13.2.4 平面与平面的位置关系(第3课时 面面垂直性质定理)学案-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第二册问题导学单·第13章 立体几何初步 江苏省启东中学高一数学讲义 高一 班 姓名： 学号： A 第13章 立体几何初步 13.2 基本图形位置关系 13.2.4 平面与平面的位置关系(第3课时 面面垂直性质定理) 【学习目标】 1．借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明； 2．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题． 【温顾·习新】 思考　(1)教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ (2)如图长方体ABCD－A′B′C′D′中，在平面DCC′D′内，作直线l⊥DC．你能得出什么结论？ 填空　平面与平面垂直的性质定理 文字 内容 图形语言 语言 两个平面垂直，如果 有一条直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面 符号语言 作用 做一做　下列命题错误的是(　　) A．若α⊥β，则α内所有直线都垂直于β B．如果α不垂直于β，那么α内不存在直线垂直于β C．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于β D．若α⊥β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内 【研讨·拓展】 【例1】(1)已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个结论： ①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α； ③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α． 则所有正确结论的序号是________． (2)(多选)下列四个命题中是真命题的是(　　) A．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 B．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 C．如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行 D．如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内 【变式1-1】 m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题： ①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β； ②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β． 其中正确的命题为(　　) A．①② B．③ C．②③ D．①②③ 【例2】(1)如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB的中点，则图中直角三角形的个数为________． (2)如图，在六面体ABCDEF中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．求证：平面BCE⊥平面BDE． 【变式2-1】如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　) A．PD ⊂平面ABC B．PD⊥平面ABC C．PD与平面ABC相交但不垂直 D．PD∥平面ABC 【变式2-2】如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB． 【变式2-3】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形， 其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：BG⊥平面PAD． 二、空间中直线、平面垂直的综合应用 角度1　折叠问题 【例3】(1)(多选)如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是(　　) A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CD C．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC (2)把边长为4的正方形ABCD，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的对角线AC的长为(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 【变式3-1】将正方形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，M为CD的中点，则∠AMD的大小是________． 【变式3-2】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC．求证：BC⊥平面ACD． 角度2　探究性问题 【例4】如图①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图②，点E是线段AM的中点． (1)求证：平面BDE⊥平面ABCM； (2)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件： ①l⊂平面ABCM；②l⊥AD？请说明理由． 【变式4-1】如图所示，在侧棱与底面不垂直的三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC． (1)求证：AD⊥CC1； (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C； (3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？并证明你的结论． 【总结提炼】 一、牢记1个知识点：平面与平面垂直的性质定理． 二、掌握1种方法——转化法 三、注意1个易错点：面面垂直性质定理中，在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直． 【拓展强化】 1．在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　　) A．平行 B．EF⊂平面A1B1C1D1 C．相交但不垂直 D．相交且垂直 2．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　　) A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 3．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则(　　) A．PD⊂平面ABC B．PD⊥平面ABC C．PD与平面ABC相交但不垂直 D．PD∥平面ABC 4．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和．过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于(　　) A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3 5．(多选)已知平面α⊥平面β，则下列命题中的真命题是(　　) A．α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线 B．在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线 C．α内的任意一条直线必垂直于β D．过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α 6．(多选)如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，则下列结论中正确的是(　　) A．AP⊥AC B．AP⊥AB C．AP⊥平面ABC D．AP与BC所成的角为45° 7．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论正确的是(　　) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．平面ACC1A1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60° 8．(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是(　　) A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB B．异面直线AD与PB所成的角为90° C．二面角P－BC－A的大小为45° D．BD⊥平面PAC 9．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________． 10．如图，把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角，这时顶点A到BC的距离是________． 11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P．则二面角P－EF－D的正弦值为________；点P到平面DEF的距离为________． 12．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________． 13．已知平面ABC⊥平面ACD，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于点E． (1)判断DC与BE的关系； (2)求证：DC⊥BC． 14．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角． 求证：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD． 15．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD． (1)若G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD； (2)求证：PA⊥平面PCD． 16．如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点． (1)若N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC； (2)若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点． ·4· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$