13.1.3 直观图的斜二测画法 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

13.1.3　直观图的斜二测画法 [课时跟踪检测] 1.根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为 (　　) A.90°，90° B.45°，90° C.135°，90° D.45°或135°，90° 解析：选D　根据斜二测画法的规则，∠x'O'y'的度数应为45°或135°，∠x'O'z'指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°. 2.已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 (　　) A.4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B.4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm C.4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D.4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm 解析：选C　由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm， 斜二测画法画直观图的步骤： 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中平行于x'轴，保持长度不变； 已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中平行于y'轴，长度变为原来的一半； 已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中平行于z'轴，保持长度不变. 所以该建筑物按1∶500的比例画出它的直观图的相应尺寸分别为4 cm，0.5 cm，2 cm和1.6 cm.故选C. 3.如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是 (　　) A.AB B.AD C.BC D.AC 解析：选D　还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.故选D. 4.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.水平放置的角的直观图一定是角 B.相等的角在直观图中仍然相等 C.相等的线段在直观图中仍然相等 D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 解析：选AD　水平放置的平面图形不会改变形状，A正确；正方形的直观图为平行四边形，角度不一定相等，B错；因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，所以C错；平行性不会改变，所以D正确.故选AD. 5.如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'=O'A'=2O'B'，则△ABC是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上选项都不对 解析：选C　根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，AC⊥OB.因为O'C'=O'A'=2O'B'，所以CO=AO=OB=AC，则△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，如图所示，故选C. 6.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下述结论正确的是 (　　) A.梯形的直观图仍旧是梯形 B.若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形，那么△ABC的面积为 C.△ABC的直观图如图所示，A'B'在x'轴上，且A'B'=2，B'C'与x'轴垂直，且B'C'=，则△ABC的面积为4 D.菱形的直观图可以是正方形 解析：选AC　由于斜二测画法平行关系不变，故梯形的直观图仍旧是梯形，故A正确； 直观图面积为×4=，根据直观图与原图面积关系可得=S，解得S=2，故B错误； 直观图中S△A'B'C'=×2×=，则△ABC的面积S==4，故C正确；由于平行于y轴的线段长度减半，故菱形的直观图一定是邻边不等的平行四边形，故D错误.故选AC. 7.(多选)已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=2，用斜二测画法画出它的直观图△A'B'C'，则B'C'的长可能是 (　　) A.2 B.2 C. D. 解析：选AC　以B'C'为x'轴，画出直观图，如图1，此时B'C'=BC==2，A正确； 以B'C'为y'轴，则此时B'C'=BC=，则B'C'的长度范围是[，2]， 若以A'B'或A'C'为x'轴，画出直观图，如图2，以A'B'为x'轴，则A'B'=2，A'C'=1，此时过点C'作C'D⊥x'轴于点D，又∠C'A'B'=45°， 则A'D=C'D=，B'D=2-， 由勾股定理得B'C'==，C正确.故选AC. 8.(5分)斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中对应的点为M'，则M'的坐标为　　　　.  解析：在坐标系x'O'y'中，过点(4，0)和y'轴平行的直线与过点(0，2)和x'轴平行的直线交点即是点M'，所以M'为(4，2). 答案：(4，2) 9.(5分)在直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为 2 cm，则在平面直角坐标系xOy中原四边形OABC为　　　　　(填形状)，面积为　　　cm2.  解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA=2 cm，OC=4 cm，所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2). 答案：矩形　8 10.(5分)如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A'O'B'，则△AOB的周长是　　　　.  解析：根据直观图画出原图如图所示，根据原图和直观图的关系可知，OB=4，OD=BD=2，AD=8，所以OA=AB==2.所以△AOB的周长是4+2×2=4+4. 答案：4+4 11.(5分)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B'C'=4，A'C'=3，则△ABC中AB边上的中线的长度为　　　　.  解析：把直观图还原成平面图形(如图所示)，得△ABC为直角三角形，且两条直角边的长AC=3，BC=8，由勾股定理可得AB=，故△ABC中AB边上的中线长为. 答案： 12.(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).试画出四边形ABCD的直观图. 解：(1)画轴.如图1，建立坐标系x'O'y'，其中∠x'O'y'=45°. (2)描点.在原图中作AE⊥x轴于点E，垂足为E(1，0)，在x'轴上截取O'E'=OE，作A'E'∥y'轴，截取A'E'=AE=1.5.同理确定点B'，C'，D'，其中B'G'=0.5，C'H'=3，D'F'=2.5. (3)连线.连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'. (4)成图.如图2，四边形A'B'C'D'即为四边形ABCD的直观图. 13.(10分)一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图. 解：(1)画轴.如图1所示，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画圆柱的两底面.在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O'，使OO'=4 cm，过O'作Ox的平行线O'x'，Oy的平行线O'y'，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面. (3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO'等于圆锥的高3 cm. (4)成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，整理得到此几何体的直观图.如图2所示. 14.(10分)如图，△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形. 解：(1)画出平面直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA=O'A'，即CA=C'A'； (2)过B'作B'D'∥y'轴，交x'轴于点D'，如图①所示； (3)在OA上取OD=O'D'，过D作DB∥y轴，且使DB=2D'B'，连接AB，BC，得△ABC. 则△ABC即为△A'B'C'对应的平面图形，如图②所示. 15.(10分)如图所示的图形是从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体ABCD-A1B1C1D1的直观图中分离出来的. (1)求直观图中△A1C1D1的面积；(5分) (2)如果用图示中这样一个装置来盛水，那么盛满水后，水的形状可以抽象出一个什么几何体?(5分) 解：(1)由题意可知，A1D1=，D1C1=a，∠A1D1C1=135°，所以=A1D1·D1C1·sin∠A1D1C1=××a×=a2. (2)水的形状可以抽象出一个三棱锥，如图所示. 学科网（北京）股份有限公司 $