14.4.4 百分位数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学中百分位数的核心知识点，系统梳理k百分位数的定义、计算步骤及四分位数概念，从概念理解到计算方法再到实际应用，构建梯度学习支架，帮助学生掌握用样本估计百分位数的统计含义。 该资料采用梯度进阶式教学，通过毕业生月薪、男生身高统计等实例，引导学生用数学眼光观察数据分布，用数学思维推理计算，培养数据观念与应用意识。课中助力教师分层教学，课后通过基础训练与题型解析帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

14.4.4　百分位数[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义. 2.在学习和应用百分位数的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算. 1.k百分位数的定义 一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于pk，且至少有(100-k)%的数据大于或等于pk. 2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤 第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列; 第2步，计算n·; 第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第n·位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数; 第4步，如果n·不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)， 在该位置上的数值即为k百分位数. 3.四分位数 我们把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数. |微|点|助|解| (1)四分位数把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数.其中25百分位数也称为一四分位数或下四分位数等，75百分位数也称为三四分位数或上四分位数等. (2)百分位数的特点 ①一组数据的p百分位数可能在这组数据中，也可能不在. ②一组数据的某些百分位数可能是同一个数. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若一组样本数据各不相等，则其75百分位数大于25百分位数. (　　) (2)若一组样本数据的10百分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23. (　　) (3)若一组样本数据的24百分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√ 2.下列关于一组数据的50百分位数的说法正确的是 (　　) A.50百分位数就是中位数 B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% C.它一定是这组数据中的一个数据 D.它适用于总体是连续型的数据 答案:A 3.数据12，14，15，17，19，23，27，30的70百分位数是 (　　) A.14 B.17 C.19 D.23 解析:选D　因为8×70%=5.6，所以70百分位数是第六项数据23. 题型(一)　对百分位数含义的理解 [例1]　(多选)下列表述不正确的是 (　　) A.p百分位数可以有单位 B.一个总体的四分位数有4个 C.样本容量越大，p百分位数估计总体就越准确 D.对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在95百分位数上，则小明得了95分 解析:选BD　易知A、C正确，B错误，95百分位数是指把数据从小到大排序，至少有95%的数据小于或等于这个值，至少有5%的数据大于或等于这个值，D错误. |思|维|建|模| 　　分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息. 　　[针对训练] 1.已知100个数据的75百分位数是9.3，则下列说法正确的是 (　　) A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数 解析:选C　因为100×75%=75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75百分位数，是9.3，故C正确. 题型(二)　百分位数的计算 [例2]　(1)为了解毕业生工作情况，某高校对12名应届毕业生起始月薪作了统计如下: 毕业生 起始月薪 毕业生 起始月薪 1 2 3 4 5 6 2 850 2 950 3 050 2 880 2 755 2 710 7 8 9 10 11 12 2 890 3 130 2 940 3 325 2 920 2 880 则85百分位数是　　　　.  (2)考察某校高二年级男生的身高，随机抽取40名高二男生，实测身高数据(单位:cm)如下: 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 160 168 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 请估计该校高二年级男生身高的25，50，75百分位数. 解析:(1)首先对数据排序:2 710，2 755，2 850，2 880，2 880，2 890，2 920，2 940，2 950，3 050，3 130，3 325，所以i=12×85%=10.2. 即85百分位数是3 130. 答案:3 130 (2)把这40名男生的身高数据按从小到大排序，可得151 156 157 157 158 159 160 160 161 161 162 163 163 163 163 164 164 165 165 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 169 169 169 170 171 171 174 174 176 180 由25%×40=10，50%×40=20，75%×40=30，可知样本数据的25百分位数为161.5，50百分位数为166，75百分位数为168.5. 据此可估计该校高二年级男生身高的25，50，75百分位数分别约为161.5，166和168.5. |思|维|建|模| 计算一组n个数据的p百分位数的一般步骤 (1)排列:按照从小到大排列原始数据; (2)计算i:计算i=n×p%; (3)定数:若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p百分位数为第j项数据;若i是整数，则p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 　　[针对训练] 2.从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位:g)如下: 7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0. (1)分别求出这组数据的25，75，95百分位数; (2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量; (3)若用25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准. 解:(1)将所有数据从小到大排列，得 7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，因为共有12个数据，所以12×25%=3，12×75%=9，12×95%=11.4， 则25百分位数是=8.15， 75百分位数是=8.75， 95百分位数是第12个数据为9.9. (2)因为共有12个数据，所以12×15%=1.8，则15百分位数是第2个数据为7.9. 即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9. (3)由(1)可知样本数据的25百分位数是8.15 g，50百分位数为8.5 g，95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品. 题型(三)　百分位数的综合应用 [例3]　某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图. (1)求图中a的值; (2)估计该校学生数学成绩的75百分位数. 解:(1)由频率分布直方图得，a+0.02+0.025+0.035+a=0.1，解得a=0.01. (2)成绩在80分以下的频率为(0.01+0.02+0.035)×10=0.65<0.75， 成绩在90分以下的频率为(0.01+0.02+0.035+0.025)×10=0.9>0.75， 所以75百分位数落在[80，90)内. 所以75百分位数为80+×10=84(分). |思|维|建|模| 由频率分布直方图求百分位数的方法 (1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率. (2)一般采用方程的思想，设出p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可. 　　[针对训练] 3.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下这60株树木的底部周长的50百分位数和75百分位数吗? 解:由题意知分别落在各区间上的频数 在[80，90)上为60×0.015×10=9， 在[90，100)上为60×0.025×10=15， 在[100，110)上为60×0.030×10=18， 在[110，120)上为60×0.020×10=12， 在[120，130]上为60×0.010×10=6. 从以上数据可知50百分位数一定落在区间[100，110)上， 有100+10×≈103.3; 75百分位数一定落在区间[110，120)上， 有110+10×=112.5. 综上可知，50百分位数和75百分位数分别估计为103.3 cm，112.5 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $