13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

13.1.2　圆柱、圆锥、圆台和球 [课时跟踪检测] 1.关于下列几何体，说法正确的是 (　　) A.图①是圆柱 B.图②和图③是圆锥 C.图④和图⑤是圆台 D.图⑤是圆台 解析：选D　图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台.图②与图③中几何体过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥.图⑤是圆台. 2.一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24，则球心到直线的距离为 (　　) A.13 B.12 C.5 D.24 解析：选C　如图所示，所求距离d==5. 3.直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成 (　　) A.平面 B.曲线 C.直线 D.锥面 解析：选D　如图，当两条相交直线(不垂直)中一条围绕另一条转动时，形成的曲线叫锥面.故选D. 4.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括 (　　) A.一个圆台、两个圆锥 B.一个圆台、一个圆柱 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 解析：选D　设等腰梯形ABCD较长的底边为CD，则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，轴截面如图，故选D. 5.用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为 (　　) A.8 B. C. D. 解析：选B　当圆柱的高为4时，设圆柱的底面半径为r，则2πr=2，则r=，则圆柱轴截面面积为2rh=2××4=；当圆柱的高为2时，设圆柱的底面半径为r，则2πr=4，则r=，则圆柱轴截面面积为2rh=2××2=.综上所述，圆柱的轴截面面积为，故选B. 6.(多选)如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕直线l旋转180°后形成一个组合体，下面说法正确的是 (　　) A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B.该组合体仍然关于直线l对称 C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D.该组合体中的球和半球只有一个公共点 解析：选BCD　将题中图形绕直线l旋转180°后形成一个组合体，该组合体是由圆台、圆柱、圆锥、球和半球组成的，故A中说法不正确，易知B、C、D中说法均正确. 7.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，则这个球的半径是 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析：选B　如图所示，设球的半径为R，两截面圆O1，O2的半径分别为r1，r2，则π=5π，π=8π，解得r1=，r2=2. 又O1O2=1，设OO2=x，x>0，则OO1=x+1.在Rt△OO1A中，由勾股定理可得OA2=O+O1A2，即R2=(x+1)2+5，在Rt△OO2B中，由勾股定理可得OB2=O+O2B2，即R2=x2+8，所以有(x+1)2+5=x2+8，解得x=1.所以R2=9，R=3.故选B. 8.如图，在一根长11 cm，外圆周长6 cm的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为 (　　) A.61 cm B. cm C. cm D. cm 解析：选A　由圆柱形柱体的高为11 cm，外圆周长为6 cm，铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点恰好落在圆柱的同一母线的两端，我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如图所示，其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长6 cm，高为圆柱的高11 cm，所以大矩形的对角线即为铁丝长度的最小值.此时铁丝长度的最小值为=61 cm. 9.如图，设地球的半径为R，在北纬45°圈上有两个点A，B.A在西经40°，B在东经50°，则A，B两点间的球面距离为 (　　) A.πR B.R C.πR D.πR 解析：选A　如图，取球心为O，取北纬45°纬线圈的圆心为O1，连接O1A，O1B，O1O，OA，OB，则AO=R，∠OAO1=45°，所以AO1=.因为在北纬45°圈上有两个点A，B，A在西经40°，B在东经50°，所以∠AO1B=90°，在Rt△AO1B中，AB===R， 所以△AOB为等边三角形，则∠AOB=.所以A，B两点间的球面距离为πR. 10.(5分)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为　　　　.  解析：如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC=AC2=，∴AC=2. 答案：2 11.(5分)碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如右栏图，近似圆柱形的碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动.若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为　　　　　.  解析：由题意，推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，因为圆的周长为C=2πr，所以圆盘与碌碡的半径之比为3∶1，所以圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为3∶2，所以该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为1∶3. 答案：1∶3 12.(10分)如图所示，四边形ABCD绕边AD所在直线EF旋转，其中AD∥BC，AD⊥CD.当点A在射线DE上的位置不同时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点. 解：当AD>BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是由底面半径均为CD的圆柱和圆锥拼接而成的组合体，如图1； 当AD=BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是圆柱，如图2； 当AD<BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是由圆柱挖去一个同底的圆锥而得到的，如图3. 13.(10分)一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱. (1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(5分) (2)当x为何值时，S最大?(5分) 解：(1)如图， 设圆柱的底面半径为r cm，则由=，得r=， ∴S=-x2+4x(0<x<6). (2)由S=-x2+4x=-(x-3)2+6，∴当x=3时，Smax=6 cm2. 14.(10分)已知正方体内接于圆锥，如图所示. (1)试说明此几何体的结构特征；(4分) (2)若圆锥的高为40 cm，底面半径为30 cm，求正方体的棱长.(6分) 解：(1)该几何体是一个正方体内接于一个圆锥，其中正方体上底面的面对角线的端点在圆锥的母线上，下底面位于圆锥的底面. (2)画出几何体的轴截面如图所示，其中ED为正方体的面对角线，设正方体的棱长为a，则ED=FG=a，DG=EF=a.依题意得AH=40，HC=HB=30，且tan C==，即=，解得a=120(3-2).故正方体的棱长为120(3-2)cm. 学科网（北京）股份有限公司 $