14.4.2 用样本估计总体的离散程度学案-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第二册问题导学单·第14章——统计 江苏省启东中学高一数学讲义 高一 班 姓名： 学号： A 第14章 统计 14.4　用样本估计总体 14.4.2　用样本估计总体的离散程度 【学习目标】 1．结合实例，能用样本(标准差、方差、极差)估计总体的离散程度； 2．理解离散程度参数的统计含义． 【温顾·习新】 一、一组数据的极差、样本方差、样本标准差 思考　如何刻画样本数据的分散程度？ 填空　(1)一组数据的极差：我们把一组数据的 与 的差称为极差． (2)样本方差和样本标准差：设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为＝ ，则称s2＝ 为这个样本的方差，其算术平方根s＝ 为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差． (3)一个方差的计算公式：一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方差为 ． 做一做　(1)在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　　) A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3 C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1 (2)一组数据2，x，4，6，10的平均数是5，则此组数据的标准差是________． 【研讨·拓展】 【例1】从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米苗长得高？(2)哪种玉米苗长得齐？ 【变式1-1】甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5 估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？ 【变式1-2】(多选)下列四个选项中，正确的是(　　) A．极差与方差都反映了数据的集中程度 B．方差是没有单位的统计量 C．标准差比较小时，数据比较分散 D．只有两个数据时，极差是标准差的2倍 【变式1-3】某选手的9个得分中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以x表示，9个分数分别为87，87，94，90，91，90，9x，99，91．若去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，则7个剩余分数的方差为(　　) A． B． C．36 D． 【变式1-4】某选手的9个得分中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以x表示，9个分数分别为87，87，94，90，91，90，9x，99，91．若去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，则7个剩余分数的方差为(　　) A． B． C．36 D． 【变式1-5】(多选)一组数据的平均数是，标准差是s，将这组数据中的每个数据都乘以2，所得到的一组新数据的平均值和标准差分别是(　　) A． B．2 C．s D．2s 【变式1-6】若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则(　　) A．＝5，s2<2 B．＝5，s2>2 C．>5，s2<2 D．>5，s2>2 【变式1-7】若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是________． 【变式1-8】由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________________．(从小到大排列) 【变式1-9】为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________． 【变式1-10】某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为(　　) A．s＝s1 B．s<s1 C．s>s1 D．不能确定 【例2】(设数据x1，x2，…，xn的方差为s2，求下列各组数据的方差． (1)x1＋b，x2＋b，…，xn＋b； (2)ax1，ax2，…，axn； (3)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b． 【变式2-1】(1)已知一组数据x1，x2，…，x8的平均数是2，方差为6，则数据x1－1，x2－1，…，xn－1的平均数是________，方差是________． (2)已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是－2，方差是4，则数据2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均数是________，方差是________． 【变式2-2】某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(　　) A．，s2＋1002 B．＋100，s2＋1002 C．，s2 D．＋100，s2 二、分层抽样数据的方差 思考　在分层抽样中用样本的数字特征来描述总体的数字特征时，通常从哪两个方面分析？ 提示　(1)分析数据的集中趋势或取值的平均水平，如平均数、众数、中位数．(2)分析数据的离散程度或围绕平均数波动的大小，如极差、方差和标准差．标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． 填空　一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，xjnj，第j层的样本量为nj，样本平均数为j，样本方差为s，j＝1，2，…，k．记nj＝n，那么，所有数据的样本方差为s＝ ． 班级 人数/人 平均分数/分 方差/分2 甲 20 甲 2 乙 30 乙 3 做一做　在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为(　　) A．3 B．2 C．2.6 D．2.5 【例3】甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ 【变式3-1】已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2022年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为________． 组别 平均数 标准差 第一组 90 4 第二组 80 6 【变式3-2】某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示： 求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差． 三、方差、标准差与统计图表的综合应用 【例4】甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示． (1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价． 【变式4-1】为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为____________(用“>”连接)． 【变式4-2】(多选)如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则(　　) A．A>B B．A<B C．sA>sB D．sA<sB 【总结提炼】 一、牢记2个知识点：1．方差、极差的计算与应用；2．分层抽样的方差． 二、掌握2种方法：1．数据统计；2．数据分析． 三、注意1个易错点：方差、标准差易混淆． 【拓展强化】 完成《微练习》相关课时作业 ·4· ·3· 学科网（北京）股份有限公司 $$