13.2.4 第1课时 两平面平行-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“平面与平面平行”核心知识点，从定义与基本事实出发，借助长方体梳理平面间平行与相交的位置关系，系统归纳判定定理及推论、性质定理及其他性质，结合“微点助解”辨析易错点，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料采用梯度进阶式设计，通过题型分类（判定、性质、综合问题）配合“思维建模”提炼方法，“微点助解”突破定理条件等易错点。借助长方体模型培养空间观念（数学眼光），定理推理过程发展逻辑思维（数学思维），符号与图形语言结合提升表达能力（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后训练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

　　　　　　 13.2.4　平面与平面的位置关系 第1课时　两平面平行[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.从定义与基本事实出发，借助长方体，了解空间中平面与平面的平行关系. 2.归纳出平面与平面平行的判定定理与性质定理，并能判定空间中平面与平面的平行关系.　 1.空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有一条公共直线 符号表示 α∥β α∩β=a 图形表示 2.两个平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂α，b⊂α，a∩b=A，a∥β，b∥β⇒α∥β 图形语言 作用 证明两个平面平行 3.两个平面平行的判定定理的推论 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b=P，c⊂β，d⊂β，c∩d=P'，a∥d，b∥c⇒α∥β |微|点|助|解| (1)面面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”.该定理把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题. (2)面面平行的判定定理包含三个条件：①平面α内有两条直线a，b，②直线a，b相交，③直线a，b都平行于平面β.三个条件缺一不可. (3)“一个平面内有两条(或无数条)直线平行于另一个平面，则这两个平面平行”是不正确的，因为两个平面相交时，也可在一个平面内找到无数条与另一平面平行的直线. 4.两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b 图形语言 作用 证明两条直线平行 |微|点|助|解| (1)面面平行的性质定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (2)面面平行的性质定理中有三个条件：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b.这三个条件缺一不可. (3)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线. 5.面面平行的其他性质 (1)在两个平行平面中，一个平面内的直线必平行于另一个平面.即“面面平行，则线面平行”.这可以作为证明线面平行的一种方法. (2)夹在两个平行平面间的平行线段相等. (3)如果两个平面都与第三个平面平行，那么这两个平面互相平行. (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. (5)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 6.两个平行平面间的距离 (1)公垂线、公垂线段 与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段. (2)两个平行平面间的距离 ①定义：把两个平行平面的公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. ②性质：两个平行平面间的距离等于其中一个平面上的任意一点到另一个平面的距离. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)分别位于两个平行平面内的两条直线也平行. (　　) (2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. (　　) (3)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α. (　　) (4)若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线. (　　) (5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (　　) (6)如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√ 2.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的 (　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：选B　根据m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；反之，α∥β，m⊂α，所以m和β没有公共点，所以m∥β，即由α∥β能得到m∥β.所以“m∥β”是“α∥β”的必要且不充分条件. 3.平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 解析：选A　因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n. 4.平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面四种情形：①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；④a与b相交，其中可能出现的情形有 (　　) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析：选C　因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，所以直线a与直线b无公共点.当直线a与直线b共面时，a∥b；当直线a与直线b异面时，a与b的夹角大小可以是90°.综上知，①②③都有可能出现，共有3种情形.故选C. 题型(一)　平面与平面平行的判定定理及其应用 [例1]　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，求证： (1)B1C1∥平面A1EF； (2)平面A1EF∥平面BCGH. 证明：(1)∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF∥BC. 又在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1， ∴B1C1∥EF. 又B1C1⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF， ∴B1C1∥平面A1EF. (2)由(1)知EF∥BC，EF⊄平面BCGH，BC⊂平面BCGH，∴EF∥平面BCGH. 又F，G分别为AC，A1C1的中点， ∴FC=AC，A1G=A1C1. 又AC∥A1C1，AC=A1C1， ∴FC∥A1G，FC=A1G. ∴四边形FCGA1为平行四边形.∴A1F∥GC. 又A1F⊄平面BCGH，GC⊂平面BCGH， ∴A1F∥平面BCGH. 又A1F∩EF=F，A1F，EF⊂平面A1EF， ∴平面A1EF∥平面BCGH. |思|维|建|模| (1)定义法：两个平面没有公共点； (2)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β； (3)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ； (4)判定定理：用判定定理证明两个平面平行，其步骤如下： [针对训练] 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点. 求证：(1)E，F，B，D四点共面； (2)平面MAN∥平面EFDB. 证明：(1)连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1. 而BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E，F，B，D四点共面. (2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD， ∴MN∥BD. 又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB， ∴MN∥平面EFDB. 连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点， ∴MF∥A1D1，MF=A1D1. ∴MF∥AD，MF=AD. ∴四边形ADFM是平行四边形. ∴AM∥DF. 又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE， ∴AM∥平面BDFE. 又AM∩MN=M，AM，MN⊂平面MAN， ∴平面MAN∥平面EFDB. 题型(二)　平面与平面平行的性质定理及其应用 [例2]　如图所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中点，D'是B'C'的中点，设平面A'D'B∩平面ABC=a，平面ADC'∩平面A'B'C'=b，判断直线a，b的位置关系，并证明. 解：直线a，b的位置关系是平行.证明如下： 连接DD'(图略). ∵平面ABC∥平面A'B'C'，平面A'D'B∩平面ABC=a，平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D'， ∴A'D'∥a.同理可证AD∥b. 又D是BC的中点，D'是B'C'的中点， ∴DD'BB'. 又BB'AA'， ∴DD'AA'. ∴四边形AA'D'D为平行四边形. ∴A'D'∥AD. ∴a∥b. |思|维|建|模| 利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤 (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； (2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)； (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内； (4)由定理得出结论. [针对训练] 2.已知平面α∥平面β，P∉α，P∉β，过点P的两直线分别交α，β于A，B和C，D四点，A，C∈α，B，D∈β，且PA=6，AB=2，BD=12，则AC的长为 (　　) A.10或18 B.9 C.18或9 D.6 解析：选C　由PA=6，AB=2知，P点不可能在α与β之间，∴点P在两平行平面所夹空间外面，∴=或=，解得AC=9或AC=18. 3.如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在▱A'B'C'D'所确定的平面α外，且AA'，BB'，CC'，DD'互相平行.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在▱A'B'C'D'中，A'B'∥C'D'， ∵A'B'⊄平面C'D'DC，C'D'⊂平面C'D'DC， ∴A'B'∥平面C'D'DC. 同理可得A'A∥平面C'D'DC. 又A'A∩A'B'=A'，A'A⊂平面A'B'BA， A'B'⊂平面A'B'BA， ∴平面A'B'BA∥平面C'D'DC. ∵平面ABCD∩平面A'B'BA=AB， 平面ABCD∩平面C'D'DC=CD， ∴AB∥CD. 同理可得AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 题型(三)　平行关系的综合问题 [例3]　如图，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且=.求证：EF∥β. 证明：分AB，CD共面和异面两种情况. ①当AB，CD共面时， 因为α∥β，且平面ABDC∩平面α=AC， 平面ABDC∩平面β=BD，所以AC∥BD. 所以四边形ABDC是梯形或平行四边形. 由=，得EF∥BD. 又BD⊂β，EF⊄β，所以EF∥β. ②当AB，CD异面时，作AH∥CD交β于点H，连接BH，如图所示. 因为α∥β，且平面AHDC与平面α，β的交线分别为AC，HD，所以AC∥HD. 所以四边形AHDC为平行四边形. 作FG∥DH交AH于点G，连接EG，于是=. 因为=，所以=，从而EG∥BH. 又BH⊂β，EG⊄β，所以EG∥β. 因为FG∥DH，DH⊂β，FG⊄β，所以FG∥β. 又EG∩FG=G，EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥β.又EF⊂平面EFG，EF⊄ β，所以EF∥β. |思|维|建|模| (1)在遇到线面平行问题时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质. (2)线线平行、线面平行和面面平行可以相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.利用转化思想是解决这类问题最有效的方法. [针对训练] 4.如图甲，在四边形PBCD中，PD∥BC，BC=PA=AD.现将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点，点N是BC的中点. (1)求证：MN∥平面PAB； (2)在图乙中，过直线MN作一平面，与平面PAB平行，且分别交PC，AD于点E，F，注明E，F的位置，并证明. 所以NF∥AB. 又因为NF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， 所以NF∥平面PAB. 解：(1)证明：取AD的中点F，分别连接NF，MF， 因为M，F分别为PD，AD的中点， 所以MF∥PA. 又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB， 所以MF∥平面PAB. 因为F，N分别为AD，BC的中点， 又因为MF∩NF=F，且MF，NF⊂平面MNF，所以平面MNF∥平面PAB. 又因为MN⊂平面MNF，所以MN∥平面PAB. (2)当E，F分别为PC，AD的中点时，此时平面EMFN∥平面PAB. 证明如下：取PC的中点E，分别连接ME，NE， 在△PCD中，因为M，E为PD，PC的中点， 所以ME∥CD. 又因为F，N分别为AD，BC的中点， 所以NF∥AB. 所以ME∥NF.所以点E，M，F，N四点共面. 即过直线MN作一平面，与平面PAB平行，且分别交PC，AD于点E，F， 此时E，F分别为PC和AD的中点. 学科网（北京）股份有限公司 $