14.4.3 用频率分布直方图估计总体分布14.4.4 百分位数(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦用频率分布直方图估计总体分布及百分位数两大核心知识点，先通过实例引入百分位数定义、计算步骤及四分位数概念，再结合直方图进行综合应用，构建从概念到计算再到实践的学习支架。 资料以大学补考分数线等实际问题驱动，培养数学眼光，通过规范计算步骤和例题解析发展数学思维，结合直方图应用强化数据观念。课中辅助教师高效授课，课后练习题助力学生巩固，提升数据分析与运算能力。

14.4.3　用频率分布直方图估计总体分布 14.4.4　百分位数 【基础落实】 知识点 1.k％　（100－k）％　从小到大排列成一行　2.n·　n·　向上取整 想一想 1.提示：不一定.因为按照计算k百分位数的步骤，第2步计算所得的n·如果是整数，则k百分位数为第n·位和下一位数值的平均数，若第n·位和下一位数值不相等，则k百分位数在此组数据中就不存在. 2.提示：不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比. 自我诊断 1.BD　易知A、C正确；一个总体的四分位数有3个，故B错误；第95百分位数是指把数据从小到大排序，至少有95％的数据小于或等于这个值，至少有5％的数据大于或等于这个值，故D错误.故选B、D. 2.C　因为100×75％＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75％分位数，是9.3，故C正确.故选C. 3.6　解析：将数据从小到大排序：1，2，4，5，6，8，9，共7个，7×60％＝4.2，故第60百分位数为第5个数据6. 【典例研析】 【例1】　解：（1）由10×（0.001＋0.002＋0.017＋0.04＋a＋0.018）＝1， 得a＝0.022. 平均数为10×（45×0.001＋55×0.002＋65×0.017＋75×0.04＋85×0.022＋95×0.018）＝78.4（分）. 设这200名学生成绩的中位数为m， 由频率分布直方图可知m∈[70，80）， 且（0.001＋0.002＋0.017）×10＋0.04×（m－70）＝0.5， 解得m＝77.5（分）. 估计该校学生成绩的平均数和中位数分别为78.4分，77.5分. （2）由频率分布直方图可知样本中成绩不小于80分的人数为（0.022＋0.018）×10×200＝80. 由题意知这80人中有40人是男生， 又因为成绩小于80分的男生占样本中男生人数的， 故这40名男生占样本中所有男生人数的， 因此样本中男生人数为120，女生人数为80， 因此样本是采用分层抽样的方法得到的， 故估计该校男生与女生的人数之比为120∶80＝3∶2. 跟踪训练 　解：（1）频率分布直方图如图所示. （2）由题意得8×（0.30＋0.10＋0.05）＝3.6（万棵）， 所以估计8万棵树木中底部周长不低于280 cm有3.6万棵. （3）由频率直方图得＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269（cm）. 故估计这8万棵树木底部周长的平均周长是269 cm. 【例2】　解：（1）下四分位数为25百分位数，上四分位数为75百分位数， 将所有数据从小到大排列，得 7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据，所以12×＝3， 又这组数据的第3和第4位数分别是8.0和8.3， 所以这组数据的下四分位数是＝8.15； 又12×＝9，这组数据的第9和第10位数分别是8.6和8.9， 所以这组数据的上四分位数是＝8.75. （2）因为共有12个数据，所以12×＝11.4， 将11.4向上取整得整数12，由（1）得，从小到大排序后的数据的第12位数是9.9. 所以95百分位数是第12个数据为9.9. （3）由（1）可知样本数据的25百分位数是8.15，75百分位数为8.75，95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.75 g的珍珠为合格品，质量大于8.75 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品. 跟踪训练 1.D　由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以10×80％＝8，是整数，则这10天最低气温的80百分位数是＝2. 2.A　因为8×＝5.2，所以这组数据的65百分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A. 【例3】　解：（1）当0≤x≤200时，y＝0.5x； 当200＜x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×（x－200）＝0.8x－60； 当x＞400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×（x－400）＝x－140. 所以y与x之间的函数解析式为 y＝ （2）由（1）可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80％， 结合频率分布直方图可知 解得a＝0.001 5，b＝0.002 0. （3）设75百分位数为m， 因为用电量低于300千瓦时的频率为（0.001＋0.002＋0.003）×100＝0.6， 用电量不超过400千瓦时的频率为0.8， 所以75百分位数m在[300，400）内， 所以0.6＋（m－300）×0.002＝0.75， 解得m＝375千瓦时，即用电量的75百分位数为375千瓦时. 母题探究 　解：设15百分位数为n，因为用电量低于100千瓦时的频率为0.001×100＝0.1，用电量不超过200千瓦时的频率为0.3， 所以15百分位数n在[100，200）内， 所以0.1＋（n－100）×0.002＝0.15， 解得n＝125千瓦时，即用电量的15百分位数为125千瓦时. 跟踪训练 　解：（1）a＝0.06×100＝6，b＝＝0.17. （2）阅读时间小于6小时的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＝0.31， 阅读时间小于8小时的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＋0.22＝0.53， 所以50％分位数在[6，8）内， 所以50％分位数约为6＋2×≈7.73. 因为7.73＞7.68， 所以估计有50％的学生的阅读时间达到7.68小时. 随堂检测 1.B　将数据从小到大排序为10，30，30，40，40，50，60，60，60，70.因为数据个数为10，且10×＝6，所以这组数据的60百分位数为＝55.故选B. 2.B　因为8×75％＝6，所以这组数据的第75百分位数是＝87. 3.360　解析：由题中频率分布直方图，得这100名高中男生体重不小于70.5 kg的频率是（0.04＋0.035＋0.015）×2＝0.18，所以估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的频率是0.18，则估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的人数为2 000×0.18＝360. 4.解：把12个数据按从小到大的顺序排列可得：12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31， 计算12×＝3，12×＝6，12×＝9， 所以数据的25百分位数为＝16.5， 50百分位数为＝21， 75百分位数为＝27.5. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.4.3　用频率分布直方图估计总体分布 14.4.4　百分位数 课标要求 1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律（数据分析）. 2.结合实例，理解百分位数的统计含义，能用样本估计百分位数（数学运算）. 某大学专业课程考试结果揭晓，根据规定，0.8％的同学需要补考. 【问题】　如何确定需要补考的分数线？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　百分位数 1.定义：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有　　　　的数据小于或等于pk，且至少有　　　　　　的数据大于或等于pk. k百分位数也称为第k百分位数或k％分位数. 如果将样本数据　　　　　　　　，那么k百分位数pk所处位置如图所示. 2.计算一组n个数据的k百分位数的步骤 通常，我们按如下方法计算有n个数据的大样本的k百分位数： 第1步　将所有数值按从小到大的顺序排列； 第2步　计算　　　　； 第3步　如果结果为整数，那么k百分位数位于第　　　　位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数； 第4步　如果n·不是整数，那么将其　　　　　　（即其整数部分加上1），在该位置上的数值即为k百分位数. 3.四分位数 25，50，75这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中，中位数即为50百分位数，25百分位数也称为下四分位数，75百分位数也称为上四分位数. 【想一想】 1.某组数据的k百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？ 2.班级人数为50的班主任老师说“90％的同学能够考取本科院校”，这里的“90％”是百分位数吗？ 1.〔多选〕下列表述不正确的是（　　） A.第p百分位数可以有单位 B.一个总体的四分位数有4个 C.样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确 D.对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则小明得了95分 2.已知100个数据的75％分位数是9.3，则下列说法正确的是（　　） A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数 3.（2025·南京期末）数据4，1，6，2，9，5，8的60百分位数为　　　　. 题型一｜用频率分布直方图估计总体分布 【例1】　某校组织了航天知识竞赛，根据该校男、女生人数比例，使用分层抽样的方法随机调查了200名学生，统计他们的成绩（单位：分），样本数据按照[40，50），[50，60），…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值并估计该校学生成绩的平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表）和中位数； （2）已知样本中有的男生的成绩小于80分，成绩不小于80分的男、女生人数相等，则估计该校男生与女生的人数之比. 通性通法 解决与频率分布直方图有关问题的关系式 （1）×组距＝频率； （2）＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数. 【跟踪训练】 　某地区的经济林共有树木8万棵，为了解经济林的生长情况，随机测量其中20棵树木的底部周长，树木的底部周长数据（单位：cm）统计如下表： 分组 频数 频率 频率/组距 [180，200） 1 0.05 0.002 5 [200，220） 1 0.05 0.002 5 [220，240） 2 0.10 0.005 0 [240，260） 3 0.15 0.007 5 分组 频数 频率 频率/组距 [260，280） 4 0.20 0.010 0 [280，300） 6 0.30 0.015 0 [300，320） 2 0.10 0.005 0 [320，340] 1 0.05 0.002 5 合计 20 1 0.050 0 （1）绘制频率分布直方图； （2）估计这8万棵树木中底部周长不低于280 cm的有多少棵； （3）假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替，估计这8万棵树木底部周长的平均周长是多少？ 题型二｜百分位数的计算 【例2】　（链接教科书第261页例11）从某珍珠加工公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单位：g）如下： 7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0. （1）求这组数据的下四分位数和上四分位数； （2）求这组数据的95百分位数； （3）若用25、75、95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准. 通性通法 计算一组n个数据的k百分位数的步骤 （1）排序：将所有数值按照从小到大的顺序排列； （2）计算i：计算i＝n×k％； （3）定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则k百分位数为第j项数据；若i是整数，则k百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数. 【跟踪训练】 1.如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的80百分位数是（　　） A.－2　　 B.0　　　C.1　　 D.2 2.数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是（　　） A.[4.5，＋∞）　 B.[4.5，6.6） C.（4.5，＋∞）　 D.[4.5，6.6] 题型三｜百分位数的综合应用 【例3】　某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费. （1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：千瓦时）的函数解析式； （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80％，求a，b的值； （3）根据（2）中求得的数据计算用电量的75百分位数. 【母题探究】 　（变设问）根据（2）中求得的数据计算用电量的15百分位数. 通性通法 　　频率分布直方图中p百分位数的求解方法 （1）确定p百分位数所在的区间[a，b）； （2）确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa％，fb％，则p百分位数为a＋×（b－a）. 【跟踪训练】 　从某校随机抽取100名学生，获取了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频率分布表如下： 排号 分组 频数 频率 1 [0，2） 6 0.06 2 [2，4） 8 0.08 3 [4，6） 17 b 4 [6，8） 22 0.22 5 [8，10） 25 0.25 6 [10，12） 12 0.12 7 [12，14） a 0.06 8 [14，16） 2 0.02 9 [16，18] 2 0.02 合计 100 1 （1）求频率分布表中a，b的值； （2）计算这组数据的50％分位数，并估计是否有50％的学生的阅读时间达到7.68小时. 1.有统计部门记录了某城市轨道交通1号线中的10个车站在某个时间点上车的人数，统计数据如下：70，60，60，50，60，40，40，30，30，10.则这组数据的60百分位数是（　　） A.50　　 B.55　　　C.60　　 D.40 2.为全面普及科学知识，激发青少年探索未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，某校选拔参加科学竞赛决赛的8位同学的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（　　） A.86　 B.87　　C.88　 D.90 3.为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.根据此图，估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的人数为　　　　. 4.求下列数据的四分位数. 13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20. 提示：完成课后作业　第十四章　14.4　14.4.3　14.4.4 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $