10.1.3 两角和与差的正切 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

10.1.3　两角和与差的正切 [课时跟踪检测] 1.tan 255°等于 (　　) A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ 解析:选D　tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)===2+. 2.的值等于 (　　) A.tan 42° B.tan 3° C.1 D.tan 24° 解析:选A　∵tan 60°=，∴原式==tan(60°-18°)=tan 42°. 3.已知2tan θ-tan=7，则tan θ= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:选D　由已知得2tan θ-=7，解得tan θ=2. 4.(多选)已知tan α=4，tan β=-，则 (　　) A.tan(-α)tan β=1 B.α为锐角 C.tan= D.tan 2α=tan 2β 解析:选ACD　∵tan α=4，tan β=-，∴tan(-α)tan β=-tan αtan β=1，故A正确;∵tan α=4>0，∴α为第一象限角或第三象限角，故B错误;∵tan β=-，∴tan==，故C正确;∵tan α=4，tan β=-，∴tan 2α===-，tan 2β==-，故D正确. 5.时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6，相应的时针转过角度为α，则tan α的值为 (　　) A.-2+ B.-+1 C.- D.- 解析:选A　时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6，用时小时，而时钟的时针顺时针旋转1小时，转过的角度为-，因此α=-，tan α=tan===-2+. 6.已知tan 110°=a，求tan 50°的值(用a表示)，王老师得到的结果是，叶老师得到的结果是，对此你的判断是 (　　) A.王老师对、叶老师错 　　B.两人都对 C.叶老师对、王老师错 　　D.两人都错 解析:选B　∵tan 50°=tan(110°-60°)=，所以王老师正确.∵tan 110°=tan(90°+20°)==-=a，∴tan 50°===，所以叶老师正确. 7.(5分)=　　　　.  解析:== =tan(15°-45°) =tan(-30°)=-. 答案:- 8.(5分)若tan 28°·tan 32°=m，则tan 28°+tan 32°=　　　　　.  解析:∵28°+32°=60°，∴tan 60°=tan(28°+32°)==.∴tan 28°+tan 32°=(1-m). 答案:(1-m) 9.(5分)已知tan(α+β)=7，tan α=，且β∈(0，π)，则β的值为　　　　.  解析:由已知得tan β=tan[(α+β)-α]===1，∵β∈(0，π)，∴β=. 答案: 10.(5分)《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题:“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何?”其意思为今有直角三角形ABC，勾AC(短直角边)长3步，股BC(长直角边)长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形CDEF(D，E，F分别在边CB，BA，AC上)边长为多少?在求得正方形CDEF的边长后，可进一步求得∠BAD的正切值为　　　　.  解析:设正方形的边长为x，则DE=EF=CD=x，BD=4-x. 由△BDE∽△BCA，可得=，即=，解得x=.因为tan∠BAC==， tan∠DAC==，所以tan∠BAD =tan(∠BAC-∠DAC)==. 答案: 11.(5分)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　　　.  解析:由题意得tan(α+β)===-2，因为α∈， β∈，k，m∈Z， 则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，又因为tan(α+β)=-2<0， 则α+β∈，k，m∈Z，则sin(α+β)<0，则=-2， 联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1， 解得sin(α+β)=-. 答案:- 12.(5分)已知tan α=-2，tan(-β)=(tan αtan β-3)，且α，β都是钝角，则α+β的值　　　　　　　.  解析:因为tan(-β)=(tan αtan β-3)， 所以-tan β=tan αtan β-3. 因为tan α=-2，所以-tan β=tan αtan β-+tan α，即(1-tan αtan β)=tan α+tan β， 即=. 因为tan(α+β)=， 所以tan(α+β)=.因为α，β都是钝角， 即α∈，β∈，所以α+β∈(π，2π)， 则α+β=. 答案: 13.(10分)(1)已知α，β为锐角，cos α=，tan(α-β)=-，求cos β的值;(5分) (2)已知tan α=1，3sin β=sin(2α+β)，求tan(α+β)的值.(5分) 解:(1)∵0<α<，cos α=，∴sin α==.∴tan α==.∵tan(α-β)===-，解得tan β=.∴tan β==，sin β=cos β.又sin2β+cos2β=1，代入得cos2β=.∵β为锐角，∴cos β=. (2)∵sin(2α+β)=3sin β，∴sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]，即sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α，整理得2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α，即=. ∵tan α=1，∴tan(α+β)=2tan α=2. 14.(15分)是否存在锐角α，β，使得下列两个式子①tan(α+2β)=-，②tantan β=2-同时成立?若存在，求出α，β的一个值;若不存在，请说明理由. 解:存在，α=，β=.理由如下: 由①tan(α+2β)=-， ∵α，β为锐角，则0<α+2β<， ∴α+2β=.∴+β=. ∴tan==. 将②代入上式得tan+tan β=3-. 因此tan，tan β是方程x2-(3-)x+2-=0的两根.由x2-(3-)x+2-=0， 即[x-(2-)](x-1)=0， 解得x1=1，x2=2-.当tan=1时， ∵0<α<，∴0<<， 此时α不存在.故tan=2-，tan β=1. ∴tan α==. ∵α，β均为锐角，∴α=，β=. 学科网（北京）股份有限公司 $