13.1.3 直观图的斜二测画法 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

13.1.3 直观图的斜二测画法 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2025镇江中学期中)水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则边AB上的中线的实际长度为(　　) A.4 B. C.2 D.5 2 (2024芜湖期中)已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形ABCDE(如图1)的直观图，即五边形 A′B′C′D′E′，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法正确的可能为(　　) 图1 图2 A.A′，B′，P′ B.B′，P′，C′ C.P′，C′，D′ D.D′，E′，A′ 3 (2025宁波期中)如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′B′＝2，B′C′＝1，则四边形ABCD的面积为(　　) A.4 B.4 C.8 D.8 4 (2025吴江中学月考)如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′为矩形，且A′D′＝2A′B′＝2，则原平面图形的周长为(　　) A.3　 B.8 C.14 D.2＋2 5 (2025安徽期中)一水平放置的平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′A′＝O′C′＝2，A′B′∥O′C′，O′C′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则在原图中BC的长为(　　) A.2 B.4 C.4 D.8 (第5题)　 (第6题) 6 (2025邢台期中)如图，已知△ABC用斜二测画法得到的水平放置的直观图为△A′B′C′，若△A′B′C′是周长为6的正三角形，则△ABC的面积为(　　) A.2 B.4 C.2 D.2 二、多项选择题 7 (2025徐州期中)下列关于直观图的斜二测画法的说法中，正确的是(　　) A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变 B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的 C.画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45° D.在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 8 (2025武汉期中)如图，△A′B′C′是△ABC的斜二测画法的直观图，A′B′＝2，A′C′＝B′C′＝，则在原平面图形△ABC中，下列结论中正确的是(　　) A.AB＝2 B.BC＝ C.AC＝BC D.S△ABC＝4 三、填空题 9 如图，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B 的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________． (第9题)　 　(第10题) 10 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴，已知四边形ABCD的面积为 6 cm2，则原四边形的面积为________cm2. 11 (2025无锡期中)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的面积为________． 四、解答题 12 如图，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图，其中A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1. (1) 如何利用斜二测画法画出原四边形？ (2) 在(1)中，如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积？ 13 已知一棱柱的底面是边长为3 cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为 4 cm，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图． 参 考 答 案 1.D　由题意，得△ABC的实际图形是直角三角形，两条直角边长分别是6和8，斜边AB的长为10，边AB上的中线的实际长度为5. 2.C　用斜二测画法画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则CD，PQ长度不变， 平行或与 y轴重合的线段长度减半，则OA减半，线段PB，PC，QE，QD对应线段也会缩小，如图，所以点P，C，D，Q的对应点P′，C′，D′，Q′可能画对了，点A，B，E的对应点A′，B′，E′画错了． 3.A　由斜二测画法，得原四边形的高为2A′D′＝2B′C′＝2，AB＝A′B′＝2，所以四边形ABCD的面积为2×2＝4. 4.C　如图为直观图还原的原平面图形．由四边形A′B′C′D′为矩形，得A′D′⊥O′A′，且∠A′O′D′＝45°，即△A′O′D′为等腰直角三角形，则OA＝O′A′＝A′D′＝2，O′D′＝A′D′＝2.在原图形中，OD＝2O′D′＝4，AD＝＝＝6.因为A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′，所以在原图形中，AB∥CD，AB＝CD，即四边形ABCD为平行四边形，所以BC＝AD＝6，CD＝AB＝A′B′＝1，所以原平面图形的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝1＋6＋1＋6＝14. 5.B　记A′B′与y′轴的交点为D.因为A′B′∥O′C′，所以O′C′∥B′D.又B′C′∥y′轴，所以四边形O′DB′C′为平行四边形，所以B′C′＝O′D.由题意，得∠A′O′D＝，因为O′C′⊥x′轴，A′B′∥O′C′，所以A′B′⊥x′轴．又O′A′＝2，所以A′D＝2，所以B′C′＝O′D＝＝2，所以BC＝2B′C′＝4. 6.D　因为＝，所以O′A′＝＝＝，所以△ABC的面积为S＝BC·OA＝B′C′·2O′A′＝×2×2＝2. 7.ABD　对于A，由直观图的斜二测画法可知原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变，故A正确；对于B，由直观图的斜二测画法可知原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的，故B正确；对于C，由直观图的斜二测画法可知画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′为45°或135°，故C错误；对于D，由直观图的斜二测画法可知在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同，故D正确．故选ABD. 8.ABD　如图1，在△A′B′C′中，过点C′作C′D′⊥A′B′，交A′B′于点D′.因为A′B′＝2，A′C′＝B′C′＝，所以A′D′＝1，C′D′＝＝2.又∠C′O′D′＝45°，所以O′D′＝2，O′A′＝1，O′C′＝2.利用斜二测画法将直观图△A′B′C′还原为原平面图形△ABC，如图2.由斜二测画法可得OC＝2O′C′＝4，OA＝O′A′＝1，AB＝A′B′＝2，所以AC＝＝，BC＝＝，所以S△ABC＝AB·OC＝4.故选ABD. 图1 图2 9.　如图，B′C′＝BC＝1，所以点B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝. 10.12　由题意，得∠BAD＝45°，原四边形为一个直角梯形，且上、下底的边长分别和BC，AD相等，高为AB的2倍，即为四边形ABCD的高的2倍，则原四边形的面积是四边形ABCD面积的2倍，故原平面图形的面积为6×2＝12(cm2). 11.8　由题意，得O′D′＝A′D′＝2，∠A′O′D′＝45°，所以O′A′＝2，还原直观图可得原平面图形，如图，则OD＝2O′D′＝4，OA＝O′A′＝2，AB＝DC＝2，所以原平面图形的面积为S＝AB·OD＝2×4＝8. 12.(1) 如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2. 在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到原四边形． (2) 由(1)可知，原四边形ABCD是直角梯形，且AB＝2，CD＝3，AD＝2， 所以其面积为S＝×2＝5. 易得直观图中梯形的高为， 所以直观图的面积为S′＝×(2＋3)×＝. 13.①画轴．画出x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°； ②画底面．以O为中点，在x轴上截取MN＝3 cm，在y轴上截取PQ＝ cm，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面； ③画侧棱．过点A，B，C，D分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′，如图1所示； ④成图.连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该棱柱的直观图，如图2所示． 图1 图2 学科网（北京）股份有限公司 $