13.1.1 棱柱、棱锥和棱台-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学立体几何初步中棱柱、棱锥、棱台的结构特征及空间几何体平面展开图，从构成空间几何体的基本元素和多面体特点切入，通过实物模型观察归纳三者定义、分类、特点及性质，构建从概念到应用的学习支架。 资料以“逐点理清”为主线，通过“多维理解”助学生用数学眼光观察实物归纳特征，“微点练明”结合反例辨析培养数学思维，“典例”中蚂蚁爬行最短路径问题强化数学语言表达，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

　立体几何初步 13.1　基本立体图形 13.1.1　棱柱、棱锥和棱台[教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.了解构成空间几何体的基本元素，理解多面体的特点. 2.通过对实物模型的观察，归纳认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述生活中简单物体的结构，并进行有关计算. 逐点清(一)　棱柱的结构特征 [多维理解] 1.棱柱的定义与表示 定义 一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 图示 及相 关概 念　 如图棱柱记作：棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 特点 两个底面是全等的多边形且其对应边互相平行，侧面都是平行四边形 2.棱柱的性质 (1)侧棱都相等； (2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形； (3)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形. [微点练明] 1.下列说法正确的是 (　　) A.棱柱的侧面可以是三角形 B.四棱柱的底面一定是平行四边形 C.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面 D.棱柱的各条棱都相等 解析：选C　棱柱的侧面是平行四边形，不可能是三角形，所以A不正确；四棱柱的底面是四边形，不一定是平行四边形，所以B不正确；棱柱的侧棱与底面边长不一定相等，所以D不正确；易知C正确. 2.下列说法正确的是 (　　) A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.棱柱的侧棱总与底面垂直 D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 解析：选D　选项A、B都不正确，反例如图所示；C不正确，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不垂直.根据棱柱的定义知D正确. 3.如图所示的八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米，回答下列问题： (1)这个八棱柱一共有多少面?它们的形状分别是什么图形?哪些面的形状、面积完全相同? (2)这个八棱柱一共有多少条棱?它们的长度分别是多少? (3)沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，这个图形是什么形状?面积是多少? 解：(1)这个八棱柱一共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面；上、下底面是正八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同. (2)这个八棱柱一共有24条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其他棱长是5厘米. (3)将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，长为5×8=40(厘米)，宽为6厘米，所以面积是40×6=240(平方厘米). 逐点清(二)　棱锥、棱台的结构特征 [多维理解] 1.棱锥及其结构特征 定义 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 图示及相关概念　 如图棱锥记作：棱锥S-ABCD 底面：多边形面； 侧面：有公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、……其中三棱锥又叫四面体 特点 底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 2.棱台及其结构特征 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台 图示及相关概念 如图可记作：棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面：平行于棱锥底面的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧棱与上(下)底面的公共点 分类 按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台…… [微点练明] 1.下列说法正确的有 (　　) ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥； ②仅有两个面互相平行的五面体是棱台； ③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析：选A　由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错误.三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错误.如图，可知③错误. 2.一个多边形沿垂直于多边形所在平面的方向平移一段距离，且各边长度缩短为原来的，则形成的几何体为 (　　) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.长方体 解析：选C　由题意得，平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行，平移后的多边形与原多边形相似，且相对应的顶点的连线能相交于一点，符合棱台的结构特征，故形成的几何体为棱台，故选C. 3.用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能是 (　　) A.四边形 B.三角形 C.五边形 D.六边形 解析：选D　一般情况下，截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥只有5个面，所以截面形状不可能是六边形，故选D. 4.如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是 (　　) A.三棱锥　　　　　　 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 解析：选B　由题图知剩余的部分是四棱锥A'-BCC'B'. 5.某简单多面体共有12条棱，则该多面体可以是 (　　) A.四棱台 B.五棱锥 C.三棱柱 D.五棱台 解析：选A　依次画出四棱台、五棱锥、三棱柱、五棱台，如图所示.由图可知四棱台共有12条棱. 逐点清(三)　空间几何体的平面展开图 [典例]　(1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可). (2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，BB1=5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长. 解：(1)平面展开图如图所示， (2)沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法： ①如图(1)(右栏)，以A1B1为轴展开， AC1= ==4. ②如图(2)(右栏)，以BC为轴展开， AC1= ==3. ③如图(3)(右栏)，以BB1为轴展开， AC1= =. 相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为. |思|维|建|模| 1.多面体的展开与折叠 (1)在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图. (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 2.求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体的侧面展开，转化为求平面上两点间的最短距离问题. [针对训练] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体? 解：①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台. 学科网（北京）股份有限公司 $