14.2.2 分层抽样-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“分层抽样”核心知识点，承接简单随机抽样，通过“逐点清”结构系统梳理概念内涵、比例计算方法及抽样方案设计，构建从理论理解到实际应用的学习支架。 资料以“微点助解”揭示分层必要性，“微点练明”结合教师健康调查、家庭收入抽样等实例，培养学生用数学眼光观察差异、用数学思维推理比例关系，课中逐点突破提升教学效率，课后练习助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

14.2.2　分层抽样[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.了解分层抽样的特点和适用范围，了解分层抽样的必要性. 2.掌握各层样本量比例分配的方法，并能掌握分层抽样中的有关计算问题. 3.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题. 逐点清(一)　分层抽样的概念 [多维理解] 　　一般地当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为“层”. |微|点|助|解| (1)通过分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征. (2)分层抽样如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大，且互不重叠，否则将失去分层的意义. (3)所有层都按同一抽取比例等可能抽取，以保证每个个体被等可能抽取. (4)根据实际情况，可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整. [微点练明] 1.某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是 (　　) A.抽签法 B.随机数表法 C.分层抽样 D.其他抽样方法 解析:选C　由于样本中年龄分为三个层次:老年，中年，青年，因此采取分层抽样方法. 2.下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是 (　　) A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本 C.从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间 D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 解析:选B　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样;C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层抽样;B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样. 3.现要完成下列两项抽样调查:①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查;②从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是 (　　) A.①简单随机抽样，②简单随机抽样 B.①分层抽样，②分层抽样 C.①分层抽样，②简单随机抽样 D.①简单随机抽样，②分层抽样 解析:选D　①中个体数量较少，且个体间无明显差异，故采用简单随机抽样;②中高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭的消费水平差异明显，故采用分层抽样.故选D. 4.对一个容量为N的总体抽取容量为n(n≥2)的样本，选取简单随机抽样和分层抽样两种不同方法抽取样本，在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为p1，某个体第一次被抽中的概率为p2;在分层抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为p3，则 (　　) A.p2<p1<p3 B.p1=p2=p3 C.p2<p1=p3 D.p1，p2，p3没有关系 解析:选B　根据抽样调查的原理可得简单随机抽样，分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p1=p2=p3. 逐点清(二)　分层抽样中的相关计算 [多维理解] 1.分层抽样的步骤 (1)将总体按一定标准分层; (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比; (3)按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量; (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样). 2.分层抽样中的两个比例关系 (1)=; (2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. [微点练明] 1.某中学有高中生1 800人，初中生1 200人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从学生中抽取一个容量为n的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n= (　　) A.48 B.72 C.60 D.120 解析:选D　由题意可知，分层抽样按照n∶3 000的比例进行抽取，则高中生抽取的人数为1 800×=;初中生抽取的人数为1 200×=.因为从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，所以-=24，解得n=120，故选D. 2.唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世.已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花n朵，千瓣类比单瓣类多30朵，采用分层抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2朵，千瓣类有6朵，则n= (　　) A.360 B.270 C.240 D.180 解析:选D　根据分层随机抽样的特点，设单瓣类、重瓣类、千瓣类的朵数分别为4x，2x，6x，由题意可得6x-4x=30，解得x=15，所以n=4x+2x+6x=12x=12×15=180.故选D. 3.(多选)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为5∶3∶2，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中B型号产品有24件，则 (　　) A.此样本的容量n为20 B.此样本的容量n为80 C.样本中A型号产品有40件 D.样本中A型号产品有16件 解析:选BC　依题意可得=，解得n=80，故A不正确，B正确;所以样本中A型号产品有80×=40件，故C正确，D不正确. 4.(多选)在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1 000名患者的相关信息，得到关于潜伏期与人数的表格: 潜伏期(单位:天) [0，2] (2，4] (4，6] (6，8] (8，10] (10，12] (12，14] 人数 85 205 310 250 130 15 5 已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，若从上述1 000名患者中抽取200人，得到右表. 潜伏期≤6天 潜伏期>6天 合计 50岁以上(含50岁) a b 100 50岁以下 55 c 100 则下列结果正确的是 (　　) A.a=65 B.b=45 C.c=45 D.b+c=80 解析:选ACD　由分层抽样的概念及计算方法可知，从这1 000名患者中抽取200人，其中潜伏期≤6天的人数为200×=120，所以a=120-55=65，b=100-65=35，c=100-55=45，b+c=35+45=80. 逐点清(三)　分层抽样的设计 [典例]　某中学举行了体育运动会，同时进行了全校精神文明擂台赛，为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别对全校500名教职工、3 000名初中生、4 000名高中生进行问卷调查. (1)如果要在所有问卷中抽出120份用于评估，请说明如何抽取才能得到比较客观的评估结论，并写出抽样过程. (2)要从3 000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应选什么方法?请说明理由. 解:(1)由于总体容量较大，这次活动对教职工、初中生、高中生产生的影响差异较大，故采取分层抽样的方法进行抽样才能得到比较客观的评估结论. 因为样本容量为120，总体容量为500+3 000+4 000=7 500， 所以抽取比例为=.所以500×=8，3 000×=48，4 000×=64， 即在教职工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.分层抽样的步骤如下: ①分层:分为教职工、初中生、高中生，共三层; ②确定每层抽取个体的个数:在教职工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64; ③各层分别按简单随机抽样的方法抽取个体; ④综合每层抽取的个体，组成样本. 这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评估结论. (2)简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数表法. 若用抽签法，则要做3 000个号签，费时费力，因此应采用随机数表法抽取样本. 　　|思|维|建|模|　分层抽样的步骤 [针对训练] 一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率.已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法进行抽样?并写出具体过程. 解:采用分层抽样的方法，其原因在于疾病与地理位置和水土均有关系，不同乡镇的发病情况差异明显，具体过程如下: ①将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层; ②按照样本容量的比例，随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×=60(人)，300×=40(人)，300×=100(人)，300×=40(人)，300×=60(人); ③将300人组到一起就得到一个样本. 学科网（北京）股份有限公司 $