14.2.2 分层抽样（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

14.2.2 分层抽样 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学) 课时目标 1.了解分层抽样的特点和适用范围,了解分层抽样的必要性. 2.掌握各层样本量比例分配的方法,并能掌握分层抽样中的有关计算问题. 3.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　分层抽样的概念 逐点清(二)　分层抽样中的相关计算 逐点清(三)　分层抽样的设计 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　分层抽样的概念 01 多维理解 一般地当总体由_________的几个部分组成时,为了使_____更客观地反映总体情况,我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分,然后按各个部分在总体中__________实施抽样,这种抽样方法叫作分层抽样,所分成的各个部分称为“层”. 差异明显 样本 所占的比 |微|点|助|解| (1)通过分层抽样所得到的样本,一般更具有代表性,可以更准确地反映总体的特征. (2)分层抽样如何分层要视具体情况而定,总的原则是每层内样本的差异要尽可能小,而层与层之间的差异要尽可能大,且互不重叠,否则将失去分层的意义. (3)所有层都按同一抽取比例等可能抽取,以保证每个个体被等可能抽取. (4)根据实际情况,可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整. 微点练明 1.某中学有老年教师20人,中年教师65人,青年教师95人,为了调查他们的健康状况,需从他们中抽取一个容量为36的样本,则合适的抽样方法是 (　　) A.抽签法 B.随机数表法 C.分层抽样 D.其他抽样方法 解析:由于样本中年龄分为三个层次:老年,中年,青年,因此采取分层抽样方法. √ 2.下列问题中,最适合用分层抽样抽取样本的是 (　　) A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.某社区有500个家庭,其中高收入的家庭125户,中等收入的家庭280户,低收入的家庭95户,为了了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本 C.从1 000名工人中,抽取100人调查上班途中所用时间 D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量 √ 解析:A中总体所含个体无差异且个数较少,适合用简单随机抽样; C和D中总体所含个体无差异且个数较多,不适合用分层抽样; B中总体所含个体差异明显,适合用分层抽样. 3.现要完成下列两项抽样调查:①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查;②从某社区100户高收入家庭,270户中等收入家庭,80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是 (　　) A.①简单随机抽样,②简单随机抽样 B.①分层抽样,②分层抽样 C.①分层抽样,②简单随机抽样 D.①简单随机抽样,②分层抽样 解析:①中个体数量较少,且个体间无明显差异,故采用简单随机抽样;②中高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭的消费水平差异明显,故采用分层抽样.故选D. √ 4.对一个容量为N的总体抽取容量为n(n≥2)的样本,选取简单随机抽样和分层抽样两种不同方法抽取样本,在简单随机抽样中,总体中每个个体被抽中的概率为p1,某个体第一次被抽中的概率为p2;在分层抽样中,总体中每个个体被抽中的概率为p3,则 (　　) A.p2<p1<p3 B.p1=p2=p3 C.p2<p1=p3 D.p1,p2,p3没有关系 解析:根据抽样调查的原理可得简单随机抽样,分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3. √ 逐点清(二)　分层抽样中的相关计算 02 多维理解 1.分层抽样的步骤 (1)将总体按__________分层; (2)计算各层的_______与______________的比; (3)按各层的__________________________确定各层应抽取的样本容量; (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样). 2.分层抽样中的两个比例关系 (1)=; (2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. 一定标准 个体数 总体的个体数 个体数占总体的个体数的比 微点练明 1.某中学有高中生1 800人,初中生1 200人,为了解学生课外锻炼情况,用分层抽样的方法从学生中抽取一个容量为n的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24,则n= (　　) A.48 B.72 C.60 D.120 解析:由题意可知,分层抽样按照n∶3 000的比例进行抽取,则高中生抽取的人数为1 800×=;初中生抽取的人数为1 200×=.因为从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24,所以-=24,解得n=120,故选D. √ 2.唐代以来,牡丹之盛,以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世.唐朝诗人白居易“花开花落二十日,一城之人皆若狂”和刘禹锡“唯有牡丹真国色,花开时节动京城”的诗句正是描写洛阳城的景象.已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类,现有牡丹花n朵,千瓣类比单瓣类多30朵,采用分层随机抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究,其中单瓣类有4朵,重瓣类有2朵,千瓣类有6朵,则n= (　　) A.360 B.270 C.240 D.180 √ 解析:根据分层随机抽样的特点,设单瓣类、重瓣类、千瓣类的朵数分别为4x,2x,6x,由题意可得6x-4x=30,解得x=15,所以n=4x+2x+6x=12x= 12×15=180.故选D. 3.(多选)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为5∶3∶2,现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本,样本中B型号产品有24件,则 (　　) A.此样本的容量n为20 B.此样本的容量n为80 C.样本中A型号产品有40件 D.样本中A型号产品有16件 √ √ 解析:依题意可得=,解得n=80,故A不正确,B正确;所以样本中A型号产品有80×=40件,故C正确,D不正确. 4.(多选)在传染病学中,通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起,到机体出现反应或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1 000名患者的相关信息,得到关于潜伏期与人数的表格: 潜伏期 (单位:天) [0,2] (2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14] 人数 85 205 310 250 130 15 5 已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响,为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样,若从上述1 000名患者中抽取200人,得到下表.   潜伏期≤6天 潜伏期>6天 合计 50岁以上(含50岁) a b 100 50岁以下 55 c 100 则下列结果正确的是 (　　) A.a=65 B.b=45 C.c=45 D.b+c=80 √ √ √ 解析:由分层抽样的概念及计算方法可知,从这1 000名患者中抽取200人,其中潜伏期≤6天的人数为200×=120,所以a=120-55=65, b=100-65=35,c=100-55=45,b+c=35+45=80. 逐点清(三)　分层抽样的设计 03 [典例]　某中学举行了体育运动会,同时进行了全校精神文明擂台赛,为了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别对全校500名教职工、3 000名初中生、4 000名高中生进行问卷调查. (1)如果要在所有问卷中抽出120份用于评估,请说明如何抽取才能得到比较客观的评估结论,并写出抽样过程. 解:由于总体容量较大,这次活动对教职工、初中生、高中生产生的影响差异较大,故采取分层抽样的方法进行抽样才能得到比较客观的评估结论. 因为样本容量为120,总体容量为500+3 000+4 000=7 500, 所以抽取比例为=.所以500×=8,3 000×=48,4 000×=64, 即在教职工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.分层抽样的步骤如下: ①分层:分为教职工、初中生、高中生,共三层; ②确定每层抽取个体的个数:在教职工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64; ③各层分别按简单随机抽样的方法抽取个体; ④综合每层抽取的个体,组成样本. 这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评估结论. (2)要从3 000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本,如果采用简单随机抽样,应选什么方法?请说明理由. 解:简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数表法. 若用抽签法,则要做3 000个号签,费时费力,因此应采用随机数表法抽取样本. |思|维|建|模| 分层抽样的步骤 针对训练 一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率.已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法进行抽样?并写出具体过程. 解:采用分层抽样的方法,其原因在于疾病与地理位置和水土均有关系,不同乡镇的发病情况差异明显,具体过程如下: ①将3万人分为5层,其中一个乡镇为一层; ②按照样本容量的比例,随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×=60(人),300×=40(人),300×=100(人),300×=40(人), 300×=60(人); ③将300人组到一起就得到一个样本. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.下列各项属于分层抽样的特点的是 (　　) A.从总体中逐个抽取 B.将总体分成几层,分层进行抽取 C.将总体分成几部分,在各部分中抽取相同数量的个体 D.将总体随意分成几部分,然后进行随机抽取 解析:A属于简单随机抽样的特点, B属于分层抽样的特点, C、D不属于分层抽样的特点,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.下列试验中最适合用分层抽样法抽样的是 (　　) A.从一箱3 000个零件中抽取5个入样 B.从一箱3 000个零件中抽取600个入样 C.从一箱30个零件中抽取5个入样 D.从甲、乙两厂生产的300个零件中抽取6个入样 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:A中总体容量较大,样本容量较小,适合用随机数表法; B中总体容量较大,且无明显差异,不适合用分层抽样; C中总体容量较小且个体间无较大差异,样本容量较小,适合用抽签法; D中总体有明显的层次,适合用分层抽样. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.现从中小学生中抽取部分学生进行一次肺活量调查,据了解,某地小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,而同一学段男、女学生的肺活量差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 (　　) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.按肺活量分层抽样 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,因此不适合简单随机抽样,故A错误; 因同一学段男、女学生的肺活量差异不大,因此按性别分层抽样没有必要,故B错误; 小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,而同一学段男、女学生的肺活量差异不大,因而按学段分层抽样,故C正确; 因肺活量是待测量的量,不可以作为分层的标准,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.某校有高一学生n名,其中男生数与女生数之比为6∶5,为了解学生的视力情况,现要求按分层抽样的方法抽取一个容量为的样本,若样本中男生比女生多12人,则n=(　　) A.990 B.1 320 C.1 430 D.1 560 解析:设男生数为6k,女生数为5k,则解得 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40,30,50,学校计划采用按比例分配的分层抽样的方法在三个班级中评选优秀学生,已知乙班分配到的优秀学生名单为6人,则高三年级三个班优秀学生总人数为 (　　) A.16 B.30 C.24 D.18 解析:甲、乙、丙三个班级人数比为4∶3∶5,由分层抽样知,三个班级优秀学生名额分别为8,6,10,所以高三年级三个班优秀学生总人数为8+6+10=24. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.中国农历的二十四节气凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶, 2022年2月4日北京冬奥会开幕式,以二十四节气的方式开始倒计时惊艳全球.某小学三年级共有500名学生,随机抽查100名学生并提问二十四节气歌,只能说出两句的有45人,能说出三句及以上的有32人,据此估计该校三年级的500名学生中,对二十四节气歌只能说出一句或一句也说不出的有 (　　) A.69人 B.84人 C.108人 D.115人 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意,随机抽查的100名学生中,只能说出一句或一句也说不出的学生有100-45-32=23人.故只能说出一句或一句也说不出的学生占的比例为.所以估计该校三年级的500名学生中,对二十四节气歌只能说出一句或一句也说不出的学生共有500×=115人. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.下表为某地春节假期某日游客抽取的100人样本的出行方式统计数据 出行方式 高铁 自驾 飞机 客车 频数 27 16 28 29 某实验点从这批游客中抽取25人,当中选择飞机出行的人数大约为 (　　) A.8 B.7 C.6 D.4 解析:由题意可知,每人被抽到乘飞机的可能性均为=,所以选择飞机出行的人数大约为25×=7. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(多选)已知某高中共有学生2 040人,其中高一段学生800人,高二段学生600人,为了了解学生的体质健康水平,现从三个段中采取分层抽样的方法,抽取一个容量为51的样本,检测得到高一、高二、高三段的优秀率分别为45%,60%,50%,下列说法正确的是 (　　) A.体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段 B.体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段 C.高二段抽取了15人 D.估计该校学生体质健康水平的优秀率为49.3%(百分比保留一位小数) √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:高三有2 040-800-600=640人,高一抽取51×=20人; 高二抽取51×=15人,C正确; 高三抽取51×=16人. 高一体质健康水平不优秀的人数为800×(1-45%)=440人; 高二体质健康水平不优秀的人数为600×(1-60%)=240人; 高三体质健康水平不优秀的人数为640×(1-50%)=320人. 所以体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段,A正确; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 高一体质健康水平优秀的人数为800-440=360人;高二体质健康水平优秀的人数为600-240=360人; 高三体质健康水平优秀的人数为640-320=320人. 所以体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段,B正确; 估计该校学生体质健康水平的优秀率为=≈51.0%,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生有　　　　人. 解析:男生人数为560×=160. 160 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为　　　　件.  解析:设乙设备生产的产品总数为x件,则甲设备生产的产品总数为(4 800-x)件. 由题意,得=,解得x=1 800. 1 800 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.某学校高一、高二、高三三个年级共有团干部56名,采用分层抽样的方法从中抽取7人进行睡眠时间调查.其中从高一年级抽取了3人,则高一年级团干部的人数为　　　　.  解析:由题意,得高一年级团干部的人数为56×=24. 24 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.某高中针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有800人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如下表:   高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 a b c 剪纸 x y z 其中x∶y∶z=5∶3∶2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的,为了了解学生对两个社团活动的满意程度,从中抽取一个50人的样本进行调查,则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取　　 人. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为“泥塑”社团的人数占总人数的,故“剪纸”社团的人数占总人数的, 所以抽取的50人的样本中,“剪纸”社团中的人数为50×=20. 又“剪纸”社团中高二年级人数比例为==, 所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(8分)某高级中学共有学生3 000名,各年级男、女生人数如下表:   高一年级 高二年级 高三年级 女生 487 x y 男生 513 560 z 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的机会是0.18. (1)问高二年级有多少名女生? 解:由=0.18,得x=540. ∴高二年级有540名女生. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生,问应在高三年级抽取多少名学生? 解:高三年级人数为y+z=3 000-(487+513+540+560)=900. ∴×300=90, 故应在高三年级抽取90名学生. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(12分)某单位最近组织了一次健身活动,活动小组分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的,且该组中青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样法从参加活动的全体职工中抽取200人进行调查,试确定: (1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:设登山组人数为x,则游泳组人数为3x,再设游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为a,b,c, 则有=47.5%,=10%, 解得b=50%,c=10%, 故a=1-50%-10%=40%. 所以游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)游泳组中,青年人、中年人、老年人应分别抽取的人数. 解:游泳组中,抽取的青年人人数为200××40%=60,抽取的中年人人数为200××50%=75,抽取的老年人人数为200××10%=15. $$