9.2.3 第2课时 平面向量数量积的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

9.2.3 第2课时 平面向量数量积的应用 [课时跟踪检测] 1.已知向量a，b，|a|=1，|b|=2，a⊥(b-a)，则|2a+b|= (　　) A.4 B.2 C.3 D.12 解析：选B　∵a⊥(b-a)，∴a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=0， ∴a·b=1，|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=12，∴|a+b|=2. 2.已知菱形ABCD的边长为2，·=2，则||= (　　) A. B.2 C.1 D.2 解析：选B　根据题意可得=+=-， ∵·=2，即·(+)=+·=2，∴·=-2， ||2==-2·+=12，即||=2，故选B. 3.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(+-2)·(-)=0，则△ABC的形状是 (　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析：选B　∵(+-2)·(-)=0，∴(+)·(-)=0， ∴-=0，即||=||，∴△ABC是等腰三角形. 4.已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm+n)，则实数t的值为 (　　) A.4 B.-4 C. D.- 解析：选B　由题意知==，所以m·n=|n|2=n2.因为n⊥(tm+n)，所以n·(tm+n)=0，所以tm·n+n2=0，即tn2+n2=0，所以t=-4. 5.已知单位向量a，b满足a·b=0，若向量c=a+b，则sin<a，c>= (　　) A. B. C. D. 解析：选B　因为a，b是单位向量，所以|a|=|b|=1. 又a·b=0，c=a+b， 所以|c|== =3，a·c=a·=a2+a·b=. 所以cos<a，c>==. 因为<a，c>∈， 所以sin<a，c>==. 6.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=1，∠BAD=，若·=2·，则·= (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选C　∵·=2·，∴·-·=·，即·=·.∵AB∥CD，CD=1，∠BAD=，∴||=||·||cos ，∴||=2，∴·=·(+)=||2+·=22+2×1×cos =5. 7.已知向量a≠e，|e|=1，对任意实数t，恒有|a-te|≥|a-e|，则 (　　) A.a⊥e B.e⊥(a-e) C.a⊥(a-e) D.(a-e)⊥(a-e) 解析：选B　由|a-te|≥|a-e|，两边平方得a2+t2-2ta·e≥a2+1-2a·e. 设a·e=m，则t2-2mt+2m-1≥0对任意实数t恒成立，所以Δ=4m2-8m+4≤0，即(m-1)2≤0，所以m=1，即a·e=1，e·(a-e)=a·e-1=0，所以e⊥(a-e). 8.(多选)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是 (　　) A.若|a+b|=|a-b|，则a⊥b B.若|a|=|b|，则(a+b)⊥(a-b) C.若a·c=b·c，则a-b不与c垂直 D.(b·c)a-(a·c)b不与c垂直 解析：选AB　由|a+b|=|a-b|，平方可得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b⇒a·b=0⇒a⊥b，故A正确；若|a|=|b|，则(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0，所以(a+b)⊥(a-b)，故B正确；若a·c=b·c，则(a-b)·c=a·c-b·c=0⇒(a-b)⊥c，故C错误；[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c=(b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0， 所以[(b·c)a-(a·c)b]⊥c，故D错误. 9.(5分)已知|a|=2，|b|=3，且a⊥b，则(a+b)·(2a-b)=　　　　.  答案：-1 10.(5分)已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，且a+b+c=0，则|c|=　　　　.  解析：因为a+b+c=0，所以c=-a-b，所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=22+2×2×3cos+32=4-6+9=7，所以|c|=. 答案： 11.(5分)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=，则a与b的夹角为　　　　.  解析：|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=5-2a·b=7，∴a·b=-1，又θ∈[0，π]， cos θ==-，∴θ=. 答案： 12.(5分)已知e1，e2是互相垂直的两个单位向量，若向量a=te1+e2与向量b=e1+te2的夹角是钝角，则实数t的取值范围是　　　　　　　　.  解析：∵向量a与向量b的夹角是钝角， ∴a·b<0，且<a，b>≠π. 由(te1+e2)·(e1+te2)<0，且|e1|=|e2|=1， e1·e2=0，得t<0. 令te1+e2=λ(e1+te2)，λ<0，λ∈R， 则于是t=-1.故t<0，且t≠-1， 即实数t的取值范围是(-∞，-1)∪(-1，0). 答案：(-∞，-1)∪(-1，0) 13.(10分)如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=4，A是线段EF的中点，EF=2.若与的夹角为60°，求·. 解：·=(+)·(+)=·+·+·+·.∵∠BAC=90°，∴·=0. 又A是线段EF的中点，∴=-，∴·=·-·-=·-1=4×1×cos 60°-1=1. 14.(15分)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a，b的夹角为60°. (1)若(2a+3b)⊥(a-kb)，求实数k的值；(5分) (2)求a+b与a-b的夹角的余弦值.(10分) 解：(1)因为(2a+3b)⊥(a-kb)， 所以(2a+3b)·(a-kb)=2a2+(3-2k)a·b-3kb2=2|a|2+(3-2k)a·b-3k|b|2=0， 即2+(3-2k)×1×2×cos 60°-3k×4=0，解得k=. (2)因为|a+b|====， |a-b|=== =， 所以cos<a+b，a-b>====-， 故a+b与a-b的夹角的余弦值为-. 15.(15分)已知向量a，b，c满足|a|=2，c=a-tb(t∈R)，<a，b>=. (1)若a·b=1，求b在a方向上的投影向量(用a表示)；(5分) (2)求|c|的最小值.(10分) 解：(1)由数量积的定义可知|b|cos<a，b>=，所以b在a方向上的投影向量为|b|cos<a，b>=·=·=a. (2)因为|c|=|a-tb|= =， 又|a|=2，<a，b>=， 所以|c|=. 令x=t|b|∈z， 所以|c|==. 所以当x=t|b|=1时，|c|取到最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $