14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2025南京期末)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是(　　) A.样本x1，x2，…，xn的众数 B.样本x1，x2，…，xn的中位数 C.样本x1，x2，…，xn的极差 D.样本x1，x2，…，xn的平均数 2 (2025长春四县区联考)下列说法中，错误的是(　　) A.数据的标准差比较小时，数据比较分散 B.样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响 C.极差为一组数据中最大值与最小值的差 D.任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 3 (2025宿迁期末)已知数据x1，x2，…，x10的中位数为2，方差为3，则数据2x1＋3，2x2＋3，…，2x10＋3的中位数和方差分别为(　　) A.2，3 B.7，6 C.7，12 D.4，12 4 (2025温州期末)下列各组数据中方差最大的一组是(　　) A.5，5，5，5，5 B.4，4，5，6，6 C.3，4，5，6，7 D.2，2，5，8，8 5 (2025六安期末)已知a，b，c的平均数与方差均为4，则a2，b2，c2的平均数为(　　) A.18 B.20 C.22 D.24 6 (2025河北期末)高一年级举行“校园安全伴你行”知识能力竞赛，男生队40人，女生队60人，按比例分配的分层抽样从两队共抽取20人，相关统计情况如下：男生队答对题目的平均数为5，方差为1；女生队答对题目的平均数为4，方差为2，则这20人答对题目的方差为(　　) A.1.8 B.1.82 C.1.84 D.1.86 二、多项选择题 7 (2025徐州期末)有两组样本数据：2，6，4，2，1和4，8，6，4，3，则这两组样本数据的(　　) A.平均数不相同 B.中位数相同 C.标准差不相同 D.极差相同 8 (2025宁波期末)某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分(满分10分)，得到如图所示的统计图，则下列结论中正确的有(　　) A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B.甲得分的极差大于乙得分的极差 C.甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D.甲得分的方差大于乙得分的方差 三、填空题 9 (2025浙江期中)已知数据x，y，8，10，11的平均数为8，方差为6，则x2＋y2的值为__________． 10 (2025河北期末)一组数据按从小到大的顺序排列为56，59，60，62，a，若这组数据的极差为7，则这组数据的方差为________． 11 (2024江苏月考)水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，容易在春天爆发，市疾控中心为了调查某高校高一年级学生注射水痘疫苗的人数，在高一年级随机抽取了5个班级，每个班级的人数互不相同，若把每个班抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为5，样本方差为4，则样本数据中最大值为________． 四、解答题 12 (2025重庆期中)在重庆复旦中学“复旦好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A：85　86 　92　87　89　95　82　91　85 小组B：95　93　51　88　90　89　91　92　94 (1) 分别求出两组评委打分的平均分； (2) 判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由． 13 某单位为了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下： 分数 77 79 81 84 88 92 93 人数 1 1 1 3 2 1 1 回答以下问题： (1) 求抽取的10名退休职工问卷得分的平均数 和方差s2； (2) 10名退休职工问卷得分在 －s与 ＋s之间有多少人？这些人占 10名退休职工的百分比为多少？ 参 考 答 案 1.C　由题意，得平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势.由极差的定义可知，极差是用来反映最大值与最小值之间的差距，刻画一组数据的离散程度． 2.A　数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A错误；因为样本数据的中位数是将数据从小到大排列后得到的，所以改变少数几个极端值，只要不改变这组数据的顺序，中位数不变，故B正确；数据的极差即是一组数据的最大值与最小值的差，故C正确；任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确． 3.C　因为数据x1，x2，…，x10的中位数为2，方差为3，所以数据2x1＋3，2x2＋3，…，2x10＋3的中位数为2×2＋3＝7，方差为22×3＝12. 4.D　对于A，数据全部为5，没有波动，所以方差为0；对于B，平均数为＝5，方差为s2＝＝0.8；对于C，平均数为＝5，方差为s2＝＝2；对于D，平均数为＝5，方差为s2＝＝7.2.由7.2>2>0.8>0，得D的方差最大． 5.B　由题意，得＝4，则a＋b＋c＝12，＝4，则＝4，解得＝20. 6.C　由题意，得按比例分配的分层抽样从男生队中抽取20×＝8(人)，从女生队中抽取20×＝12(人)，这20人答对题目的平均数为×(8×5＋12×4)＝4.4，所以这20人答对题目的方差为×{8×[1＋(5－4.4)2]＋12×[2＋(4－4.4)2]}＝1.84. 7.AD　对于A，两组数据的平均数分别为＝3，＝5，故A正确；对于B，数据1，2，2，4，6的中位数是2，数据3，4，4，6，8的中位数是4，故B错误；对于C，两组数据的标准差都为＝，故C错误；对于D，两组数据的极差分别为6－1＝5，8－3＝5，故D正确．故选AD. 8.AC　对于A，将甲的得分从小到大排列为8.1，8.2，8.3，8.4，8.4，8.7，易知其中位数为×(8.3＋8.4)＝8.35，乙的得分从小到大排列为7.8，7.9，8.0，8.0，8.4，8.6，易知其中位数为×(8.0＋8.0)＝8.0，所以甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故A正确；对于B，甲得分的极差为8.7－8.1＝0.6，乙得分的极差为8.6－7.8＝0.8，所以甲得分的极差小于乙得分的极差，故B错误；对于C，甲得分的平均数为×(8.1＋8.2＋8.3＋8.4＋8.4＋8.7)＝8.35，乙得分的平均数为×(7.8＋7.9＋8.0＋8.0＋8.4＋8.6)≈8.117，所以甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故C正确；对于D，结合统计图以及甲、乙得分的极差可知，乙得分的离散程度较大，所以甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误．故选AC. 9.65　因为x，y，8，10，11的平均数为8，所以x＋y＝11.由s2＝(xi－8)2＝[(x－8)2＋(y－8)2＋13]＝6，得(x－8)2＋(y－8)2＝17，则x2＋y2－16x－16y＋64＋64＝x2＋y2－16(x＋y)＋128＝17，即x2＋y2＝65. 10.6　由题意，得a－56＝7，则a＝63，所以这组数据的平均数为＝60，方差为×[(56－60)2＋(59－60)2＋(60－60)2＋(62－60)2＋(63－60)2]＝6. 11.8　设五个班抽取的人数分别为a1，a2，a3，a4，a5，则(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝5，[(a1－5)2＋(a2－5)2＋(a3－5)2＋(a4－5)2＋(a5－5)2]＝4，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25，(a1－5)2＋(a2－5)2＋(a3－5)2＋(a4－5)2＋(a5－5)2＝20，根据方差，样本数据为整数，得样本数据中最大值为9，此时样本数据依次为4，4，4，4，9，不满足样本数据互不相同；当样本数据中最大值为8时，样本数据依次为2，4，5，6，8，符合题意．故样本数据中最大值为8. 12.(1) 记小组A的数据依次为xi，小组B的数据依次为yi，i＝1，2，…，9， 由题意，得A，B两组的平均数分别为A＝xi＝88，B＝yi＝87. (2) 小组A更像是由专业人士组成， 两组的方差分别为s＝(xi－88)2≈14.9，s＝(yi－87)2≈166.7. 因为专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，s≈14.9，s≈166.7， 且14.9<166.7， 所以根据方差越大数据波动越大，小组A更像是由专业人士组成的． 13.(1) ＝×(77＋79＋81＋3×84＋2×88＋92＋93)＝85， s2＝×[(77－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋3×(84－85)2＋2×(88－85)2＋(92－85)2＋(93－85)2]＝25. (2) 由(1)可得s＝5， 所以－s＝85－5＝80，＋s＝85＋5＝90， 所以10名退休职工问卷得分在－s与＋s之间有6人，占10名退休职工的百分比为60%. 学科网（北京）股份有限公司 $