14.4.3 用频率分布直方图估计总体分布14.4.4 百分位数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“用频率分布直方图估计总体分布”与“百分位数”核心知识点，通过“大学补考分数线确定”情境导入，衔接基础定义、计算步骤与典型例题分析，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以真实问题驱动（数学眼光），分步骤解析百分位数计算与直方图应用（数学思维），结合珍珠等级划分、阶梯电价等案例（数学语言），提升学生数据分析与运算能力，为教师提供系统教学资源与分层训练素材。

14.4.3　用频率分布直方图估计总体分布14.4.4　百分位数 1 1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律（数据分析）. 2.结合实例，理解百分位数的统计含义，能用样本估计百分位数（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 某大学专业课程考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考. 【问题】　如何确定需要补考的分数线？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　百分位数 1. 定义：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数 据中至少有 的数据小于或等于pk，且至少有 ⁠的 数据大于或等于pk. k百分位数也称为第k百分位数或k%分位数. 如果将样本数据 ，那么k百分位数pk所处位置如 图所示. k%　 （100－k）%　 从小到大排列成一行　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 计算一组n个数据的k百分位数的步骤 通常，我们按如下方法计算有n个数据的大样本的k百分位数： 第1步 将所有数值按从小到大的顺序排列； 第2步 计算 ⁠； 第3步　如果结果为整数，那么k百分位数位于第 位和下一位数 之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数； 第4步　如果n· 不是整数，那么将其 （即其整数部分加上 1），在该位置上的数值即为k百分位数. n· 　 n· 　 向上取整　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 四分位数 25，50，75这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因 此称为四分位数，其中，中位数即为50百分位数，25百分位数也称为下四 分位数，75百分位数也称为上四分位数. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 1. 某组数据的k百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？ 提示：不一定.因为按照计算k百分位数的步骤，第2步计算所得的n· 如 果是整数，则k百分位数为第n· 位和下一位数值的平均数，若第n· 位和下一位数值不相等，则k百分位数在此组数据中就不存在. 2. 班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里 的“90%”是百分位数吗？ 提示：不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列表述不正确的是（　　） A. 第p百分位数可以有单位 B. 一个总体的四分位数有4个 C. 样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确 D. 对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则小明得 了95分 √ √ 解析： 　易知A、C正确；一个总体的四分位数有3个，故B错误；第95 百分位数是指把数据从小到大排序，至少有95%的数据小于或等于这个 值，至少有5%的数据大于或等于这个值，故D错误.故选B、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是（　　） A. 这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平 均数 解析： 　因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平 均数为75%分位数，是9.3，故C正确.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. （2025·南京期末）数据4，1，6，2，9，5，8的60百分位数为 ⁠. 解析：将数据从小到大排序：1，2，4，5，6，8，9，共7个，7×60%＝ 4.2，故第60百分位数为第5个数据6. 6　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜用频率分布直方图估计总体分布 【例1】　某校组织了航天知识竞赛，根据该 校男、女生人数比例，使用分层抽样的方法 随机调查了200名学生，统计他们的成绩（单 位：分），样本数据按照[40，50），[50， 60），…，[90，100]进行分组，得到如 图所示的频率分布直方图. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）求a的值并估计该校学生成绩的平均数（每组数据以该组区间的中点 值为代表）和中位数； 解： 由10×（0.001＋0.002＋0.017＋0.04＋a＋0.018）＝1， 得a＝0.022. 平均数为10×（45×0.001＋55×0.002＋65×0.017＋75×0.04＋ 85×0.022＋95×0.018）＝78.4（分）. 设这200名学生成绩的中位数为m， 由频率分布直方图可知m∈[70，80）， 且（0.001＋0.002＋0.017）×10＋0.04×（m－70）＝0.5， 解得m＝77.5（分）. 估计该校学生成绩的平均数和中位数分别为78.4分，77.5分. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知样本中有 的男生的成绩小于80分，成绩不小于80分的男、女生 人数相等，则估计该校男生与女生的人数之比. 解： 由频率分布直方图可知样本中成绩不小于80分的人数为（0.022 ＋0.018）×10×200＝80. 由题意知这80人中有40人是男生， 又因为成绩小于80分的男生占样本中男生人数的 ， 故这40名男生占样本中所有男生人数的 ， 因此样本中男生人数为120，女生人数为80， 因此样本是采用分层抽样的方法得到的， 故估计该校男生与女生的人数之比为120∶80＝3∶2. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 解决与频率分布直方图有关问题的关系式 （1） ×组距＝频率； （2） ＝频率，此关系式的变形为 ＝样本容量，样本容量× 频率＝频数. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　某地区的经济林共有树木8万棵，为了解经济林的生长情况，随机测量其中20棵树木的底部周长，树木的底部周长数据（单位：cm）统计如下表： 分组 频数 频率 频率/组距 [180，200） 1 0.05 0.002 5 [200，220） 1 0.05 0.002 5 [220，240） 2 0.10 0.005 0 [240，260） 3 0.15 0.007 5 [260，280） 4 0.20 0.010 0 [280，300） 6 0.30 0.015 0 [300，320） 2 0.10 0.005 0 [320，340] 1 0.05 0.002 5 合计 20 1 0.050 0 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）绘制频率分布直方图； 解： 频率分布直方图如图所示. （2）估计这8万棵树木中底部周长不低于280 cm的有多少棵； 解： 由题意得8×（0.30＋0.10＋0.05）＝3.6（万棵）， 所以估计8万棵树木中底部周长不低于280 cm有3.6万棵. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替，估计这8万棵树木底 部周长的平均周长是多少？ 解： 由频率直方图得 ＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋ 250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269 （cm）. 故估计这8万棵树木底部周长的平均周长是269 cm. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜百分位数的计算 【例2】　（链接教科书第261页例11）从某珍珠加工公司生产的产品中， 任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单位：g）如下： 7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0. （1）求这组数据的下四分位数和上四分位数； 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解： 下四分位数为25百分位数，上四分位数为75百分位数， 将所有数据从小到大排列，得 7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据，所以12× ＝3， 又这组数据的第3和第4位数分别是8.0和8.3， 所以这组数据的下四分位数是 ＝8.15； 又12× ＝9，这组数据的第9和第10位数分别是8.6和8.9， 所以这组数据的上四分位数是 ＝8.75. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求这组数据的95百分位数； 解： 因为共有12个数据，所以12× ＝11.4， 将11.4向上取整得整数12，由（1）得，从小到大排序后的数据的第12位 数是9.9. 所以95百分位数是第12个数据为9.9. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）若用25、75、95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格 品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的 划分标准. 解： 由（1）可知样本数据的25百分位数是8.15，75百分位数为 8.75，95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量 大于8.15 g且小于或等于8.75 g的珍珠为合格品，质量大于8.75 g且小于等 于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 计算一组n个数据的k百分位数的步骤 （1）排序：将所有数值按照从小到大的顺序排列； （2）计算i：计算i＝n×k%； （3）定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则k百分位数为第j项数 据；若i是整数，则k百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最 低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图， 由图可知这10天最低气温的80百分位数是（　） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 　由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列 为：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以 10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的80百分位数是 ＝2. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的65百分位数是4.5，则 实数x的取值范围是（　　） A. [4.5，＋∞） B. [4.5，6.6） C. （4.5，＋∞） D. [4.5，6.6] √ 解析： 　因为8× ＝5.2，所以这组数据的65百分位数是第6项数据 4.5，则x≥4.5，故选A. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜百分位数的综合应用 【例3】　某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每 户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/ 千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收 费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：千瓦 时）的函数解析式； 解： 当0≤x≤200时，y＝0.5x； 当200＜x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×（x－200）＝0.8x－60； 当x＞400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×（x－400）＝x－140. 所以y与x之间的函数解析式为 y＝ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每 户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民 中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值； 解： 由（1）可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦 时的占80%， 结合频率分布直方图可知 解得a＝0.001 5，b＝0.002 0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）根据（2）中求得的数据计算用电量的75百分位数. 解： 设75百分位数为m， 因为用电量低于300千瓦时的频率为（0.001＋0.002＋0.003）×100＝ 0.6， 用电量不超过400千瓦时的频率为0.8， 所以75百分位数m在[300，400）内， 所以0.6＋（m－300）×0.002＝0.75， 解得m＝375千瓦时，即用电量的75百分位数为375千瓦时. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 　（变设问）根据（2）中求得的数据计算用电量的15百分位数. 解：设15百分位数为n，因为用电量低于100千瓦时的频率为0.001×100＝ 0.1，用电量不超过200千瓦时的频率为0.3， 所以15百分位数n在[100，200）内， 所以0.1＋（n－100）×0.002＝0.15， 解得n＝125千瓦时，即用电量的15百分位数为125千瓦时. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　频率分布直方图中p百分位数的求解方法 （1）确定p百分位数所在的区间[a，b）； （2）确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则p百分 位数为a＋ ×（b－a）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　从某校随机抽取100名学生，获取了他们一周课外阅读时间（单位：小 时）的数据，整理得到数据分组及频率分布表如下： 排号 分组 频数 频率 1 [0，2） 6 0.06 2 [2，4） 8 0.08 3 [4，6） 17 b 4 [6，8） 22 0.22 5 [8，10） 25 0.25 数学·必修第二册（SJ） 目 录 排号 分组 频数 频率 6 [10，12） 12 0.12 7 [12，14） a 0.06 8 [14，16） 2 0.02 9 [16，18] 2 0.02 合计 100 1 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）求频率分布表中a，b的值； 解： a＝0.06×100＝6，b＝ ＝0.17. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）计算这组数据的50%分位数，并估计是否有50%的学生的阅读时间达 到7.68小时. 解： 阅读时间小于6小时的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＝0.31， 阅读时间小于8小时的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＋0.22＝0.53， 所以50%分位数在[6，8）内， 所以50%分位数约为6＋2× ≈7.73. 因为7.73＞7.68， 所以估计有50%的学生的阅读时间达到7.68小时. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 有统计部门记录了某城市轨道交通1号线中的10个车站在某个时间点上 车的人数，统计数据如下：70，60，60，50，60，40，40，30，30，10. 则这组数据的60百分位数是（　　） A. 50 B. 55 C. 60 D. 40 √ 解析： 　将数据从小到大排序为10，30，30，40，40，50，60，60， 60，70.因为数据个数为10，且10× ＝6，所以这组数据的60百分位数 为 ＝55.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 为全面普及科学知识，激发青少年探索未来创造力与想象力，提升青少 年科学素养和创新能力，某校选拔参加科学竞赛决赛的8位同学的成绩 （单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75 百分位数是（　　） A. 86 B. 87 C. 88 D. 90 √ 解析： 　因为8×75%＝6，所以这组数据的第75百分位数是 ＝87. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体 重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.根据此图， 估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的人数为 ⁠. 360　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：由题中频率分布直方图，得这100名高中男生体重不小于70.5 kg的 频率是（0.04＋0.035＋0.015）×2＝0.18，所以估计该校2 000名高中男 生中体重不小于70.5 kg的频率是0.18，则估计该校2 000名高中男生中体 重不小于70.5 kg的人数为2 000×0.18＝360. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 求下列数据的四分位数. 13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20. 解：把12个数据按从小到大的顺序排列可得：12，13，15，18，19，20， 22，24，27，28，30，31， 计算12× ＝3，12× ＝6，12× ＝9， 所以数据的25百分位数为 ＝16.5， 50百分位数为 ＝21， 75百分位数为 ＝27.5. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. （2025·扬州期末）数据63，65，70，73，76，78，80，84，88，90的 45百分位数为（　　） A. 73 B. 76 C. 77 D. 78 解析： 　因为10×45%＝4.5，所以这10个数据的45百分位数为第5个数 76.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 高一年级共有1 000名学生参加物理测试，若所有学生成绩（单位： 分）的第80百分位数是75，则物理成绩大于或等于75分的学生数至少有 （　　） A. 200 B. 220 C. 240 D. 260 √ 解析： 　由1 000× ＝800，所以小于75分的学生最多有800人，所以 大于或等于75分的学生至少有200人.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 某班学生体检中检查视力的结果如下表，从表中可以看出，全班视力数 据的30%分位数是（　　） 视力 0.6及 以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0及 以上 占全班人数 的百分比 2% 5% 3% 20% 65% 5% A. 0.9 B. 1.0 √ C. 0.7 D. 0.6及以下 解析： 　从表中看出，视力为0.9及以下的人数占的百分比为2%＋5%＋ 3%＋20%＝30%，所以全班视力数据的30%分位数为0.9.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其 频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到 12时的销售额为（　　） A. 6万元 B. 8万元 C. 10万元 D. 12万元 √ 解析： 　因为9时至10时的销售额为2.5万元， 又9时至10时的频率为0.1，11时至12时的频率 为0.4，故11时至12时的销售额为 ×0.4＝10 （万元）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的 有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1 人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是（　　） A. 82.5 B. 85 C. 90 D. 92.5 √ 解析： 　根据题意，20× ＝14，这个学习小组成员该次数学测试成绩 的第14项为90，第15项为95，故第70百分位数为 ＝92.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕某校高一（1）班某次测 试数学成绩累积频数分布折线图如图 所示，则下列说法正确的是（　　） A. 没有人的成绩在30～40分这组内 B. 第50百分位数位于60～70分这组内 C. 第25百分位数位于40～50分这组内 D. 第75百分位数位于70～80分这组内 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题图知没有人的成绩在30～40分这组内，故A正确；由 40× ＝20，取第20、21项数据的平均数，所以第50百分位数位于60～ 70分这组内，故B正确；由40× ＝10，取第10、11项数据的平均数，所 以第25百分位数位于40～50分这组内，故C正确；由40× ＝30，取第 30、31项数据的平均数，所以第75百分位数位于60～70分这组内，故D不 正确.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 按从小到大顺序排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65， 70，若这组数据的下四分位数与上四分位数的和是73，则m＝ ⁠. 解析：对于按从小到大顺序排列的9个数据：10，16，25，33，39，43， m，65，70，因为9× ＝2.25，所以下四分位数为25.因为9× ＝ 6.75，所以上四分位数为m，所以25＋m＝73，解得 m＝48. 48　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 在共有100名学生参加的某项测试中，小张的成绩排名是第75名，小李 的成绩是75百分位数，则他们两人中成绩较好的是 ⁠. 解析：因为小李的成绩是75百分位数，所以约有75名学生的成绩比小李 低，即小李的排名大约为第25名，因为小张的成绩排名是第75名，所以小 李成绩较好. 小李　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间， 将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17）， [17，18]，得到如图所示的频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形 的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的第70百分位数约为 秒. 16.5　 解析：设成绩的第70百分位数为x，因为 ＝0.55， ＝0.85，所以x∈[16，17）， 所以0.55＋（x－16）× ＝0.70，解 得x＝16.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使 用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据 分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如图所示 的频率分布直方图： （1）估计总体400名学生中分数小于70的人数； 解： 根据频率分布直方图可知，样本中 分数不小于70的频率为（0.02＋0.04）×10 ＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－ 0.6＝0.4. 所以总体400名学生中分数小于70的人数约为 400×0.4＝160. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间 [40，50）内的人数； 解： 根据题意，样本中分数不小于50的 频率为（0.01＋0.02＋0.04＋0.02）×10＝ 0.9， 分数在区间[40，50）内的人数为100－ 100×0.9－5＝5. 所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为400× ＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用（2）中的数 据，确定本次测试的及格分数线. 解： 由（2）可知，分数小于50的频率 为 ＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1 ＝0.2，所以分数的第15百分位数在[50， 60）内，由50＋10× ＝55，则本次考 试的及格分数线为55分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下： 分位数 50%分位数 70%分位数 80%分位数 90%分位数 用电量/（kW·h） 160 176 215 230 如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯 内，可确定第二阶梯电价的用电量范围为（　　） A. （160，176] B. （176，215] C. （176，230] D. （230，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： ∵约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶 梯内，∴由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量范围为（176，230].故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕甲、乙两人在一次射 击比赛中各射靶5次，两人成绩的 条形统计图如图所示，则（　　） A. 甲的成绩的平均数小于乙的成 绩的平均数 B. 甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 C. 甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数 D. 甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题图可得， ＝ ＝6， ＝ ＝6，A项 错误，B项正确；甲的成绩的第80百分位数是 ＝7.5，乙的成绩的第80 百分位数是 ＝7.5，所以二者相等，C项正确；甲的成绩的极差为4，乙 的成绩的极差也为4，D项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 小明班上有15名女生，其身高（单位：cm）的第25百分位数为155， 后来转走了一位身高为165 cm的女生，则班上女生身高的第25百分位 数 .（填“变大”“变小”或“不变”） 解析：当班上有15名女生时，由15× ＝3.75，可知女生身高的第25百 分位数是第4项数据，当转走1人，剩下14名女生时，由14× ＝3.5，可 知女生身高的第25百分位数是第4项数据，易知转走女生的身高数据不在 前4项，所以班上女生身高的第25百分位数不变. 不变　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民 节约用水，即确定一户居民月均用水量标准x（单位：t），用水量不超过 x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.现通过简单随机抽样获得 了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），并将数据按照[0，4）， [4，8），…，[16，20]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）设该市共有20万居民用户，试估计全市居民用户月均用水量不高于 12 t的用户数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解： 由频率分布直方图可得（a＋ 0.06＋0.11＋a＋0.02）×4＝1，解得a ＝0.03. 居民用户月均用水量不超过12 t的频率为 （0.03＋0.06＋0.11）×4＝0.80， 所以估计全市20万居民用户中月均用水量不高于12 t的用户数为20×0.80＝16（万）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若该市政府希望使85%的居民用户月均用水量不超过标准x t，试估计 x的值（精确到0.01）； 解： 由频率分布直方图知，居民用 户月均用水量不超过12 t 的频率为0.80. 月均用水量不超过16 t的频率为0.92.则 85%的居民用户月均用水量不超过的标 准x∈[12，16），故0.80＋0.03（x－12）＝0.85，解得x≈13.67，即x的值为13.67. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）假设该市最终确定三级阶梯价制如下： 级差 水量基数x（单位：t） 水费价格（元/t） 第一阶梯 x≤14 1.4 第二阶梯 14＜x≤20 2.1 第三阶梯 x＞20 2.8 小明家上个月需支付水费共28元，试求小明家上个月的用水量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解： 因为19.6＝14×1.4＜28＜14×1.4＋（20－14）×2.1＝32.2.所以 小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费，未达到第三阶梯收费. 设小明家上个月的用水量为m t，由28＝14×1.4＋（m－14）×2.1，得m＝18，所以小明家上个月的用水量为18 t. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $