14.4.3 用频率分布直方图估计总体分布-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦“用频率分布直方图估计总体分布”核心知识点，系统梳理样本平均数、方差计算与统计图表的关系，搭建从样本数据处理到总体估计的学习支架，巩固对集中趋势与离散程度参数的理解。 该资料采用习题讲评式教学，通过企业质量指标估计、超市销售额分析、刷头购买决策等实例，引导学生用数学眼光观察数据特征，用数学思维分析现实问题，用数学语言表达结论。课中助力教师高效授课，课后帮助学生强化练习，弥补知识盲点。

14.4.3　用频率分布直方图估计总体分布 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标]　进一步理解样本估计总体的集中趋势参数与离散程度参数，掌握统计图表与数字特征的关系. 题型(一)　统计图表与样本数据相结合 [例1]　从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图: (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表); (2)产品质量指标值在185与215之间的每个盈利200元，在175与185或215与225之间的每个亏损50元，其余的每个亏损300元.该企业共生产这种产品10 000个，估计这批产品可获利或亏损多少元? 解:(1)样本平均数=(170×0.002+180×0.009+190×0.022+200×0.033+210×0.024+220×0.008+230×0.002)×10=200， s2=(170-200)2×0.002×10+(180-200)2×0.009×10+(190-200)2×0.022×10+(200-200)2×0.033×10+(210-200)2×0.024×10+(220-200)2×0.008×10+(230-200)2×0.002×10=150. (2)由频率分布直方图可知，质量指标值在[185，215)的频率为(0.022+0.033+0.024)×10=0.79， 质量指标值在[175，185)和[215，225)的频率为(0.009+0.008)×10=0.17， 质量指标值在[165，175)和[225，235]的频率为 0.002×2×10=0.04， 所以10 000件产品的获利情况是(200×0.79-50×0.17-300×0.04)×10 000=1 375 000元. [针对训练] 1.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组.已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如图所示. (1)若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”，已知该校高一年级有1 000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良生”的人数; (2)用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分; (3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且a∈[70，80)，b∈[80，90)，c∈[90，100]，当三人的体育成绩方差s2最小时，写出a，b，c的所有可能取值.(不要求证明) 解:(1)由折线图知，体育成绩大于或等于70分的学生有14+3+13=30(人)， 所以估计该校高一年级学生“体育良生”的人数为1 000×=750. (2)用样本估计总体的思想，估计该校高一年级学生达标测试的平均分为=(45×2+55×6+65×2+75×14+85×3+95×13)=77.25(分). (3)因为甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c， 且a∈[70，80)，b∈[80，90)，c∈[90，100]，其中a，b，c∈N，所以当三人的体育成绩方差s2最小时， a，b，c的所有可能取值为79，84，90或79，85，90. 题型(二)　样本估计总体思想的应用 [例2]　某超市有甲、乙两家分店，为调查两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店20天的日销售额(单位:万元)，分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下: (1)比较甲、乙两店日销售额的平均数的大小(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)若规定分店一年(按360天计算)中日销售额不低于55万的天数不少于120天为运转良好，请结合上图，分析两家分店上个年度运转是否良好? (3)如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由. 解:(1)由题图估算甲店的日销售额平均数为 =10×0.1+30×0.1+50×0.6+70×0.15+90×0.05=49， 估算乙店的日销售额平均数为=10×0.2+30×0.25+50×0.25+70×0.1+90×0.2=47.>. (2)由题意，得日销售额不低于55万的天数占比不少于=. 甲店日销售额不低于55万的频率约为(60-55)×0.03+20×0.007 5+20×0.002 5=0.35， 乙店日销售额不低于55万的频率约为(60-55)×0.012 5+20×0.005+20×0.010=0.362 5， 两者均大于，两店均运转良好. (3)答案一:甲店日销售额平均值略高于乙店，由频率分布直方图可知.甲店的销售额方差明显低于乙店，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店. 答案二:虽然甲店日销售额平均值略高于乙店，但乙店日销售额在80万~100万出现的频率比甲店高，故我认为乙店更有潜力，所以我选乙店.(答出一个即可) [针对训练] 2.某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位:克)，将重量按照[120，140)，[140，160)，[160，180)，[180，200]进行分组，得到频率分布直方图如图所示(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表). (1)估计这批苹果的重量的平均数; (2)该果园准备把这批苹果销售给一家超市，据市场行情，有两种销售方案; 方案一:所有苹果混在一起，价格为2.5元/千克; 方案二:将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为3元/千克，重量小于160克的苹果的价格为2元/千克，但果园需支付每1 000个苹果5元的分拣费. 分别估计并比较两种方案下果园销售10 000个苹果的收入. 解:(1)由题意，得(0.016+0.015+a+0.009)×20=1，解得a=0.01. 50个苹果重量的平均数为=0.2×130+0.3×150+0.32×170+0.18×190=159.6， 故估计这批苹果的重量的平均数约为159.6克. (2)若采用方案一，估计销售收入约为159.6×10 000×=3 990(元). 若采用方案二，重量小于160克的苹果的总重量约为(10 000×0.2×130+10 000×0.3×150)×=710(千克)， 重量不小于160克的苹果的总重量约为 (10 000×0.32×170+10 000×0.18×190)×=886(千克)， 估计销售收入约为710×2+886×3-50=4 028(元)， 因为3 990<4 028，因此方案二的销售收入更高. 题型(三)　统计与函数相结合 [例3]　某医生计划购买某种品牌的电动牙刷，预计使用寿命为5年，该电动牙刷的刷头在使用过程中需要更换.若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头，则每个刷头20元;若单独购买刷头，则每个刷头30元.某经销商随机调查了使用该品牌电动牙刷的100名医生在5年使用期内更换刷头的个数，得到下表: 更换刷头的个数 14 15 16 17 18 19 20 频数 8 8 10 24 28 12 10 用n(n∈N)表示1个该品牌电动牙刷在5年使用期内需更换刷头的个数，y表示购买刷头的费用(单位:元). (1)求这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数; (2)若购买1个该品牌电动牙刷的同时购买了18个刷头，求y关于n的函数解析式; (3)假设这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头或18个刷头，分别计算这100名医生购买刷头费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头还是18个刷头. 解:(1)由题可知8+8+10+24=50，所以这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数为=17.5. (2)若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头，则每个刷头20元;若单独购买刷头，则每个刷头30元， 则当n≤18时，y=360，当n>18时，y=360+30(n-18)=30n-180，所以y关于n的函数解析式为 y=n∈N. (3)若100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头，则其中有50名医生购买刷头的费用均为340元，28名医生购买刷头的费用均为370元，12名医生购买刷头的费用均为400元，10名医生购买刷头的费用均为430元， 因此这100名医生购买刷头的费用的平均数为×(50×340+28×370+12×400+10×430)=364.6(元). 若这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了18个刷头，则其中有78名医生购买刷头的费用均为360元，12名医生购买刷头的费用均为390元，10名医生购买刷头的费用均为420元， 因此这100名医生购买刷头的费用的平均数为×(78×360+12×390+10×420)=369.6(元). 因为364.6<369.6，所以购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头. [针对训练] 3.为调查某校学生的用电情况，学校后勤部门抽取了100间学生宿舍在某月的用电量，发现每间宿舍的用电量都在50度到350度之间，将其分组为[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350]，得到如图所示的频率分布直方图. (1)为降低能源损耗，节约用电，规定:当每间宿舍的月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用;当每间宿舍的月用电量超过200度时，超过部分按每度1元收取费用.用t(单位:度)表示某宿舍的月用电量，用y(单位:元)表示该宿舍的月用电费用，求y与t之间的函数关系式; (2)在抽取的100间学生宿舍中，月用电量在区间[200，250)内的学生宿舍有多少间? 解:(1)根据题意，得 当50≤t≤200时，月用电费用为y=0.5t; 当t>200时，月用电费用为y=200×0.5+(t-200)×1=t-100. 综上，宿舍的月用电费用为 y= (2)因为月用电量在[200，250)内的频率为50x=1-(0.006 0+0.003 6+0.002 4+0.002 4+0.001 2)×50=1-0.015 6×50=0.22，所以月用电量在[200，250)内的宿舍有100×0.22=22(间). 学科网（北京）股份有限公司 $