β-sin2β+sin βcos β= ===. (2)∵cos(α+β)=>0且α+β∈(0，π)，∴α+β∈，则sin(α+β)==，∴cos 2(α+β)=2cos2(α+β)-1=2×-1=，sin 2(α+β)=2sin(α+β)cos(α+β)=. ∵tan β=，β∈，且 解得(舍负)，∴cos(2α+β)=cos [2(α+β)-β]=cos 2(α+β)cos β+sin 2(α+β)sin β=×+×=.又α+β∈，α∈，∴2α+β∈(0，π)，∴2α+β=. 19.(17分)已知函数f(x)=sin xcos x+cos 2x-. (1)解不等式f(x)≥，其中x∈.(7分) (2)在锐角△ABC中，A=，求f(B)+f(C)的取值范围.(10分) 解:(1)f(x)=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin . ∵x∈，∴2x+∈， ∵f(x)≥，即sin≥， ∴<2x+≤，解得x∈，故不等式的解集为. (2)由题意可得且A=，可得<B<.∵A=，A+B+C=π，∴C=-B， f(B)+f(C)=sin+sin=sin+sin =sin-cos 2B=sin 2B+cos 2B-cos 2B=sin 2B-cos 2B=sin. ∵<B<，则<2B-<， ∴sin ∈. 故f(B)+f(C)的取值范围为. 69 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $