13.2.3 第2课时 直线与平面垂直-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“直线与平面垂直”核心知识点，系统梳理定义（线面垂直的任意性）、判定定理（线线垂直推线面垂直的五大条件）、性质定理（线面垂直推线线平行）的逻辑脉络，构建从概念理解到定理应用的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学设计，通过“微点助解”剖析定理关键要素培养数学眼光，“思维建模”总结证明方法发展推理能力，结合基础训练与题型示例帮助学生用数学语言规范表达。课中助力教师分层教学，课后便于学生回顾强化，有效查漏补缺。

第2课时　直线与平面垂直[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理及性质定理. 2.掌握直线与平面垂直的定义、线面关系的证明. 1.直线与平面垂直的概念 定义 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直 记法 a⊥α 有关概念 直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足 图示 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 若a⊥m，a⊥n，m∩n=A，m⊂α，n⊂α，则a⊥α |微|点|助|解| (1)该定理涉及的元素有“一点三线一面”：①“一点”即两条直线的交点；②“三线”即平面内两条相交直线、平面的垂线；③“一面”即两条相交直线所确定的平面，也是直线的垂面. (2)该定理中有五大条件： a⊥m，a⊥n，m∩n=A，m⊂α，n⊂α，它们缺一不可. (3)两个线线垂直：定理中注意直线a与直线m，n都垂直，但要注意直线a与直线m，n的位置关系可能相交，也可能异面，即直线a可能经过交点A，也可能不经过交点A. (4)“两条相交直线”是定理中的关键，即直线m，n必须是平面α内的两条相交直线. 3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行，②作平行线 |微|点|助|解| 1.剖析直线与平面垂直的性质定理 (1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论. (2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直). (3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据. (4)定理的推证过程采用了反证法. 2.直线与平面垂直的性质 (1)⇒l⊥b；(2)⇒a∥b；(3)⇒b⊥α； (4)⇒a⊥β；(5)⇒α∥β. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直. (　　) (2)画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. (　　) (3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直. (　　) (4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 (　　) A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.不确定 答案：B 3.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 (　　) A.相交　 B.平行　 C.异面　 D.相交或平行 答案：B 题型(一)　直线与平面垂直的定义的理解 [例1]　(多选)下列四个命题中，其中正确的是 (　　) A.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 解析：选CD　l与平面α内的所有直线都垂直，所以A不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以B不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以C正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D正确.故选CD. 　　|思|维|建|模|　直线与平面垂直定义的“双向”作用 (1)证明线面垂直：若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直，即线线垂直⇒线面垂直. (2)证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直，即线面垂直⇒线线垂直. [针对训练] 1.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 (　　) A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α　 B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α C.若l∥α，m⊂α，则l∥m D.若l∥α，m∥α，则l∥m 解析：选B　对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面.故选B. 题型(二)　直线与平面垂直的判定定理的应用 [例2]　在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=.证明：BD⊥PA. 证明：如图所示，取AB中点O，连接DO，CO， 则OB=DC=1. 又DC∥OB， 所以四边形DCBO为平行四边形. 又BC=OB=1， 所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO. 同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO， 所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD， 所以PD⊥BD，又AD∩PD=D，AD，PD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA. |思|维|建|模|　证线面垂直的方法 (1)线线垂直证明线面垂直 ①定义法不常用，但由线面垂直可得出线线垂直； ②判定定理最常用：要着力寻找平面内的两条相交直线(有时作辅助线)，结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直. (2)平行转化法(利用推论) ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. [针对训练] 2.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于 (　　) A.平面OAB　　　　　　　 B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 解析：选C　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC. 3.如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，且SA=SB=SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明：(1)∵SA=SC，D是AC的中点， ∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD=BD， 由已知SA=SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD. 又AC∩BD=D，AC⊂平面ABC，BD⊂平面ABC， ∴SD⊥平面ABC. (2)∵AB=BC，D为AC的中点， ∴BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD. 又SD∩AC=D，SD⊂平面SAC，AC⊂平面SAC， ∴BD⊥平面SAC. 题型(三)　直线与平面垂直的性质定理的应用 [例3]　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1. 证明：因为四边形ADD1A1为正方形， 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD=D，A1D⊂平面A1DC，CD⊂平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1. |思|维|建|模| 关于线面垂直性质定理的应用 在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面. 　　[针对训练] 4.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点. (1)求证：AF∥平面BCE； (2)求证：AF⊥平面CDE. 证明：(1)如图所示，取CE的中点G，连接FG，BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB=DE，∴GF=AB.∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE. (2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点， ∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD， ∴DE⊥AF.又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE. 学科网（北京）股份有限公司 $