14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦用样本估计总体的离散程度参数这一核心知识点，承接样本估计集中趋势的学习，系统梳理极差、方差、标准差的定义、计算方法（含分层抽样总样本方差）及性质，构建统计推断的完整学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，通过基础训练与分层题型（如玉米苗株高比较、歌手打分案例），培养数学思维（运算推理）与数据意识，课中思维建模步骤助教师高效授课，课后针对训练帮学生巩固知识、查漏补缺。

14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数 　　　　　　　　　　　　　　　　[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差). 2.掌握求分层抽样总样本的平均数及方差的方法，理解离散程度参数的统计含义. 1.极差 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差. 2.方差 (1)方差的定义 一般地，设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，则称s2=2为这个样本的方差，简称样本方差. (2)方差的计算 ①s2=(xi-)2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. ②一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方差为p1(x1-)2+p2(x2-)2+…+pn(xn-)2. ③一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，，第j层的样本量为nj，样本平均数为，样本方差为，j=1，2，…，k.记 n，那么，所有数据的样本方差为=(xjt-)2= (3)方差的性质 设数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，方差为s2，则 ②数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差也为s2; ③数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2; ④数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为a2s2. 3.标准差 方差的算术平方根s=为样本的标准差，简称样本标准差. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0. (　　) (2)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散. (　　) (3)在实际问题中要做出有效决策时，主要参照样本数据的平均数和标准差或方差. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√ 2.下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是 (　　) A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数 答案:C 3.已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为 (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选B　∵样本容量n=5，∴=(1+2+3+4+5)=3， ∴s= =. 4.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下:9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 (　　) A.9.4，0.484 B.9.4，0.016 C.9.5，0.04 D.9.5，0.016 解析:选D　==9.5， s2=(0.12×4+0.22)=0.016. 题型(一)　标准差、方差、极差的计算 [例1]　某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位:分): 甲组:60，90，85，75，65，70，80，90，95，80; 乙组:85，95，75，70，85，80，85，65，90，85. 试分别计算两组数据的极差、方差和标准差. 解:甲组:最高分为95分，最低分为60分，极差为95-60=35(分)， 平均分为=×(60+90+85+75+65+70+80+90+95+80)=79(分)， 方差为=×[(60-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+(80-79)2+(90-79)2+(95-79)2+(80-79)2]=119， 标准差为s甲==≈10.91(分). 乙组:最高分为95分，最低分为65分，极差为95-65=30(分)， 平均分为=×(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=81.5(分)， 方差为=×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2+(85-81.5)2+(80-81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2+(90-81.5)2+(85-81.5)2]=75.25， 标准差为s乙==≈8.67(分). |思|维|建|模| 计算标准差的5步骤 (1)求出样本数据的平均数. (2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi-(i=1，2，…，n). (3)求出xi-(i=1，2，…，n)的平方值. (4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差. (5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差. [针对训练] 1.从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得它们的株高(单位:cm)如下: 甲:25，41，40，37，22，14，19，39，21，42; 乙:27，16，44，27，44，16，40，40，16，40. 求:(1)哪种玉米苗长得高? (2)哪种玉米苗长得齐? 解:(1)=×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30， 同理可计算得=31， ∴<，即乙种玉米苗长得高. (2)=×[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2]=104.2， 同理可计算得=128.8， ∵<，∴甲种玉米苗长得齐. 题型(二)　分层抽样的方差 [例2]　甲、乙两支田径队体检结果:甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300.又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么? 解:由题意可知=60，甲队队员在所有队员中所占比例为==70，乙队队员在所有队员中所占比例为=，则甲、乙两队全部队员的平均体重为=×60+×70=68(kg). 甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2=[200+(60-68)2]+[300+(70-68)2]=296. |思|维|建|模| 计算分层抽样的方差s2的步骤 (1)确定; (2)确定; (3)应用公式s2=[+(-)2]+[+(-)2]，计算s2. [针对训练] 2.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9;乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.若将甲、乙两同学抽取的样本合在一起，组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本平均数与方差.(结果精确到0.1) 解:设甲抽到的一组样本数据为x1，x2，…，x10，乙抽到的一组样本数据为y1，y2，…，y8. 由题意知，甲同学抽取的样本的平均数==5，乙同学抽取的样本的平均数==6; 甲同学抽取的样本的方差=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=9， 乙同学抽取的样本的方差=[(y1-)2+(y2-)2+…+(y8-)2]=16. 合在一起后的样本平均数 ===≈5.4. 合在一起后的样本方差 s2={10[+(-)2]+8[+(-)2]} = =≈12.4.综上，合在一起后的样本平均数约为5.4，方差约为12.4. 题型(三)　数据的数字特征的综合应用 [例3]　甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示. (1)分别求出两人得分的平均数与方差; (2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价. 解:(1)由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲:10，13，12，14，16; 乙:13，14，12，12，14. =(10+13+12+14+16)=13， =(13+14+12+12+14)=13， =×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4， =×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8. (2)>可知乙的成绩较稳定. 从题图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高. |思|维|建|模| 数据分析的要点 (1)要正确处理此类问题，要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析. (2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的. 　　[针对训练] 3.在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表: 分数 50 60 70 80 90 100 人 数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由. 解:(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些. (2)=(50×2+60×5+70×10+80×13+90×14+100×6)=×4 000=80， =(50×4+60×4+70×16+80×2+90×12+100×12) =×4 000=80. =[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172， =[4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2+12×(90-80)2+12×(100-80)2]=256. ∵=<，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些. (3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看，甲组的成绩较好. (4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看，乙组的成绩较好. 学科网（北京）股份有限公司 $