10.1 第3课时 两角和与差的正切-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第3课时两角和与差的正切 第1关练速度 10min为准，你的时间： 7.若tan(a+80)=4sin420°，则tan(a+20)的 值为 1.tan165°= 3√3 3 3 A.-2-√/3 B.-2+√3 A.- B. J C. D. 19 C.2-√3 D.2+/3 √3-tan15o 2.(2024·江苏苏州高一月考)已知tana=1, 8.计算， 1+√3tan15o 如B=,则m(e-B)的值为 9.已知a,B均为锐角，且tanB=cosin,则 cos a+sin a A号B月 c D.1 tan(a+B)= 10.（2024·四川广元高一月考)已知2tan0- 3(多适)已知mB=号则m(匠9)的值可 tan(0+军)=7，则tam0 以为 ( 1 1.已知m(-号）=m(a-受)=-则 B.-7 C. D.7 4.(2024·江苏盐城高一期中)在△ABC中，C= a+的值等于 tan 2 120°，tanA+tanB= 3,则tan Atan B的值为 第2关练准确率 8题为准，你做对题 12.(2024·江苏徐州高一月考)已知tan(ax+ ( 5 D. ®)=子m(B牙)4，那么ama+牙)等于 （) 5.（多选)下列等式成立的有 ( A. 13 83 3 tan 88-tan 43 18 22 C.2 01 A.1+ian8s9an43。=1 6 B.I-tan 153 13.(2024·河南郑州高一月考)已知a+8= 6 1+tan15°3 且a,B满足√3(tan atan B+2)+2tana+ C.tan20°+tan25°+tan20tan25°=1 3tanB=0,则tan等于 () tan62tan73°-11 D.2(tan62°+tan73)）2 B.3 C.-√3 D.35 6.(2024·湖北孝感高一月考)已知tana= 2 14.(2024·江苏盐城高一期中)在△ABC中， tanA+tanB+tanC=3√3，tan2B=tanA· tan(atB)=3,则tanB= tanC,则B等于 （) C. D.o A.30° B.45° C.120° D.609 必修第二册·SJ学霸036 15.(2024·辽宁大连高一期中)已知α，B均为20.(2024·江苏宿迁高一期中)在直角三角 锐角，sin=3 sin Bcos(a+B),则tana取得 形ABC中，B=90°，点E,F在边BC上，且 最大值时，tan(a+B)的值为 ( BE=EF=FC,BA=c,BC=a. A.2B.5 C.1 D.2 (1)若a=c,求tan∠EAF,tan∠FAC的值； 16.(多选)如图，在5个并排的正方形图案中作 (2)若a=3,求tan∠EAF的最大值 出一个∠A0nB=135(n=1,2,3,4,5,6),则 n可能等于 01020304050 A.3 B.4 C.5 D.6 17.（2024·四川南充高一月考)当x=xo时，函 数f(x)=sinx-2cosx取得最大值，则 tan() 18.（2024·湖南师大附中高一月考)如图，正方 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆☆☆ 形ABCD的边长为1，P,Q分别为边AB,DA A B 上的点.当△APQ的周长为2时，则∠PCQ 21.在锐角三角形ABC中，化简：tan2an2 的大小为 B C CA tan-tan-+tan-tan- 2 2 2 “2 22.求证：tan(a+B)-tan(a-B)-tan2B=tan(a+ B)tan(a-B)tan 2B. 19.(2023·湖南株洲二中高一期末)已知 an(a-B)-B=-Bc(0. ).求： (1)tana的值； (2)2a-B的值. 第10章学霸03717給解折：因为ae(任，)8e(0,)）,所以牙- (受，+ae()由m(）号 m(臣p)号可得如（子-a）=子（要+p) 名，据此可得a(a+p)=-血(+e8)=-m[(+p）片 (年)]-[m(）=(年-a）(经e) 血（任）门-（吕}兮）始放答案为9 18.5解折：m20+2n40°_sim20+2n(60°-209） c0s20° c0s20° sin20°+2sin60°cos20°-2cos60°sin20% c0s20° -si加20°+3c0s20°-sin20°=5.赦答案为w5. C0s20° 19.解，()因为ae(0,),所以2ae(0,号）又m2a=号 所以0s2a=√-im22a=3 因为Be[受0]所以a8e(受，）因为m(a*8- 25所以m(o9=Va阿-5 所以sin(a-B)=sin[2a-(a+B)]=sin2 cos(a+B)-cos2a· sin(a+B)= (2)迪(1)知，s2a=号，则2ma-1=1-2如a=号又ae 3 (0子），解得血a-怎oma25所以血6=血[(a0 d=n（e81oma-(ae)na=25x255x5-1又 5555 Be【受0]所以B=受 20解：(：)-os(e+号)+om(-于）5-1=ms c08 3 --sin xsin m-1=2a(+）1,2ms+≤2m+号，e 6 乙2m-写≤≤2m+号keZ,所以函数八=)的单调递增区 间为[22号，2m+号]kez. (2)当e0,m]时+石e[后7g]所以血(+君) [分1小所以当+石石即=时函数风)取得最小值 66 -2:当+后-号即=号时，函数✉到取得最大值1，所以) 的值域为[-2,1]. 方法总结 B 辅助角公式：Asin x+Bcos x=√A2+B2sin(x+p),其中tanp=- A 第3关（练思维宽度） 21.BD解析：因为ama-tanB=tm(a-B),其中a≠(keZ)且 B受(m后z),所以ma-mB=如&-如月 cos a cos B 必修第二册·SJ sin acos B-sin Bcos asin(B)=sin(in(-B)=0 cos acos B cos acos B cos(Q-B) 或cos(a-B)=cos acos B,即sin(a-B)=0或sin asin B=0. 因为a≠7(keZ)且B≠(meZ),所以血ainB≠0，所 以sin(a-B)=0,B正确，A错误； 因为sin(a-B)=0,所以ax-B=nπ，n∈Z,所以cos(a-B)=±1， C错误； 因为a-B=nT,n∈Z,所以sin2a+cos2B=sin2(nr+B)+cos2B= sin2B+cos2B=1,D正确.故选BD. 2.解：(1)：方程产+(sna*+sB)-子(coi)2=0有丙个 相等的实数根，.判别式4=(sina+cosB)2+4× 4(cos a+sin B)2=0,.sin2a+2sin acos B+cosB+cos 1 2cos asin B+sin2B=0,a2+2 sin acos B+cos asin B)=0, .'sin acos B+cos asin B=-1,.'.sin(a+B)=-1. （2)0a<7血a=号sa=via-22 3 sin(at B)=-1,..cos(a+B)=0,..sin B=sin[(a+B)-a]=sin (a+ 2W2 B)cos a-cos(a+B)sin a=- 31 第3课时两角和与差的正切 第1关（练速度） 1.B解析：an1650=tan(120°+45)=am120+tam450 -√3+1 1-tan120tan45°1+/3 (5-1)-2+3.故选B 2 3 tan a-tan B 2.B解析：因为tama=l,anB=手，所以tam(a-B)= 1+tan atan B 3 14故选B. 1+1× 37 4 2.CD解析：因为cosB=-于，所以B是第二或第三象限角， 若B是第二象限角，则如日=子，从面mB=子，所以m(任 3 3 1-tan B B 1 1+tan B 3 1+ 4 若B是第三象限角，则血B=子从雨mB=子，所以m(? 3 -1-tan B 1- 41 B）-1+anB1+ 37故选cD 4 4.B解析：由题意，得A+B=60°，所以tam(A+B)=-tan Atan B tan A+tan B 2 √3，所以 以--tan Atan5,tan Atn B=故选B. 3 5.ABC 解析：A.an88°-tan43o ,1+tan8°an430=tan(880-43）=tan450=1, A选项正确；B.因为5 an300=2an150 3 1-amn215o,由an15°>0，解得 2所以图好得语原放 B选项正确：C,由1=am45°=tam(259+20°)=m25m209得 tan25o+tan20°=1-tan25°tan20°，即tan25°+tan20°+tan25°· 学霸022 tan62tan73°-1 an20°=1，故C选项正确：D.2(tan62°+am739-) 1-tan62°tan73°1 1 1 am62+am73°2×an(62°+73可2，故D选项错误故 选ABC. 11 6.B解折：anB=n[(a8)-a]=了2。-1 1k1 故选B. 6 7.D解析：由tan(a+80°)=4sin420°=4sin60°=2W3, 得an(a+20°)=lam[(a+80)-60]=1+m(a+80°)an60- tan(a+80°)-tan60° 号选n W3-tan15°tan60°-tan15o 8.1解析 1+/3tan 15 1+tan 60tan 15o=tan 45=1. 91舞折mB-。把4n0月1- tan a,.'.tan a+tan B+tan atan B=1,.'.tan a+tan B=1-tan atan B. .'tan c+tan B =1,∴.tan(ax+β)=1. 1-tan atan B 102架折20-m(e+牙）=72m927,即 2tan 0-2tan20-tan 0-1 =7-7tan 0,tan20-4tan 0+4=0, (tan0-2)2=0,解得tan0=2.故答案为2. 11. 1 解析：m9=m[(a）+(a受)] 1 1-7 I-um(a-g)un(a-2)1 第2关（练准确率） 12c解桥：m(a9=号，m(g子）=子 m(a*牙）=m[a-(a-)] 21 54 13.D解析：V3(tan atan B+2)+2tana+3tanB=0,.V5 tan atan B+ 3(tan a+tan B)=tan a-23 1. .tana+tanB_√3 tan()-tm atan3(tan a+tan B)=(1 tan atan B)②. 将②代入①，得5=tan-25,tana=√5+2W5=35. 14.D解析：由两角和的正切公式变形得，tanA+tanB=tan(A+B)· (1-tan Atan B)=tan(180-C)(1-tan Atan B)=-tan C(1-tan A. tan B)=-tan C+tan Atan Btan C,.'tan A tan B+tan C= -tan C+tan Atan Btan C+tan C=tan Atan Btan C=33..tan2B= tan Atan C,∴.tan3B=33,.tanB=√3，B=60°.故选D. 15.D解析：sina=sin(a+B-B)=sin(a+B)cosB-cos(a+B)sinB= 3 sin Bcos(a+B),则sin(a+B)cosB=4 sin Bcos(a+B),所以tan(a+ B)=4anB=4an(a+B-a)=4 ta()tamc,整理得na- 1+tan(a+B)tan a' 3tan(a+B) 3 tan2(x+β)+4 4一因为。，B均为锐角，且 tan(a+B)+ tan(a+B) 3 sin Bcos(a+B)=sina>0,即cos(a+B)>0,所以tan(a+B)>0,所 以m(ae)tmp产2√m(a9)man0=4,当且仅 4 参考答案 当tan(a+B)= Fan(a+8,即an(a+B)=2时等号成立，所以 4 3 4一≤手，所以ana取得最大值时， 3 tan a=- tan(a+β)+ tan(a+B) tan(a+B)的值为2.故选D. 16.AB解析：若n=1或n=6,显然∠A0,B<90°；若n=2,则有 ∠A0201=45°，0°<∠B0206<45°，∴.∠A02B<135°，根据对称性 可知，若n=5,则∠A0sB<135°；若n=3,则有tan(∠A0301+ 1,1 2+3 ∠B0306)= 11 =1.又∠A0301,∠B0306∈(0,45)， 1-2*3 ∠A0301+LB0306=45°，∠A03B=135°，同理根据对称性有 ∠A04B=135°. 17.-3解析：利用辅助角公式f八x)=sinx-2cosx=√5sin(x-p),其 中m9=2,当=时，西数x)取得最大值，则p=受 2a(ke2,所以=g+受+2m(keZ),所以如(+） m(e+2安）=m(e） m(e+4+2) cos 4+2 tan o-1 (e+) 1+tan 品行，所以(）-3故答案为3 18.号解析：设∠PCB=a,∠0cD=B,则PB=ma,D0=amA, AP=1-tan a,AQ=1-tan B,PO=V(1-tan a)2+(1-tan B)2, :.2=1-tan a+1-tan B+(1-tan a)2+(1-tan B)2,tan a+ tan B=v(1-tan a)2+(1-tan B)2, 将上式两边平方，整理得tana+tanB=l-tana·tanB,即tan(a+ B)=1:a+Be(0,受)，a+B=牙∠P00=平放答案 为公 4 19,解：()m。=(a-）+]=28 11 27 1 3 (2)因为ma=了ae(0,),所以ae(0,受）因为mB= 行Be(0,m),所以Be(受，），所以-T<a8<0又m(a 1 p=>0,所以-agk号，所以2ag=a+(ap)e(~,0 11 tan(2a-B)=tan [(a-B)+a]= tan(a-B)+tan a 2 3 1-tan(a-B)tan ax 23 1,所以2a9= 20.解：(1)若a=c,则三角形ABC为等腰直角三角形，所以LBAC= 4Sr,aL.BAF=-子，m∠BMP=子，所以∠EAF=m(∠AP- 学霸023 21 tan∠BAF-tan∠BAE 33 3 ∠BAE)= 1+tan∠BAFtan∠BAE +2x1=ii,tan∠FAC= 1+3× 3 2 an45°-tm∠BMF1-3.1 tan(45°-∠BAF)= 1+tan45tan∠BAF 2=5 1+ 3 (2)若a=3,则an∠BAE= ,m∠BF=名，所以nLBM 1 211 tan∠BAF-tan∠BAE cc c tan(∠BAF-∠BAE)= = 1+tan∠BAFtan∠BAE 1+2x工1+ 2 CC c2 1 √2 2$ c+ c 2/63 号，当且仅当c=子，即c=2时取等号，所以 tan∠BAF的最大值为三 4 第3关（练思维宽度） 21.1解析：因为A+B+C=m,所以B+C-TA 222 所以m=m(）月 T A A tan- A B.. C B C 所以原式=am2（am2+an+aman A an B+C (1-tan 2tan 2) -tan B C B C 2tan-2 +tan 2 tan 2 A B =tan- 1 B C 2 A tan 2 （1-am2am)+an2tamz B tanC=1. =1-iam2tan+an- tan 2 2 22.证明：因为an28=am[(a+p)-(a-B)]=1+am(a+B)1an(a-p)1 tan(a+B)-tan(a-B) 所以tan2β[1+tan(a+B)tan(ag-B)]=tan(a+β)-tan(a-B), tan 28+tan(a+B)tan(a-B)tan 28=tan(a+B)-tan(a-B), 所以tan2B=tan(a+B)-tan(a-B)-tan(a+B)tan(a-B)tan2β， 所以原式左边=tan(a+B)-tan(a-B)-tan2B=tan(+B)-tan(a- B)-tan(a+B)+tan(a-B)+tan(a+B)tan(a-B)tan 2B=tan(a+B). tan(a-B)tan2B=原式右边，所以原等式成立. 10.2 二倍角的三角函数 第1关（练速度） 1.D解析：tan2a= 名子放选n 1-tan2a 2.A解析：因为sin(m-a)=sina=5,所以cos2a=1-2sin2a=1 3.B 解折：因为a为第二象限角且如a=行所以则& in 2n 2in acm 4.BCD解析：A.2sin15°cos15°=sin30°= 2 B.cos2150-sin2150=0630°= 2； C.1-2sim2150=0s30°=3j 2 必修第二册·SJ 3tan15°2 -×2tan15° 3 3√3√3 -tam215o-1-tan2150=2Xtan30= D. 23-2 故选BCD. 5.B解析：因为 c0s20V ,所以 cos20-sin20 cos Ocos- tsin 0sin 4 4 所以os0血0(cw0sn0). √2 ② 2,所以cos0-sim0= 1 2 (cos0+sin 0) 所以(cos0-sin0)2 =子即eo20-2n6as0+m20=子，所以 1-sin20=,解得sin20=4故选B. 6.D解析：由函数f(x)=cos2x+6sinx+1=-2sin2x+6sinx+2= -2n女子+2，因为mxe【-1,1],当i血x=1时，可得 f(x)mx=6;当sinx=-1时，可得f(x)min=-6,所以函数f代x)的值 域为[-6,6].故选D. 7D解折：血20ew20-aw25=弓如40.150。 2 2sim40-2n40°士故选D 22 82024解折f)=cm2(2024nx)=1+as（4048,故周期为 1 2 3放案为 2π 2024 9.1或名解析：因为如《=号如分，所以2如分w分 n受若血号=0，符合题意，此时ma=1-2号=1： 8 若血分0，则os号号sa=22号-1乃综上所 a 4 述，ma=1或oa=石放答案为1皮行 0.名解析m(2a)如[(a写)受] w[2.(a+号)]=2(+号）-12x()-1 号故答案为 7 11. 15 15 解析：因为tan2a= 2ea所以an2a三sn20 c032a 2 scs=cosa,因为a∈（0,2 ,所以cosa≠0，所以 1-2sin2a 2-sin a 1-2sin2a2-ima解得sina= 2sina」 1 4,所以cosa=√1-in2a5 4,所以tana √15 osa15故答案为v压 sina√15 15 第2关（练准确率） 12.A解析：由已知可得，tanx tan x tan x n年2，所以 .1=an2x-l1=3 tan2x-1 tan x 2 =所以an2x==一2×，2x-1=一3放选A. 1-tan2x 13.B解析：a=cos224°-sin224°=cos48°<1,6=1-2sin225°= cos50<1.c0s480>cos50°，a>h.c=21an230 =tan46°> 1-tan223 tan45o=1,.c>a>b.故选B. 14.C解析：因为集合A=B,所以sina=cos,sin2a=cos2a或 sina=cos2a,sin2a=cosa,分两种情况进行讨论： ①当sina=cosa,sin2a=cos2a时，且sina≠sin2a,cosa≠ cos2a,所以sin2a=2 sin acos=2cos2a,cos2a=2cos2a-1,所 学霸024