9.3 第3课时 向量平行的坐标表示-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第3课时向量平行的坐标表示 第1关练速度 10min为准，你的时间： 1.(多选)(2024·河北邢台高一期末)下列各对 向量中，共线的是 A.a=(2,3),b=(4,-6) Ba=(2,-3)b=分） 22 A.7 B. 3 C.a=(1,√2)，b=(√2,2) D.82 D.a=(2,-1),b=(1,2) c号 2.(多选)(2024·河北邯郸高一月考)下列向量 6.（2024·湖南衡阳高一月考)已知向量a= 组中，能作为平面内所有向量基底的是( (m,m2+1),b=(n,12),若向量a,b共线 A.a=(-2,3),b=(4,6) 且m>0,则n的最大值为 () B.a=(2,3),b=(3,2) A.6 B.4 C.a=(1,-2),b=(7,14) C.8 D.3 D.a=(-3,2),b=(6,-4) 7.(2024·吉林长春高一期中)在△ABC中，内 3.（2024·江苏连云港高一月考)已知向量a= 角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量p= (-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是 (a+c,-b),9=(a+b,a-c),若p∥q,则角C的 “a∥(a+b)”的 ( 大小为 () A.充要条件 .3 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 2T D.既不充分也不必要条件 c. D. 4.(2024·安徽合肥高一月考)已知点A(1,3), 8.（2024·福建三明高一月考)已知向量a= B(4,-1),则与AB同方向的单位向量为 (m,3),b=(1,m),若a与b方向相反，则1a ( √3b|= 9.（2024·福建厦门外国语学校高一月考)在平 面直角坐标系中，A(1,m),B(-2,2m+1), c3) n() AC=(-1,m-1),若A,B,C三点能构成三角 5.(2024·福建莆田高一月考)某同学因兴趣爱 形，则实数m的取值范围为 好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示， 10.(2024·福建三明高一期中)在平面直角坐 该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中， 标系x0y中，已知点A(-1,2),B(1,1), 按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发 C(-3,1).则AB的中点坐标为 ;当 现图中A,B,C三点恰好共线，则m=() 实数m= 时，(mOC+OB)∥AB. 必修第二册·SJ学霸016 11.（2024·湖北荆州高一月考)已知点A(3,17.(2024·辽宁丹东高一期末)已知点A(-1, -4)与点B(-1,2),点P在直线AB上，且 1),B(3,2),D(0,5),若BC=2AD,AC与BD 1AP1=21PB1,则点P的坐标为 交于点M,则点M的坐标为 第2关练准确率8题为准，你做对题 18.（2024·河北保定高一月考)已知向量a= (m,1),b=(4-n,2),m>0,n>0,若a∥b,则 12.（2024·江西上饶高一期末)已知向量a= (1,cos0),b=(2,sin0),若a∥b,则tan0= 1,8的最小值是 m n 19.(2024·山东枣庄高一月考)已知a=（1, A.2B.-2 2 0),b=(2,1) (1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线？ 13.已知四边形ABCD为平行四边形，其中点 (2)若AB=2a+3b,BC=a+mb,且A,B,C三 A(5,-1),B(-1,7),C(1,2),则点D的坐 点共线，求m的值 标为 A.(-7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7,-6) 14.(2024·湖北黄冈高一月考)已知点A(2,1), B(1,m+1),C(m+2,-3),且IAB1·lAC1=AB. CA,则m= ( A好 B.±2 c D.2 15.（多选)(2024·江苏徐州高一月考)已知向 量a,b,c满足c=入a+(1-入)b(0<入<1)， 且c=(1,2),则a,b的坐标可以为（) A.a=(1,0),b=(0,2) B.a=(2,0),b=(0,4) C.a=(3,1),b=(-1,3) D.a=(2,1),b=(4,-1) 16.已知向量集M={a|a=(1,2)+入(3,4)，入∈ R},N={ala=(-2,-2)+λ(4,5)，入∈R}, 则M∩N= A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,2)} C.{(-2,-2)} D.⑦ 第9章学霸017 20.如图，在平面直角坐标系中，10A1=21A店1=22.对于数集X={-1,x1,x2,…,x,},其中0<，< 4,∠0A8=5Bd(-2,23. x2<<xn,n≥2，定义向量集Y={ala=(s, t),s∈X,t∈X}.若对任意a1∈Y,存在a2∈Y (1)求点B,C的坐标； (a1≠a2),使得a1=入a2,入∈R,则称X具有 (2)求证：四边形OABC为等腰梯形， 性质P. (1)设数集X1={-1,1},X2={-1,2,3},请 写出数集X,X2对应的向量集Y,Y2,并 判断X,X2是否具有性质P (2)若1<x<2,集合{-1,1，x,2}是否具有性 质P,若具有，求x的值，若不具有，请说 明理由。 视频讲解 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆女☆) 21.（2024·吉林长春高一月考)已知集合M2= {ala=(x,y),x∈N且x≥1，yeN且y≥ 1,0为坐标原点，当0A=(x1,y1)eM2, 0B=(x2,y2)∈M2时，定义：d(A,B)=1x1 x2+ly1-y2l,若0元=(x3,y3)∈M2,则“存在 A>0使AB=ABC”是“d(A,B)+d(B,C)= d(A,C)”的 A.充分不必要条件 视频讲解 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 必修第二册·SJ学霸018袋上，0的长为我西 3 (3)不妨设A=AA=(8入，-3入)，所以Ci=C+A市=(-5，-2)+ (8入，-3A)=(8A-5,-31-2),则1Ci12=(8-5)2+(-3A-2)2= 732-681+29,由二次函数的性质可知，当且仅当入=2X73乃 -6834 时，市2取得最小值，则CD取最小值时，A=为所以8 A芳 第3关（练思维宽度） 21.1解析：因为1AnA+11An1An21=n(n=1,2,3),所以1A1A1· 1A241=1,1A2A11A41=2,1A34411A441=3,由题意设 a1=,则ai=,2,la1=2设4，(0.0， 如图，因为求1A1A1的最小值， 则4x,o,4(,)4(,)4(,云），所以 记=22京1，且仅当产证即号 时取等号，所以1A1A1的最小值为1.故答案为1 A A B (第21题) (第22题) 22.解：如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系。 (1)由条件得D(0,6),E(3,0),A(0,0),F(6,2),.D2=(3,-6), A市=(6,2). 由于LEMF就是D成，A的夹角， 18-12√2 ∴.cos∠EMF= 9+36·V36+410∠BMF的余弦值为 0 (2)设M(a,b),DMi=(a,b-6).Di∥D正，.3(b-6)+6a= 0,.2a+b-6=0.AM=(a,b),A=(6,2),Ai∥A,.2a-6b= 0a=动7%=66=9a-9(s9）由上可 得E=(3,2) ①当点P在边AB上时，设P(x,0)(0≤x≤6)， m-(与）…30= 77 ￥ n(俘p-√(2 7 ②当点P在边BC上时，设P(6,y)(0<y≤6)， -(4）吕0y9合去 ③当点P在边CD上时，设P(x,6)(0≤x<6), (9)3号=0=与合去 ④当点P在边DA上时，设P(0,y)(0<y<6), 7 p(,号)p-√( 7 综上存在P(o,r2该者P(）w9 7 必修第二册·SJ 第3课时向量平行的坐标表示 第1关（练速度） 1.BC解析：设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b台x1y2=x2y1,2× (-603议4，做A选要精误：x(-）子×(-3)故B选项正 确；1×2=√2×2，故C选项正确，；√2×√2≠(-1)×1，故D选项错 误.故选BC. 2.ABC解析：能作为平面内的基底，须使两向量a与b不平行，若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a∥b→a1b2=a2b1,故只需判断选项中 的两向量的坐标是否满足a1b2-a2b1=0即可.：（-2)×6-3×4= -24≠0，.a与b不平行，故A选项正确；2×2-3×3=-5≠0，∴.a与 b不平行，故B选项正确；1×14-（-2)×7=28≠0，∴.a与b不平行， 故C选项正确：(-3)×(-4)-2×6=12-12=0，∴.a∥b,故D选项错 误故选ABC. 3.A解析：由题意得a+b=(2,2+m),由a∥(a+b),得-1×(2+m)= 2×2,所以m=-6.当m=-6时，a+b=(2,-4)=-2(-1,2),可得a∥ (a+b),则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件.故选A. 方法总结 已知向量a=(x1,y1)和b=(x2y2),a∥bx1y2=x2y1 4.A解析：A=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与AB同方向的单位向 (层)这人 量为e= 5.C解析：由题图可知，A(3,3),B(5,6),C(m,10),所以AB=(5- 3,6-3)=(2,3),BC=(m-5,10-6)=(m-5,4).因为A,B,C三点 23 恰好共线，所以店/B武，所以3(m-5)=2x4,解得m=了故选C. 6.A解析：因为a=(m,m2+1),b=(n,12),且a与b共线，所以 12m=n(m2+1）,所以n=12m又m>0,所以n=12m-12 m2+1' ≤ m2+1 1 m+ m 12 =6，当且仅当m=六即m=1时取等号，所以n的最 1 2√/m 大值为6.故选A. 7.D解析：因为p=(a+c,-b),9=(a+b,a-c),p∥q,所以(a+c)· (a-c)-(-b)·(a+b)=0,即-ab=a2+b2-c2,由余弦定理可得 号因为Ce(0,),所以C=故选D, 8.45解析：由a与b方向相反，故存在k<0,使a=仙，即 {m=k:解得m=3,或m=-5由<0，故m=k=-5,故a 13=km, k=5k=-3, (-√3,3)，b=(1,-√3)，则a-3b=（-25,6),Ia-√3b1= √(-23)+62=45.故答案为45. 9.(（-∞，2)U(2,+∞)解析：A,B,C三点能构成三角形，则A与A元 不共线，A=(-3,m+1),则有-3(m-1)≠-1(m+1),解得m≠2， 即实数m的取值范围为(-0,2)U(2,+0).故答案为(-0,2)U (2,+∞). 3解析：因为A(-1,2),B(1,1),C(-3,1),所以AB 的中点坐标为 (”2)()） 又A=(1,1)-(-1,2)=(2,-1),0=(1,1),0元=(-3,1)，则 m0元+0=m(-3,1)+(1,1)=(-3m+1,m+1).因为(m0元+ 0)/∥AB,则2(m+1)=-1(-3m+1),解得m=3.故答案为 (o,2)a 1.（号0)或(-5,8)解析：设P(,),则由1=21，得 A巾=2P市或A=-2P若A=2P,则(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y). 学霸010 所2解得收P(写）-成同 y+4=4-2y, y=0, 理可解得{g5故P(-5,8)综上，点P的坐标为子，0或 y=8, (-5,8).故答案为（兮0）或(-5,8）， 第2关（练准确率） 12.A解析：由a∥b得，2cos0=sin0→tan0=2,故选A. 13.D解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以A=Dd 设D(x,y),则有(-1-5,7+1)=(1-x,2-y), 即6,1-，解得任=7，因此点D的坐标为(7，-6).故选D. 8=2-y, y=-6, 14.D解析：由A1·14d1=A店.Ci得A与A心的夹角为180°.A店= (-1,m),A花=(m,-4),由AB∥A花得m2=4,故m=±2.当m=2 时，A花=-2A店，A店与A元的夹角为180°；当m=-2时，A花=2A店，A店 与A元的夹角为0°，舍去.故选D. 15.BC解析：设0A=a,0B=b,OC=c,0为坐标原点，则由c=Aa+ (1-A)b(0<A<1)可知A,B,C三点共线，且C在A,B之间. 选项A:A=(-1,2),A元=(0,2)，A与A元不平行，选项A错误； 选项B:A=(-2,4),A元=(-1,2)，AB与A元平行，且C在A,B之 间，选项B正确；选项C:AB=(-4,2),A元=(-2,1)，AB与A元平 行，且C在A,B之间，选项C正确；选项D:A店=(2，-2)，A心= (-1,1),AB与AC平行，但C不在A,B之间，选项D错误.故选BC. 16.C解析：设集合MnN={aa=(x,y),x,yeR},对于M,(x,y)= (1,2)+(3,4),即(x-1,y-2)=(3,4),=Y2同理，对 3 4 于N有安-号2，解得=-2，y=-2放MnN=(-2,-2)1.故 选C. 17.(1,4)解析：如图，结合题意，设C(x,y),y1 M(x1,y),易得B武=(x-3,y-2),A=(1,4), 由B武=2A市，可得(x-3,y-2)=2(1,4),解得 DK =5,即C(5,10),因为B成=2应，所以 XM y=10, △DABc,所以-C-子，所以牙 -号花即(+1,1)=号(6,9)=(2,3)，解得即 （y1=4, 点M的坐标为(1,4).故答案为(1,4). 9 18.之解析：a/b,2m=4-n,2m+n=4.又m>0,n>0,六m+ 2合)号当且议当会1即aa=号a= m n 子时，等号成立放答案为号 19.解：(1)因为a=(1,0),b=(2,1),所以ka-b=k(1,0)-（2,1)= (k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2b共 线，所以号-部得=宁 1 (2)因为a=(1,0),b=(2,1),所以AB=2a+3b=2(1,0)+3(2, 1)=(8,3),Bt=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(1+2m,m). 因为4，B,C三点共线，所以与成共线，即1：？，解 3 得m22 参考答案 20.(1)解：设B(x,y),则x=1Oi1+|A店1c0s(T-∠0AB)=5,y= 1A1sin(T-L0AB)=5,.B(5,5),.0t=0i+BC=(5,5)+ (-2,23)=(3,33),C(3,33). (2)证明：连接0C,如图.0元=(3,33)，A店=(1,3)，.0元= 3A店，.0成∥A店且0心1≠A1.又Oi1=4,1B武1= √(-2)2+(23)2=4，.1O1=1B武1，四边形0ABC为等腰 梯形 第3关（练思维宽度） 21.A解析：充分性：若存在A>0,使A=入B元，即(2-x1,y2-y1)= 入(x3-x2,y3y2),则(x2-x1)(x3-x2)>0,(y2-y1)(y3-y2)>0,故 d(A,B)+d(B,C)=|x2-x11+ly2-y11+|x3-x21+Iy3-y21=I(x2 x1)+(x3-x2)1+|(y2-y1)+(y3-y2)I=Ix3-x11+ly3-y11=d(A, C),故充分性成立； 必要性：取0A=(2,5),0B=(3,3),0C=(5,2),则d(A,B)+d(B C)=(13-21+13-51)+(15-31+12-31)=6,d(A,C)=12-51+15 21=6,则d(A,B)+d(B,C)=d(A,C),但是AB=0-OA=(1, -2),B元=0d-0=(2,-1),所以1×(-1)≠(-2)×2，则A店，BC不 共线，所以必要性不成立.故选A 22.解：(1)由题意知Y1={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},记 41=(-1,-1),2=(-1,1),&3=(1,-1),a4=(1,1),其中a1= -a4,2=-a3,故数集X1具有性质P. 由题意知Y2={(-1,-1),(-1,2),(-1,3),(2,-1),(2,2),(2, 3),(3,-1),(3,2),(3,3)},取B1=(-1,2),在集合Y2中不存在 与p1共线的向量，即不存在B2∈Y2,入∈R,使得B,=入B2,故数集 X2不具有性质P. (2)假设存在，因为a1=Aa2,所以a1∥a2,当a1=(1,2)时，设 a2=(m,n),则2m=n, 而集合{-1,1，x,2},1<x<2中，只有2=2×1，所以只能是n= 2,m=1,此时a1=a2,这与已知矛盾，所以集合{-1,1，x,2}不具 有性质P. 9.4向量应用 第1关（练速度）》 1.A解析：由题意可知AB=(7,8)-(2,15)=(5,-7),F=(-4,3), A店·F=5×(-4)+3×(-7)=-41,所以F对该物体所做的功为-41. 故选A. 2.A解析：由题意IAB1=IBA1=√12+(-3)2=10，IBC1=IBC1= √2+(-2)2=2W5,At=BC-BA=(3,1),1AC1=A花1=√32+1卫= √10=IAB|,而IAC12+IAB12=IBC12,∴.△ABC是等腰直角三角 形.故选A. 3.C解析：由题得y1和v2都是向量，根据向量的加法运算得逆风行 驶的速度为y1+v2.故选C. 4.C解析：5s后点P的坐标为(-10,10)+5(4，-3)=（10，-5).故 选C. 5.B解析：因为AB=1,AC=2,LBAC=60°，所以IB武12= (A元-AB)2=1A12+1A心12-21AB1·1AC1·cos60°=3，所以BC= √3.又因为AB2+BC2=4=AC2,所以三角形ABC为直角三角形，建 立如图所示的坐标系， 则有A(0,1),B(0,0),C(3,0),因为D,E分别为BC,AC的中点， 所u(停）（停）撕以动（停成=（停 学霸011