13.2.4 第1课时 两平面平行(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦两平面平行核心知识点，系统梳理平面位置关系（平行与相交）、判定定理（一平面内两条相交直线平行于另一平面）、性质定理（两平行平面与第三平面相交得平行线）及平行平面间距离概念，构建从定义到判定、性质再到应用的递进式学习支架。 资料以工人师傅检测桌面水平实例引入，通过“想一想”环节引导学生辨析判定定理易错点，培养逻辑推理能力，结合三棱柱、正方体模型强化直观想象，课中助力教师高效授课，课后练习题与跟踪训练帮助学生巩固知识，查漏补缺，体现用数学眼光观察现实世界、用数学思维分析问题的核心素养。

13.2.4　平面与平面的位置关系 第1课时　两平面平行 【基础落实】 知识点一 1.公共点　2.没有　一　∥　∩ 想一想 　提示：相交.由基本事实3可知这两个平面相交，同时它们有且只有一条过该点的公共直线. 知识点二 　相交　平行 想一想 1.提示：不正确.当两条直线平行时，这两个平面可以相交. 2.提示：不正确.当这些直线平行时，这两个平面可以相交. 知识点三 　相交　平行　α∩γ＝a 想一想 1.提示：不一定.已知两个平面平行，显然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行.它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线. 2.提示：有.若α，β，γ为三个不重合的平面，则α∥β，β∥γ⇒α∥γ. 知识点四 1.垂直　2.长度 自我诊断 1.A　根据面面平行的判定定理可知a，b相交. 2.ABC　因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，所以直线a与直线b无公共点.当直线a与直线b共面时，a∥b；当直线a与直线b异面时，a与b的夹角大小可以是90°.综上知，A、B、C都有可能出现.故选A、B、C. 3.3　解析：过B作BC⊥α于C（图略），则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin 60°＝3. 【典例研析】 【例1】　D　当α内有无穷多条直线与β平行时，α与β可能平行，也可能相交，故不选A；当直线a∥α，a∥β时，α与β可能平行，也可能相交，故不选B；直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α时，α与β可能平行，也可能相交，故不选C；当α内的任何直线都与β平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D. 跟踪训练 　A　若m∥β，n∥β，则α，β可能平行，也可能相交，故α∥β不一定成立，若α∥β，则m∥β，n∥β，故“α∥β”是“m∥β，n∥β”的充分不必要条件. 【例2】　证明：（1）∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC. 又在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1， ∴B1C1∥EF. 又B1C1⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF， ∴B1C1∥平面A1EF. （2）由（1）知EF∥BC，EF⊄平面BCGH，BC⊂平面BCGH， ∴EF∥平面BCGH. 又F，G分别为AC，A1C1的中点， ∴FC＝AC，A1G＝A1C1. 又AC∥A1C1，AC＝A1C1， ∴FC∥A1G，FC＝A1G. ∴四边形FCGA1为平行四边形. ∴A1F∥GC. 又A1F⊄平面BCGH，GC⊂平面BCGH， ∴A1F∥平面BCGH. 又A1F∩EF＝F，A1F，EF⊂平面A1EF， ∴平面A1EF∥平面BCGH. 跟踪训练 　证明：（1）如图，连接B1D1. ∵E，F分别是B1C1和C1D1的中点， ∴EF∥B1D1. 又BD∥B1D1， ∴BD∥EF. ∴E，F，B，D四点共面. （2）由题意知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD. 又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB， 连接MF，∵点M，F分别是A1B1与C1D1的中点，∴MF􀱀AD. ∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF. ∵AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB，∴AM∥平面EFDB. 又AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB. 【例3】　证明：因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D. 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D. 跟踪训练 　解：（1）证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD. （2）由（1）得AC∥BD，所以＝，所以＝， 所以CD＝（cm），所以PD＝PC＋CD＝（cm）. 【例4】　解：当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1. 证明如下：如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE， ∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点， ∴EF∥AB1， ∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1. ∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1. ∵DE⊂平面EFD， ∴DE∥平面AB1C1. 跟踪训练 　解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 证明如下：如图，连接BD，由题意可知，BD∩AC＝O，O为BD的中点，又P为DD1的中点， ∴OP∥BD1， 又BD1⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，∴BD1∥平面PAO， 连接PC.∵PD1􀱀CQ，∴D1Q∥PC. 又PC⊂平面PAO，D1Q⊄平面PAO，∴D1Q∥平面PAO. 又D1Q∩BD1＝D1，D1Q，BD1⊂平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO. 随堂检测 1.C　对于A，平行于同一直线的两个平面，可能平行，可能相交，故A错误；对于B，平行于同一平面的两条不同的直线，可能平行，可能相交，可能异面，故B错误；对于C，垂直于同一直线的两个平面平行，故C正确；对于D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D错误.故选C. 2.AD　如图，对于A，由于A1B∥D1C，且A1B⊄平面ACD1，可得直线A1B∥平面ACD1；对于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝D1，可得直线B1B与平面ACD1不平行；对于C，由于A1D与AD1相交，A1D⊂平面A1DC1，可得平面A1DC1与平面ACD1不平行；对于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B⊂平面A1BC1，C1B⊂平面A1BC1，且A1B∩C1B＝B，可得平面A1BC1∥平面ACD1.故选A、D. 3.16　解析：如图所示，由题意知，△ASC∽△BSD， 因为CD＝34，所以SD＝34－CS. 由AS∶BS＝CS∶（34－CS）知，8∶9＝CS∶（34－CS），所以CS＝16. 4.证明：∵E，G分别是PC，BC的中点， ∴EG∥PB，又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴EG∥平面PAB. ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB， ∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB， 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面PAB∥平面EFG. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1课时　两平面平行 课标要求 1.了解平面与平面的位置关系，掌握面面平行的判定定理、性质定理（逻辑推理）. 2.会利用“线线平行”“线面平行”及“面面平行”相互之间的转化，来证明“线线平行”“线面平行”及“面面平行”等问题（直观想象）. 3.了解两个平行平面间的距离的概念（数学运算）. 　　如图，为了检测桌面是否水平，工人师傅常将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面与地面平行. 【问题】　为什么工人师傅只检查两次且交叉放置呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　两个平面的位置关系 1.两个平面平行的定义 如果两个平面没有　　　　，那么称这两个平面互相平行.平面α平行于平面β，记作α∥β. 2.两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 　　　　公共点 有　　条公共直线 符号表示 α　　β α　　β＝a 图形表示 【想一想】 如果两个平面（不重合）有一个公共点，那么这两个平面是否相交？ 知识点二　两个平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条　　　　直线与另一个平面　　　　，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒α∥β 图形语言 　　提醒：判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：①平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝A；②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β. 【想一想】 1.如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.这种说法正确吗？ 2.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.这种说法正确吗？ 知识点三　两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面　　　　，那么两条交线　　　　 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 　　提醒：对两平面平行性质定理的再理解：①用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（ⅰ）平面α和平面β平行，即α∥β；（ⅱ）平面γ和α相交，即α∩γ＝a；（ⅲ）平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可；②在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面内的一切直线”的错误. 【想一想】 1.两平行平面内的直线是否相互平行？ 2.平面平行有传递性吗？ 知识点四　两个平行平面间的距离 1.两个平行平面的公垂线和公垂线段 与两个平行平面都　　　　的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段. 2.两个平行平面间的距离 两个平行平面的公垂线段的　　　　叫作两个平行平面间的距离. 　　提醒：两个平行平面间的距离是分别位于两个平面内的两点间距离的最小值，即当α∥β，M∈α，N∈β时，线段MN的最小值就是平面α与β间的距离. 1.已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β， 则直线a，b的位置关系是（　　） A.相交　 B.平行　　C.异面　 D.垂直 2.〔多选〕若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下列几种情形中可能出现的是（　　） A.a∥b　 B.a⊥b C.a与b异面　 D.a与b相交 3.已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间的距离为　　　　. 题型一｜平面与平面的位置关系 【例1】　平面α与平面β平行的条件可以是（　　） A.α内有无穷多条直线与β平行 B.直线a∥α，a∥β C.直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α D.α内的任何直线都与β平行 通性通法 1.解答此类题目，要抓住定义，仔细分析，把自然语言转化为图形语言，根据所给的条件，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系. 2.在作图时，利用正方体（或长方体）这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关的命题的真假.另外像判定直线与直线、直线与平面的位置关系一样，反证法也是判定两个平面位置关系的有效方法. 【跟踪训练】 设α，β是两个平面，m，n是两条直线，若m⊂α，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β，n∥β”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型二｜平面与平面平行的判定 【例2】　（链接教科书第189页例1）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，求证： （1）B1C1∥平面A1EF； （2）平面A1EF∥平面BCGH. 通性通法 平面与平面平行的判定方法 （1）定义法：两个平面没有公共点（不易操作）； （2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面； （3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β； （4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ； （5）利用线面垂直的性质：若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 【跟踪训练】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证： （1）E，F，B，D四点共面； （2）平面MAN∥平面EFDB. 题型三｜面面平行的性质定理的应用 【例3】　如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 通性通法 1.应用面面平行性质定理的基本步骤 2.与平行的性质有关的计算的三个关键点 （1）根据已知的面面平行关系推出线线平行关系； （2）在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系； （3）利用所得关系计算求值. 【跟踪训练】 如图所示，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点（不在α与β之间），直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D. （1）求证：AC∥BD； （2）已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长. 题型四｜线线、线面、面面平行的综合问题 【例4】　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 通性通法 空间中各种平行关系相互转化的示意图 提醒：判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用高一级的平行关系推出低一级的平行关系. 【跟踪训练】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？ 1.（2025·无锡期末）下列说法正确的是（　　） A.平行于同一直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两条直线平行 C.垂直于同一直线的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线垂直 2.〔多选〕在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的有（　　） A.直线A1B　　　　 B.直线BB1 C.平面A1DC1　 D.平面A1BC1 3.设平面α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，当点S在平面α，β之间时，CS＝　　　　. 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG. 提示：完成课后作业　第十三章　13.2　13.2.4　第1课时 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $