13.1.3 直观图的斜二测画法 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

13.1.3　直观图的斜二测画法 A层 基础达标练 1.如图,A'B'∥O'y',B'C'∥O'x',则直观图所示的平面图形是(　　) A.任意三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 2.(多选题)对于用斜二测画法所得的直观图,下列说法错误的是(　　) A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边形 C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形 3.如图,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是(　　) A.6 cm B.8 cm C.(2+3)cm D.(2+2)cm 4.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知B'C'=4,A'C'=3,B'C'∥y'轴,则△ABC中边AB上的中线的长度为　　　　.  5.如图,若斜边长为2的等腰直角△A'B'C'(B'与O'重合)是水平放置的△ABC的直观图,则△ABC的面积为　　　　.  6.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图△A'B'O',已知O'B'=4,A'B'∥y'轴,且△ABO的面积为16,过点A'作A'C'⊥x'轴于点C',则A'C'的长为　　　　.  7.一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高(两底面圆心连线的长度)为4 cm,圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm,画出此几何体的直观图. B层 能力提升练 8.如图所示的是水平放置的△ABC的直观图△A'B'C',其中D'是A'C'的中点,在原三角形ABC中,∠ACB≠60°,则原图形中与线段BD的长相等的线段有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 9.下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形,在斜二测画法下,其直观图不是全等三角形的一组是(　　) A B C D 10. 如图,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'和x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 11.(多选题)如图所示,用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图,得△A1B1C1,其中A1B1=B1C1,A1D1是B1C1边上的中线,则下列结论中,正确的是(　　) A.AB=BC=AC B.AD⊥BC C.AB⊥BC D.AC>AD>AB>BC 12.(多选题)如图,四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形A'B'C'D',已知A'B'=2C'D'=4,则下列结论中正确的是(　　) A.A'D'= B.BC=2 C.四边形ABCD的周长为6+2+2 D.四边形ABCD的面积为6 13.如图,△A'B'C'是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图,D'是B'C'的中点,且A'D'∥y'轴,B'C'∥x'轴,A'D'=2,B'C'=2,则△ABC的面积是　　　　.  14.已知三角形ABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形A'B'C'(如图所示),则点C的坐标为　　　　.  C层 拓展探究练 15.用斜二测画法得到的多边形A1A2…An的直观图为多边形A1'A2'…An',试探索多边形A1A2…An与多边形A1'A2'…An'的面积之间有无确定的数量关系. 参考答案 1.C　因为A'B'∥O'y'且B'C'∥O'x',所以原平面图形中AB⊥BC.所以△ABC为直角三角形.故选C. 2.ACD　对于A,等腰三角形的直观图不再是等腰三角形,故A错误;对于B,因为正方形的对边平行,所以在直观图中仍然平行,故正方形的直观图为平行四边形,故B正确;对于C,梯形的上下底平行,在直观图中仍然平行;两腰不平行,在直观图中仍然不平行,所以梯形的直观图仍是梯形,故C错误;对于D,正三角形的直观图是一个钝角三角形,不是等腰三角形,故D错误.故选ACD. 3.B　由题意可知O'B'= cm,直观图正方形O'A'B'C'还原为平行四边形OABC,如图所示,OA=1 cm, 在Rt△OAB中,OB=2 cm,所以AB==3(cm).所以四边形OABC的周长为3+3+1+1=8(cm). 故选B. 4　由斜二测画法规则知AC⊥BC,即△ABC为直角三角形,其中AC=3,BC=8,所以AB=,边AB上的中线长度为 5.4　在斜二测直观图中,由△A'B'C'为等腰直角三角形,A'B'=2,可得A'C'=2,B'C'=2,则S△A'B'C'=A'C'·B'C'=2,S△ABC=S△A'B'C'=2,可得S△ABC=4故答案为4 6.2　因为A'B'∥y'轴,O'B'=4,所以在△ABO中,AB⊥OB,OB=4.又△ABO的面积为16,所以AB·OB=16,AB=8,即A'B'=4.因为A'C'⊥x'轴,∠A'B'C'=45°,所以B'C'=A'C',所以A'C'=A'B'sin 45°=4·sin 45°=2 7.解 (1)画轴.如图①所示,画x轴,z轴,使∠xOz=90°. (2)画圆柱的下底面.在x轴上取A,B两点,使AB=3 cm,且OA=OB,选择椭圆模板中适当的椭圆且过A,B两点,使它为圆柱的下底面. (3)在Oz上截取OO'=4 cm,过点O'作平行于Ox轴的O'x'轴,类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面. (4)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO'=3 cm. (5)成图.连接A'A,B'B,PA',PB',整理(去掉辅助线,将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图,如图②所示. ① ② 8.C　先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形(图略),然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段.把△A'B'C'还原后为直角三角形,则D为斜边AC的中点,且∠ACB≠60°,所以AD=DC=BD.故选C. 9.C　C中,前者在斜二测画法下所得的直观图中,底边AB不变,高变为原来的,后者在斜二测画法下所得的直观图中,高OC不变,底边AB变为原来的,故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等.故选C. 10.D　 方法一　过A'作A'A″∥y'轴交x'轴于点A″,如图,由题意可知△A'A″O为等腰直角三角形,则A'A″=A'O'=2,由斜二测画法可知,在△AOB的边OB上的高为2A'A″=4故选D. 方法二　设△AOB的边OB上的高为h, ∵S原=2S直观,OB·h=22O'B'. ∵OB=O'B',∴h=4故选D. 11.CD　由直观图知△ABC为直角三角形,AB⊥BC,AB=2A1B1,BC=B1C1,D为BC的中点,如图所示,因为A1B1=B1C1,所以AB=2BC,故A,B错误,C,D正确.故选CD. 12.ACD　在等腰梯形A'B'C'D'中,∠D'A'B'=45°,A'B'=2C'D'=4,所以A'D'=由斜二测画法可知,在原图直角梯形ABCD中,AB=2CD=4,AD=2,∠BAD=,易得BC=2,所以四边形ABCD的周长为6+2+2,面积为(2+4)×2=6故选ACD. 13.4　 依题意D'是B'C'的中点,且A'D'∥y'轴,B'C'∥x'轴,A'D'=2,B'C'=2,由直观图画出△ABC的原图形如图所示,所以在三角形ADC中,∠ADC=,AD=2A'D'=4,BC=2,S△ABC=BC·AD=2×4=4.故答案为4. 14.(1-,2)　在直观图中,在x'轴上取点D',使得D'C'∥y'轴,如图1所示, 图1 则A'C'=2,∠C'D'A'=45°,∠D'A'C'=120°,∠D'C'A'=15°, 由正弦定理可得,所以, 因为sin 15°=sin(60°-45°)=sin 60°cos 45°-cos 60°sin 45°=, 所以D'C'=,D'A'=-1, 故将直观图还原为平面图,如图2所示,则DA=D'A'=-1,DC=2D'C'=2故C(1-,2).故答案为(1-,2). 图2 15.解 先确定三角形的直观图和原图形的面积关系,再将多边形转化为三角形得到答案. ①设在△ABC中,CD为高,边AB平行于x轴,用斜二测画法得到其直观图为△A'B'C',则有C'D'=CD, △A'B'C'的高为C'M=C'D'=CD, 所以S△A'B'C'=A'B'·C'M=ABCD=S△ABC. ②当△ABC的三边都不与x轴平行时,可过其中一个顶点作与x轴平行的直线与对边相交,不妨设过点A作与x轴平行的直线交BC于点D,则AD将△ABC分成△ABD和△ACD, 由①可知S△A'B'C'=S△A'B'D'+S△A'C'D'=S△ABD+S△ACD=S△ABC. ③对多边形A1A2…An,可连接A1A3,A1A4,…,A1An-1,得到(n-2)个三角形, 即△A1A2A3,△A1A3A4,…,△A1An-1An, 由①②知+…++…+)= 综上可知,多边形A1A2…An与其直观图多边形A1'A2'…An'的面积之间有确定的数量关系. 5 学科网（北京）股份有限公司 $