13.2.3第2课时 直线与平面垂直分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

13.2.3　直线与平面的位置关系 第2课时　直线与平面垂直 A层 基础达标练 1.设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则下列说法中正确的是(　　) A.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α B.若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l∥m C.若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l⊥n D.若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α 2.过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC,若PA=PB=PC,则点O是△ABC的(　　) A.垂心 B.外心 C.内心 D.重心 3.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC的形状为(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 4.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° (第4题图) 5.如图,线段AB,BD在平面α内,BD⊥AB,AC⊥α,且AC=4BD=3AB=12,则C,D两点间的距离为　　　　　.  (第5题图) 6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,则四个侧面中,有　　　　个直角三角形.  (第6题图) 7.若四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,且侧棱与底面垂直,直线AC1与底面ABCD所成角的大小是60°,则A1C1到底面ABCD的距离为　　　　.  8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BC的中点,AB=1,AD=2,AA1=. (1)证明:DE⊥平面A1AE; (2)求点A到平面A1ED的距离. B层 能力提升练 9. 如图,点A∈α,点B∈α,点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A,B的动点,且PC⊥AC,则动点C在平面α内的轨迹是(　　) A.一条线段,但要去掉两个点 B.一个圆,但要去掉两个点 C.两条平行直线 D.半圆,但要去掉两个点 10.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC=90°,则PA与底面ABC所成角的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 11.(多选题)给出下列条件(l为直线,α为平面),其中能够推出l⊥α的有(　　) A.l垂直于α内一五边形的两条边 B.l垂直于α内三条不都平行的直线 C.l垂直于α内无数条直线 D.l垂直于α内正六边形的三条边 12. (多选题)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,则下列结论中正确的有(　　) A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC 13.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为BA1的中点,正确的是(　　) A.直线EC1与直线AD是异面直线 B.在直线A1C1上存在点F,使EF⊥平面A1CD C.直线BA1与平面A1CD所成角是 D.点B到平面A1CD的距离是 (第13题图) 14.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,点E是侧棱BB1上的一个动点,则AE+EC1的最小值为　　　　,直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为　　　　.  (第14题图) 15. 中国古代数学名著《九章算术·商功》中,阐述:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一.”若称为“阳马”的某四棱锥如图所示,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,AB=4,则PA与BC所成角的大小为　　　　,PB与平面PDC所成角的正弦值为　　　　.  16.如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB. (1)求证:直线BD⊥平面PAC; (2)求直线PB与平面PAC所成角的大小. 参考答案 1.D　对于A,由m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,得只有直线m与n相交时,可得l⊥α,故A错误; 对于B,由m⊂α,n⊥α,l⊥n,得l与m平行、相交或异面,故B错误; 对于C,由l∥m,m⊥α,n⊥α,得l∥n,故C错误; 对于D,由l∥m,l⊥α,得m⊥α.又因为m∥n,所以n⊥α,故选D. 2.B　因为PO⊥α,PA=PB=PC,可由射影定理得OA=OB=OC,即点O是△ABC的外心. 3.B　因为PB⊥α,AC⊂α,所以PB⊥AC.又PC⊥AC,PC∩PB=P,所以AC⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC.故选B. 4.A　取AC的中点D,连接BD,C1D(图略),∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BD⊥平面ACC1A1,∴∠BC1D就是BC1与侧面ACC1A1所成的角,又C1D⊂平面ACC1A1,∴BD⊥DC1,sin∠BC1D=,又∠BC1D为锐角,∴∠BC1D=30°.故选A. 5.13　如图,连接AD.因为BD⊥AB,所以AD==5.又因为AC⊥α,AD⊂α,所以AC⊥AD,所以CD==13. 6.4　因为PA⊥平面ABCD,AB,AD,BC,CD在平面ABCD内,所以PA⊥AB,PA⊥AD,三角形PAB,三角形PAD为直角三角形; 又PA⊥BC,PA⊥CD, 底面ABCD是矩形,所以BC⊥AB,CD⊥AD. 因为PA∩AB=A,PA∩AD=A, 所以BC⊥平面PAB,CD⊥平面PAD, 又PB⊂平面PAB,PD⊂平面PAD, 所以BC⊥PB,CD⊥PD,三角形PBC,三角形PDC为直角三角形, 所以四个侧面中有四个直角三角形.故答案为4. 7　如图,连接AC, 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,则AD=DC=1,所以AC=AD=, 又C1C⊥底面ABCD,则直线AC1与底面ABCD所成角,即∠C1AC=60°, 则C1C=AC·tan 60°=, 则在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∥平面ABCD,故A1C1到底面ABCD的距离,即C1到底面ABCD的距离C1C=故答案为 8. (1)证明 如图,∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,DE⊂平面ABCD,∴A1A⊥DE,又E为线段BC的中点,由题意可知AE2=AB2+BE2=2,DE2=DC2+EC2=2,则AD2=4=AE2+DE2,∴AE⊥DE,又A1A∩AE=A,A1A,AE⊂平面A1AE,∴DE⊥平面A1AE. (2)解 过A作AM⊥A1E,交A1E于M,由(1)知,DE⊥平面A1AE,∵AM⊂平面A1AE,∴DE⊥AM,又A1E∩DE=E, ∴AM⊥平面A1ED,即AM就是点A到平面A1ED的距离. ∵在△AA1E中,AE=,AA1=,A1E=2,且AE⊥AA1,∴由题意可知AE·AA1=AM·A1E,则AM=1.∴点A到平面A1ED的距离为1. 9.B　连接BC(图略).因为点A∈α,点C∈α,所以AC⊂α.因为PB⊥α,所以PB⊥AC.又因为PC⊥AC,PB∩PC=P,PB,PC⊂平面PBC,所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以动点C在以AB为直径的圆上,但不与点A,B重合. 10.C　 如图,∵PA=PB=PC,∴P在底面的射影O是△ABC的外心.又∠BAC=90°, ∴O在BC上且为BC的中点, ∴AO为PA在底面的射影,∠PAO即为所求的角.在等边三角形PBC中,PO=PB=PA,∴sin∠PAO= 又∠PAO为锐角,∴∠PAO=60°.故选C. 11.BD　如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.A,C都有可能垂直的是平行直线,不能推出l⊥α.故选BD. 12.ABC　因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,故A正确; 因为BC⊥平面PAB,AD⊂平面PAB,所以BC⊥AD.又PA=AB,D是PB的中点,所以AD⊥PB.因为PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,所以AD⊥平面PBC.因为PC⊂平面PBC,所以AD⊥PC,故B,C正确; 由BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,得BC⊥PB,因此PB与CD不垂直,从而PB不与平面ADC垂直,故D错误. 故选ABC. 13.BCD　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AE∥C1D,所以直线EC1与直线AD是共面的,故A错误; 若F是A1C1中点时,EF∥BC1, 因为BC1∥AD1,AD1⊥A1D,所以BC1⊥A1D, 又CD⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以CD⊥BC1, 又A1D∩CD=D,A1D,CD⊂平面A1CD, 所以BC1⊥平面A1CD, 所以此时EF⊥平面A1CD,故B正确; 连接BC1,B1C交于点G,连接A1G(图略), 则∠BA1G就是直线BA1与平面A1CD所成的角, 求得sin∠BA1G=,所以∠BA1G=,所以C正确; 可得BG即为点B到平面A1CD的距离,求得BG=,所以D正确.故选BCD. 14.2　将矩形BB1C1C沿BB1翻折到与矩形ABB1A1在同一个平面,如图, 则AE+EC1≥AC1==2 ∵BB1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC, ∴AB⊥BB1, ∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC, 又∵BB1∩BC=B, ∴AB⊥平面BB1C1C,则∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成角. ∵sin∠AC1B=, ∴直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为 15.45°　　∵底面ABCD为矩形,∴AD∥BC,可得PA与BC所成的角等于PA与AD所成的角.∵PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥PD,即∠PDA=90°, 又∵PD=AD,∴∠PAD=45°; ∵PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC,∵在矩形ABCD中,BC⊥CD,又∵CD∩PD=D,∴BC⊥平面PDC,则PB与平面PDC所成角为∠BPC,∴sin∠BPC= 16.(1)证明 在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA. 因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC. 又AC∩PA=A,且AC,PA⊂平面PAC, 所以直线BD⊥平面PAC. (2)解 如图,设AC与BD交于点O,连接PO. 由(1)知,直线BD⊥平面PAC,则∠BPO是直线PB与平面PAC所成的角, 显然BO=BD=AB, 因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥PA. 又PA=AB, 所以PB=AB=2BO, 所以sin∠BPO=,即∠BPO=, 所以直线PB与平面PAC所成角的大小为 1 学科网（北京）股份有限公司 $