12.2 第2课时 复数的乘方与除法运算 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

2.2 第2课时 复数的乘方与除法运算 [课时跟踪检测]　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.已知i是虚数单位，则等于 (　　) A.-i B.+i C.+i D.-i 解析：选B　===+i. 2.(2024·新课标Ⅰ卷)若=1+i，则z= (　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 解析：选C　因为==1+=1+i，所以z=1+=1-i.故选C. 3.复数z=，则ω=z2+z4+z6+z8+z10的值为 (　　) A.1 B.-1 C.i D.-i 解析：选B　因为z2==-1，所以ω=-1+1-1+1-1=-1. 4.(2025·北京高考)已知复数z满足i·z+2=2i，则|z|= (　　) A. B.2 C.4 D.8 解析：选B　由i·z+2=2i，得z==2+2i，所以|z|==2. 5.已知a∈R，i为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：选C　∵==-i为纯虚数，∴=0且≠0，解得a=1. 6.已知复数z=1-i，则= (　　) A.2i B.-2i C.2 D.-2 解析：选B　法一　因为z=1-i， 所以===-2i. 法二　由已知得z-1=-i， 从而====-2i. 7.(多选)下列是关于复数z=(i为虚数单位)的命题，其中真命题为 (　　) A.z的实部为1 B.z2=2i C.z的共轭复数为1+i D.z的虚部为-1 解析：选BD　因为z===-1-i，所以z的实部为-1，故A是假命题;z2=2i，B是真命题;z的共轭复数为-1+i，C是假命题;z的虚部为-1，D是真命题.故选BD. 8.已知复数z=是z的共轭复数，则z·等于 (　　) A. B. C.1 D.2 解析：选A　∵z======-+， ∴=--，∴z·=. 9.(多选)已知集合M={m|m=in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是 (　　) A.(1-i)(1+i) B. C. D.(1-i)2 解析：选BC　M={m|m=in，n∈N}中， n=4k(k∈N)时，in=1;n=4k+1(k∈N)时，in=i; n=4k+2(k∈N)时，in=-1;n=4k+3(k∈N)时，in=-i，∴M={-1，1，i，-i}. 选项A中，(1-i)(1+i)=2∉M;选项B中，==-i∈M;选项C中，==i∈M;选项D中，(1-i)2=-2i∉M.故选BC. 10.(5分)(1+i)20-(1-i)20的值等于　　　　.  解析：因为(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0. 答案：0 11.(5分)(2024·上海高考)已知虚数z，其实部为1，且z+=m(m∈R)，则实数m为　　　　.  解析：法一　设z=1+bi(b∈R且b≠0)，则z+=1+bi+=1+bi+=1++i.因为m∈R，所以b-=0，得b2=1，所以m=1+=2. 法二　由z+=m得z2-mz+2=0，解得z=，依题意得=1，解得m=2. 答案：2 12.(5分)计算：+(1-i)2 020=　　　　.  解析：因为1-=1+=1+i，且(1±i)2=±2i， 所以+(1-i)2 020 =[(1+i)2]1 010+[(1-i)2]1 010 =(2i)1 010+(-2i)1 010=21 010·i2+21 010·i2 =-21 011. 答案：-21 011 13.(10分)已知ω=-+i(i为虚数单位). (1)求(ω+2ω2)2+(2ω+ω2)2的值;(4分) (2)求ω2+的值;(3分) (3)类比i(i2=-1)，探讨ω(ω为虚数)的性质，求ωn(n∈Z)的值.(3分) 解：(1)∵ω=-+i， ∴ω2=--i=，ω3=1，ω2+ω+1=0， ∴(ω+2ω2)2+(2ω+ω2)2=ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4=5ω2(ω2+ω+1)+3ω3=3. (2)由(1)知ω2+ω=-1，∴ω2+===ω2+ω=-1. (3)由(1)可知ω2=--i=，ω3=1， ∴ωn= 14.(10分)已知方程x2-kx+100=0，k∈C. (1)若1+i是方程的一个根，求k的值;(5分) (2)若k∈N*，求满足方程的所有虚数的和.(5分) 解：(1)设k=a+bi(a，b∈R)， ∵1+i是方程x2-kx+100=0的一个根， ∴(1+i)2-(a+bi)(1+i)+100=0， ∴b-a+100+(2-a-b)i=0， ∴解得 ∴k=51-49i. (2)∵方程x2-kx+100=0有虚根， ∴Δ=k2-4×100<0，解得-20<k<20. ∵k∈N*，∴k=1，2，3，…，19， 又∵虚根是成对出现的， ∴所有的虚根之和为1+2+…+19=190. ∴满足方程的所有虚数的和为190. 学科网（北京）股份有限公司 $