章末检测（十）三角恒等变换(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

章末检测（十）　三角恒等变换 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.cos（45°－α）cos（α－15°）－sin（45°－α）sin（α－15°）＝（　　） A.　　　 B.－　　　 C.　　　 D.－ 2.已知点P（2，1）在角θ的终边上，则＝（　　） A.－ B. C.－2 D.2 3.已知sin（θ＋）＝2cos θ，则tan 2θ＝（　　） A. B. C.－ D.2 4.cos 20°·cos 40°·cos 60°·cos 80°＝（　　） A. B. C. D. 5.已知cos α＝，α∈，则sin＝（　　） A. B.－ C. D. 6.若2α∈（－，），tan α＝，则sin（2α－）＝（　　） A.－ B. C.－ D. 7.已知sin（α－β）＝，cos（α＋β）＝－且α－β∈，α＋β∈，则cos 2β＝（　　） A.1 B.－1 C. D.－ 8.在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列化简结果正确的是（　　） A.cos 15°＝ B.＝ C.sin 15°－cos 15°＝－ D.－2sin 15°sin 105°＝－ 10.已知α，β∈（0，），cos（α＋β）＝，sin（α－β）＝，则（　　） A.sin（α＋β）＝ B.cos（α－β）＝－ C.sin 2α＝ D.＝ 11.已知f（x）＝sin 3x＋cos 3x，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的图象关于直线x＝对称 B.f（x）的图象可由g（x）＝sin 3x－cos 3x的图象向左平移得到 C.若f（x）的定义域为［0，］，则值域为[，2] D.集合M＝{x｜f（x）＝1}，若a，b∈M，且a≠b，则｜a－b｜min＝ 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知sin（α＋30°）＝，则sin（2α＋150°）＝　　　　. 13.△ABC的三个内角分别为A，B，C，当A＝　　　　时，cos A＋2cos取得最大值，这个最大值为　　　　. 14.计算：cos 40°（1＋）＝　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知向量a＝（1，），b＝（sin α，cos α）. （1）若a∥b，求tan 2α； （2）若a·b＝，且α∈（，π），求cos（α＋）. 16.（本小题满分15分）已知tan（α＋）＝－3，cos β＝－，且α，β∈（0，π），求： （1）sin 2α的值； （2）2α－β的值. 17.（本小题满分15分）某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°； cos280°＋cos2（－50°）－sin 80°sin（－50°）； cos2170°＋cos2（－140°）－sin 170°sin（－140°）. （1）求出这个常数； （2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 18.（本小题满分17分）如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ＝，其他区域安装健身器材，设∠BAP为θ弧度. （1）求△PAQ的面积S关于θ的函数解析式S（θ）； （2）求面积S的最小值. 19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx＋1（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为6π. （1）求ω的值； （2）设α，β∈，f＝，f（3β＋π）＝，求cos（α＋β）的值. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末检测（十）　三角恒等变换 1.C　原式＝cos[（45°－α）＋（α－15°）]＝cos 30°＝.故选C. 2.A　由点P（2，1）在角θ的终边上可得tan θ＝，则＝＝＝－＝－tan θ＝－.故选A. 3.C　由sin（θ＋）＝2cos θ可得sin θ＋cos θ＝2cos θ，即tan θ＝，所以tan 2θ＝＝＝－.故选C. 4.C　由20°，40°，80°成倍角关系，且sin 2α＝2sin αcos α，则cos α＝，则cos 20°cos 40°·cos 60°cos 80°＝×××＝.故选C. 5.A　∵α∈，∴∈，∴sin＝＝＝＝.故选A. 6.D　因为tan α＝，所以＝.整理得3sin α＝sin2α＋cos2α＝1，则sin α＝，又2α∈（－，），则2α∈（0，），所以cos α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝1－2sin2α＝，所以sin（2α－）＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×－×＝.故选D. 7.C　∵α－β∈，sin（α－β）＝，∴cos（α－β）＝－.∵α＋β∈，cos（α＋β）＝－，∴sin（α＋β）＝.∴cos 2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝×＋×＝.故选C. 8.B　∵△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴tan B＝ ＝ ＝，即＝， ∴cos（B＋C）＝0，∴cos（π－A）＝0，∴cos A＝0，∵0＜A＜π，∴A＝，∴这个三角形为直角三角形.故选B. 9.ABD　对于A，cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝，故A正确；对于B，＝tan（10°＋50°）＝tan 60°＝，故B正确；对于C，因为sin 15°＝sin（45°－30°）＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝×－×＝，cos 15°＝，所以sin 15°－cos 15°＝－×＝－，故C错误；对于D，－2sin 15°sin 105°＝－2sin 15°sin 75°＝－2sin 15°cos 15°＝－sin 30°＝－，故D正确.故选A、B、D. 10.AC　对于A，因为α，β∈（0，），则α＋β∈（0，π），所以sin（α＋β）＝＝，故A正确；对于B，因为α，β∈（0，），则α－β∈（－，），所以cos（α－β）＝＝，故B错误；对于C，因为2α＝（α＋β）＋（α－β），所以sin 2α＝sin＝sin（α＋β）·cos（α－β）＋cos（α＋β）·sin（α－β）＝×＋×＝，故C正确；对于D，因为＝＝＝，则＝，故D错误. 11.ACD　依题意，得f（x）＝2sin（3x＋）.对于A，f（）＝2sin（3·＋）＝2，f（x）的图象关于直线x＝对称，A正确；对于B，g（x）＝2sin（3x－），g（x＋）＝2sin［3（x＋）－］＝－2sin（3x＋）≠f（x），B错误；对于C，由x∈［0，］，得3x＋∈［，］，f（x）min＝，f（x）max＝2，C正确；对于D，由f（x）＝1，得sin（3x＋）＝，则3x＋＝＋2kπ或3x＋＝＋2kπ，k∈Z，因此｜a－b｜min＝（－）＝，D正确. 12.　解析：sin（2α＋150°）＝sin[2（α＋30°）＋90°]＝cos [2（α＋30°）]＝1－2sin2（α＋30°）＝1－2×（）2＝. 13.60°　　解析：cos A＋2cos＝cos A＋2sin＝1－2sin2＋2sin＝－2sin2＋2sin＋1＝－2·＋，当sin＝，即A＝60°时，＝. 14.1　解析：原式＝cos 40°（1＋） ＝cos 40°· ＝cos 40° ＝cos 40° ＝cos 40°＝cos 40° ＝＝1. 15.解：（1）因为a∥b，所以cos α＝sin α，则tan α＝， 所以tan 2α＝＝＝. （2）因为a·b＝sin α＋cos α＝， 所以2（sin α＋cos α） ＝2sin（α＋）＝， 则sin（α＋）＝， 即sin＝， 所以cos（α－）＝， 又α∈（，π），α－∈（，）， 所以sin（α－）＝ ＝， 所以cos（α＋）＝cos ＝cos（α－）cos－sin（α－）·sin＝×－×＝. 16.解：（1）由tan（α＋） ＝＝＝－3，解得tan α＝2， 所以sin 2α＝＝＝＝. （2）cos 2α＝＝＝＝－， 由cos β＝－，β∈（0，π），得sin β＝＝， 所以sin（2α－β）＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×（－）－（－）×＝－， 因为α∈（0，π），tan α＝2＞1，所以α∈（，），所以2α∈（，π）， 又β∈（0，π），cos β＜0， 所以β∈（，π）， 所以－β∈（－π，－）， 所以2α－β∈（－，），所以2α－β＝－. 17.解：（1）cos215°＋cos215°－sin 15°·sin 15° ＝2cos215°－sin215° ＝1＋cos 30°－（1－cos 30°） ＝1＋－×＝. （2）推广：当α＋β＝30°时， cos2α＋cos2β－sin αsin β＝. 证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α， cos2α＋cos2β－sin αsin β ＝cos2α＋cos2（30°－α）－ sin αsin（30°－α） ＝cos2α＋－ sin α·（cos α－sin α） ＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋ sin2α－cos αsin α＋sin2α ＝cos2α＋sin2α＝. 18.解：（1）因为∠BAP＝θ，正方形边长为1百米， 所以AP＝，AQ＝. 如图，过点P作AQ的垂线，垂足为E，则PE＝·， 所以S（θ）＝·· ＝，θ∈. （2）因为S（θ）＝， 所以当sin＝1， 即θ＝时， S（θ）取最小值为－1， 故当θ＝时，面积S的最小值为－1. 19.解：（1）∵f（x）＝2＋1 ＝2＋1 ＝2sin＋1， ∵T＝＝6π，∴ω＝. （2）由（1）得f（x）＝2sin＋1， ∵f ＝2sin＋1 ＝2sin＋1＝－2cos α＋1＝，∴cos α＝. 又f（3β＋π）＝2sin＋1 ＝2sin β＋1＝， ∴sin β＝. ∵α，β∈， ∴sin α＝＝，cos β＝＝. ∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $