12.2 复数的运算 同步课时练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 这份复数运算同步练习通过三级分层设计，实现从基础运算到综合应用再到拓展探究的知识巩固路径，培养数学运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|复数加减乘除运算、纯虚数概念|基础选择题为主，直接考查定义与基本运算，如复数加法求参数| |B级|共轭复数、复数方程、新定义运算|结合方程根问题与实际情境，如实系数方程虚根应用，提升推理能力| |C级|复数高次幂、综合应用探究|多选题与开放题结合，如方程根的性质探究，发展创新意识|

12.2　复数的运算 A级 基础达标练 1.设z1=2+bi(b∈R),z2=a+i(a∈R),当z1+z2=0时,复数a+bi=(　　) A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i 2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为(　　) A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4 C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4 3.设M=i+i2+i3+i4,N=i·i2·i3·i4,i为虚数单位,则M与N的关系是(　　) A.M+N=0 B.M<N C.M>N D.M=N 4.复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)的积是纯虚数,则(　　) A.ac+bd≠0且ad+bc=0 B.ac+bd=0或ad+bc≠0 C.ac-bd=0且ad+bc≠0 D.ac-bd=0或ad+bc=0 5.(2025新海月考)复数z满足z(1+2i)=3-4i(其中i为虚数单位),则z的虚部是(　　) A.2i B.-2i C.2 D.-2 6.(2025新高考Ⅰ)已知z=,则z-=(　　) A.-i B.i C.0 D.1 7.计算: (1); (2); (3). B级 能力提升练 8.若复数z=为纯虚数(a∈R,i为虚数单位),则复数z+1+i的虚部为(　　) A.2i B.2 C.3i D.3 9.二次方程x2-2xi-5=0的根的情况是(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有一个实数根,一个虚数根 C.有一对共轭虚数根 D.有两个虚数根 10.(2025无锡期末)复数z满足z-2,则的虚部为(　　) A.i B.-i C. D.- 11.(2025衡水检测)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z=(　　) A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i 12.如果z=,那么z100+z50+1=　　　　.  13.已知f(z+i)=3z-2i,则f(i)=　　　　　.  14.关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实数根,则实数a的值等于　　　　.  15.(2025南京质检)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1,其中是ω2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3,有如下四个命题: ①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3); ②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3); ③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3); ④z1*z2=z2*z1. 则真命题的序号是　　　　.  16.已知z1,z2是实系数一元二次方程的两个虚数根,且z1,z2满足方程2z1+(1-i)z2=3+5i. (1)求z1和z2. (2)写出一个以z1和z2为根的实系数一元二次方程. C级 拓展探究练 17.(多选题)“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的,当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数,也不能解决代数方程的求解问题,像x2+1=0这样最简单的二次方程,在实数范围内没有解.引进虚数概念以后,代数方程的求解问题才得以解决.设t是方程x2+x+1=0的根,则(　　) A.t3=1 B.t+=-1 C.-t是该方程的根 D.t2 021是该方程的根 18.已知a,b∈R,且b≠0,复数z=a+bi(i为虚数单位)满足z+∈R. (1)求|z|; (2)若关于x的方程zx2+x+2=0有实根,求z的所有可能值. 参考答案 1.D　因为z1+z2=(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,a,b∈R,所以于是故a+bi=-2-i. 2.A　由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,a,b∈R,故解得a=-3,b=-4. 3.C　M=i-1-i+1=0,N=i·(-1)·(-i)·1=-1,所以M>N.故选C. 4.C　(a+bi)·(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i, 又复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)的积是纯虚数, 则故选C. 5.D　因为z(1+2i)=3-4i,所以z==-1-2i,所以复数z的虚部为-2.故选D. 6.A　因为z==-i,所以i,即z-=-i.故选A. 7.解 (1)原式==1-i. (2)原式==0. (3)∵=i,=-1,=0, ∴原式=i+(-1)505×+0=i-=i+i=2i. 8.B　∵为纯虚数,∴=0且≠0,解得a=1,∴z=i,∴z+1+i=1+2i,其虚部为2.故选B. 9.D　设方程的根为x=a+bi,(a∈R,b∈R),则有(a+bi)2-2(a+bi)i-5=0, 即a2-b2+2abi-2ai+2b-5=0,即解得所以方程的根为x=2+i或x=-2+i.故选D. 10.D　根据题意,设z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则=a-bi, 所以z-2=-a+3bi=(1+i)=-2+2i, 所以a=2,3b=2,即a=2,b=, 所以=2-i,其虚部为-.故选D. 11.C　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入2(z+)+3(z-)=4+6i,可得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i. 12.i　因为z=,故z=(1+i),所以z2=(1+i)2=i,故z100=(i2)25=-1,z50=(i2)12·i=i,故z100+z50+1=i.故答案为i. 13.-2i　设z=a+bi(a,b∈R),则f[a+(b+1)i]=3(a+bi)-2i=3a+(3b-2)i,令a=0,b=0,则f(i)=-2i. 14.11或-　设方程的实数根为x=m,则原方程可变为3m2-m-1=(10-m-2m2)i,所以解得a=11或-. 15.①②　由题意(z1+z2)*z3=(z1+z2)=z1+z2=(z1*z3)+(z2*z3),故①正确; z1*(z2+z3)=z1=z1()=z1+z1=(z1*z2)+(z1*z3),故②正确; (z1*z2)*z3=(z1*z2)=z1,z1*(z2*z3)=z1*(z2)=z1=z1z3,故③不正确; z1*z2=z1,z2*z1=z2,故④不正确. 16.解 (1)因为z1,z2是实系数一元二次方程的两个虚数根, 则z1,z2互为共轭复数, 设z1=a+bi,z2=a-bi, 代入2z1+(1-i)z2=3+5i中, 得2a+2bi+(1-i)(a-bi)=3+5i, 整理得3a-b+(b-a)i=3+5i, ∴解得 ∴z1=4+9i,z2=4-9i. (2)∵z1+z2=4+9i+4-9i=8;z1·z2=(4+9i)(4-9i)=97, ∴以z1和z2为根的实系数一元二次方程可以为x2-8x+97=0. 17.ABD　对于A选项,由于t是方程的根,则t2+t+1=0, 而t3-1=(t-1)(t2+t+1)=0,故t3=1,选项A正确; 对于B选项,由虚根成对定理可知,也是方程x2+x+1=0的根,故t+=-1,选项B正确; 对于C,t≠0且t2-t+1≠0,故-t不是该方程的根,选项C错误; 对于D,t2 021=(t3)673·t2=t2,而t2=,代入方程得,+1==0, ∴是该方程的根,即t2 021是该方程的根,选项D正确. 故选ABD. 18.解 (1)z+=a+bi+=a+bi+= i,因为z+∈R,所以b-=0, 又b≠0,所以a2+b2=2,即|z|=. (2)因为zx2+x+2=0,|z|=,所以zx2+x+2=0, 设实根为x,则(a+bi)x2+(a-bi)x+2=0, 所以ax2+ax+2+(bx2-bx)i=0,所以 因为b≠0,所以x=0或x=1. 若x=0,则ax2+ax+2=2=0无实数解,舍去; 若x=1,则ax2+ax+2=2a+2=0,所以a=-1. 又由(1)知a2+b2=2,所以b=±1, 所以z=-1+i或z=-1-i. 学科网（北京）股份有限公司 $