9.3.2 第1课时 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

9.3.2 第1课时 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示 [课时跟踪检测] 1.(多选)下列各式不正确的是 (　　) A.若a=(-2，4)，b=(3，4)，则3a-2b=(-12，4) B.若a=(5，2)，b=(2，4)，则2b-a=(-1，6) C.若a=(1，0)，b=(0，1)，则a+b=(0，1) D.若a=(1，1)，b=(1，-2)，则a+b=(2，1) 解析：选CD　由向量加、减法的坐标运算可得. 2.已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，c=(3，4)，且c=λ1a+λ2b，则λ1，λ2的值分别为 (　　) A.-2，1 B.1，-2 C.2，-1 D.-1，2 解析：选D　因为c=λ1a+λ2b，所以(3，4)=λ1(1，2)+λ2(2，3). 所以解得 3.在△ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点，若=(4，3)，=(1，5)，则等于 (　　) A.(-2，7) B.(-6，21) C.(2，-7) D.(6，-21) 解析：选B　∵点Q是AC的中点，∴=(+)，∴=2-，∵=(4，3)，=(1，5)，∴=(-2，7)，又=2，∴=3=(-6，21). 4.设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||=2||，则点P的坐标为 (　　) A.(3，1) B.(1，-1) C.(3，-1)或(-1，1) D.(3，1)或(1，-1) 解析：选D　∵A(2，0)，B(4，2)，∴=(2，2)，∵点P在直线AB上，且||=2||，∴=2或=-2，故=(1，1)或=(-1，-1)，故P点坐标为(3，1)或(1，-1)，故选D. 5.设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示向量4a，4b-2c，2(a-c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d= (　　) A.(2，6) B.(-2，6) C.(2，-6) D.(-2，-6) 解析：选D　设d=(x，y)，由题意知4a=(4，-12)，4b-2c=(-6，20)，2(a-c)=(4，-2)，易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0，解得x=-2，y=-6，所以d=(-2，-6). 6.若α，β是一组基底，向量γ=xα+yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p=(1，-1)，q=(2，1)下的坐标为(-2，2)，则a在另一组基底m=(-1，1)，n=(1，2)下的坐标为 (　　) A.(2，0) B.(0，-2) C.(-2，0) D.(0，2) 解析：选D　由a在基底p，q下的坐标为(-2，2)，则a=-2p+2q=-2(1，-1)+2(2，1)=(2，4).设(x，y)为a在基底m，n下的坐标，则a=xm+yn=(-x+y，x+2y)，即(2，4)=(-x+y，x+2y)，则解得所以a在基底m，n下的坐标为(0，2). 7.已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若第四象限的点P满足=+λ，则实数λ的取值范围是 (　　) A.(-∞，-1) B. C. D. 解析：选C　法一　设P(x，y)，则=(x-2，y-3)，=(3，1)，=(5，7)， 又=+λ=(3，1)+λ(5，7)=(3+5λ，1+7λ)，所以(x-2，y-3)=(3+5λ，1+7λ). 所以即 因为点P在第四象限，所以解得-1<λ<-.故实数λ的取值范围是. 法二　因为=+=++λ=+λ=(5，4)+λ(5，7)=(5+5λ，4+7λ)， 所以P(5+5λ，4+7λ).因为点P在第四象限，所以解得-1<λ<-. 故实数λ的取值范围是. 8.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底a，b表示c，则 (　　) A.c=3a-2b B.c=-3a+2b C.c=-2a+3b D.c=2a+3b 解析：选A　法一　如图①，建立平面直角坐标系，设网格中最小的正方形的边长为1，则a=(1，1)，b=(-2，3)，c=(7，-3). 设向量c=ma+nb(m，n∈R)， 则解得 所以c=3a-2b. 法二　如图②，以i，j为基底，则a=i+j，b=-2i+3j，c=7i-3j. 设c=λa+μb=(λ-2μ)i+(λ+3μ)j，λ，μ∈R，所以解得所以c=3a-2b. 9.(5分)已知点A(-1，5)，向量a=(-1，2)，若=3a，则点B的坐标是　　　　.  解析：易知=(-3，6). 设B(x，y)，则(-3，6)=(x+1，y-5)， 解得x=-4，y=11.故点B的坐标是(-4，11). 答案：(-4，11) 10.(5分)已知两点M(7，8)，N(1，-6)，点P是线段MN上靠近点M的三等分点，则点P的坐标为　　　　.  解析：由题意得=3，设P(x，y)，则(-6，-14)=3(x-7，y-8)，解得x=5，y=，即P. 答案： 11.(5分)已知向量a=(3，-2)，b=(-2，1)，c=(-12，7)，若c=ma+nb，其中m，n∈R，则m+n的值为　　　　.  解析：因为a=(3，-2)，b=(-2，1)，c=(-12，7)，所以ma+nb=(3m-2n，-2m+n).因为c=ma+nb，所以(-12，7)=(3m-2n，-2m+n).所以解得m=-2，n=3.所以m+n=1. 答案：1 12.(10分)已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量的坐标. 解：如图所示，正三角形ABC的边长为2，则点A(0，0)，B(2，0)，C(1，)，又点D是AC的中点， 知D.所以=(2，0)，==(1-2，-0)=(-1，). 13.(10分)已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，用表示++. 解：∵=(1，3)，=(2，4)，=(-3，5)， =(-4，2)，=(-5，1)， ∴++=(-3，5)+(-4，2)+(-5，1)=(-12，8). 根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得 ++=m+n， ∴(-12，8)=m(1，3)+n(2，4)， 即(-12，8)=(m+2n，3m+4n)， ∴解得 ∴++=32-22. 14.(10分)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，若=e1-e2，=2e1+λe2，=e1+e2，且A，P，C三点共线. (1)求实数λ的值;(3分) (2)若e1=(1，0)，e2=(0，1). ①求;(3分) ②若D(-2，4)，A，B，C，D恰好构成平行四边形ABCD，求点A的坐标.(4分) 解：(1)=+=e1-e2+2e1+λe2=3e1+(λ-1)e2，由A，P，C三点共线，设=t(t∈R)，则=t(e1+e2)=te1+te2，即解得λ=4. (2)①∵=+=2e1+4e2+e1+e2=3e1+5e2，∴向量的坐标为(3，5). ②设A的坐标为(x，y)，∵A，B，C，D恰好构成平行四边形ABCD，∴=. 由=(-2-x，4-y)，=(3，5)， 得解得 ∴A的坐标为(-5，-1). 15.(15分)已知平行四边形ABCD中，=2=2=2. (1)用表示;(5分) (2)若||=6，||=3，∠BAD=45°，如图建立平面直角坐标系，求和的坐标.(10分) 解：(1)因为=+， =+=2， 所以-=2(-)， 所以=+=+. (2)过点D作AB的垂线交AB于点D'，如图所示， 于是在Rt△ADD'中，由∠BAD=45°，可知AD'=3. 根据题意得A(0，0)，B(6，0)，D(3，3)，F(7，1)，=+=(6，0)+(3，3)=，所以G. 所以=(6，0)，==(4，-2)， =-=. 学科网（北京）股份有限公司 $