13.1.3 直观图的斜二测画法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“直观图的斜二测画法”核心知识点，系统梳理平面图形（建系、画轴、确定关键点等步骤）和空间图形（增加z轴、画底面与侧棱等）的画法流程，通过“微点助解”解读“斜”“二测”内涵，结合基础训练与题型示例构建学习支架。 该资料采用梯度进阶式设计，从基础判断到平面、空间图形绘制再到直观图还原计算，培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维）。“思维建模”总结技巧，规范步骤表达（数学语言），课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升空间观念。

13.1.3　直观图的斜二测画法[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解平行投影、斜二测画法，掌握斜二测画法画平面及空间图形的步骤. 2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 |微|点|助|解| (1)对斜二测画法中“斜”“二测”的解读 ①“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴成45°或135°； ②“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴的线段长度不变；平行于y'轴的线段长度变为原来的一半. (2)斜二测画法画图的关键 在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出. 2.空间图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z'轴. (2)画底面：x'O'y'确定的平面表示水平平面，y'O'z'和x'O'z'确定的平面表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. |微|点|助|解| (1)斜二测画法中的建系原则 在已知图形中建立平面直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都可以，但实际作图时，一般建立特殊的平面直角坐标系，尽量运用原有直线或图形中的垂直直线为坐标轴. (2)直观图与原图的关系 ①“三变” ②“三不变” 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形. (　　) (2)平行四边形的直观图仍是平行四边形. (　　) (3)两条相交直线的直观图可能是平行直线. (　　) (4)两条垂直的直线的直观图仍互相垂直. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A=90°，则在直观图中∠A'= (　　) A.45° B.135° C.45°或135° D.90° 答案：C 3.如图为棱柱的直观图，则直观图中△ABC对应的真实图形是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.长方形 答案：C 题型(一)　用斜二测画法画平面图形的直观图 [例1]　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. 解：画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'=45°. (2)以O'为中点在x'轴上取A'B'=AB，在y'轴上取O'E'=OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'=CD.如图②. (3)连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图③. 　　|思|维|建|模| 画水平放置的平面图形的直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点. (2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定. (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 　　[针对训练] 1.用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图. 解：分以下三步进行作图： (1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示. (2)画出对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'=45°，在x'轴上取点B'，E'，使得O'B'=OB，O'E'=OE；在y'轴上取一点D'，使得O'D'=OD；过E'作E'C'∥y'轴，使E'C'=EC，连接B'C'，C'D'，如图②所示. (3)擦去x'轴与y'轴及其他辅助线，如图③所示，四边形O'B'C'D'就是所求的直观图. 题型(二)　用斜二测画法画空间几何体的直观图 [例2]　用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm，下底面边长为2 cm，高(两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度)为2 cm的正四棱台. 解：(1)画轴.如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. (2)画下底面.在平面xOy上画边长为2 cm的正方形的直观图，即平行四边形ABCD. (3)画上底面.在轴Oz上截取OO'=2 cm，过O'分别作平行于轴Ox、轴Oy的轴O'x'、轴O'y'，在平面x'O'y'上用画正四棱台下底面直观图的方法画出正四棱台的边长为1 cm的上底面的直观图，即平行四边形A'B'C'D'. (4)依次连接AA'，BB'，CC'，DD'，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到正四棱台的直观图，如图②所示. |思|维|建|模| 画空间几何体的直观图的关键 (1)对于一些常见简单几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确地画出. (2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向. (3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致. 　　[针对训练] 2.画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图.(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm) 解：(1)画轴.如图①，画x'轴、y'轴、z'轴，使∠x'O'y'=45°，∠x'O'z'=90°. (2)画底面.根据x'轴、y'轴，画正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱.过A，B，C，D，E，F各点分别作z'轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA'，BB'，CC'，DD'，EE'，FF'都等于1.5 cm. (4)成图.连接A'B'，B'C'，C'D'，D'E'，E'F'，F'A'，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图如图②所示. 题型(三)　平面直观图的还原与计算 [例3]　(1)一平面四边形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示，其中 O'C'⊥x'，A'B'⊥x'，B'C'∥y'，则四边形OABC的面积为 (　　) A. B.3 C.3 D. (2)如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6 cm，C'D'=2 cm，则原图形是　　　　　.  解析：(1)由题图知∠x'O'y'=45°，O'C'=O'A'=1，∴A'B'=2. ∴S四边形O'A'B'C'=(1+2)×1=， ==， 解得S四边形OABC=3. (2)如图所示， 在原图形OABC中，应有OD=2O'D'=2×2=4(cm)，CD=C'D'=2(cm)， ∴OC===6(cm). ∴OA=OC，故四边形OABC是菱形. 答案：(1)B　(2)菱形 |思|维|建|模| (1)由直观图还原平面图形关键有两点： ①平行于x'轴的线段长度不变，平行于y'轴的线段变为原来的2倍； ②对于相邻两边不与x'轴，y'轴平行的顶点可通过作x'轴、y'轴平行线变换确定其在xOy中的位置. (2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是=. [针对训练] 3.如图，△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图，△A'B'C'的面积为a2，那么△ABC的面积为 (　　) A.a2　 　B.a2　 　C.2a2　 　D.4a2 解析：选C　由∠C'O'B'=，得S△A'B'C'=A'B'·O'C'sin=A'B'·O'C'.如图，作出还原后的△ABC，则S△ABC=AB·OC=A'B'·2O'C'=A'B'·O'C'，故==2，所以S△ABC=2a2. 4.(多选)如图，用斜二测画法画一个水平放置的△ABC，OA=2，S△ABC=，则在直观图中，以下说法正确的是 (　　) A.O'A'=2 B.△A'B'C'的面积为 C.OA边上的高为 D.O'A'边上的高为 解析：选ABC　在x'轴上取O'A'=OA=2，即CA=C'A'，所以A正确；在图①(右栏)中，过B作BD∥y轴，交x轴于点D，在x'轴上取O'D'=OD，过点D'作D'B'∥y'轴，并使D'B'=DB，如图②所示， 则BD⊥AC，BD为原图形中AC边上的高，且BD=2B'D'，S△ABC=AC×BD=，即BD=2B'D'=，所以C正确；在图②中作B'E'⊥A'C'于点E'，则B'D'=B'E'=，B'E'=，所以D错误；S△A'B'C'=A'C'×B'E'=B'E'=，所以B正确. 学科网（北京）股份有限公司 $