12.2 第2课时 复数的乘方与除法运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦复数的乘方与除法运算核心知识点，系统梳理复数乘方运算性质、iⁿ(n∈N*)周期性规律，进而讲解复数除法法则及运算方法，最终延伸至复数范围内方程根的求解，构建从基础运算到应用的完整知识支架。 该资料采用“逐点清”结构化设计，通过“微点助解”明晰概念本质，“微点练明”结合高考真题实例强化运算能力，“思维建模”提炼方程求解方法，培养学生逻辑推理与数学表达能力。课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

第2课时　复数的乘方与除法运算 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 　　　　　　逐点清(一)　复数的乘方与in(n∈N*)的周期性 [多维理解] 1.复数乘方的运算性质 对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn=，(zm)n=zmn，(z1z2)n=. 2.in(n∈N*)的周期性 一般地，如果n∈N*，那么我们有i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i. |微|点|助|解| (1)在复数范围内正整数指数幂的运算律与实数范围内正整数指数幂的运算律是一致的. (2)由i的正整数指数幂的含义易知，对于4个连续的正整数a，b，c，d，都有ia+ib+ic+id=0. [微点练明] 1.已知i为虚数单位，若实数a使得ai+a2(i2 023+1)-1为纯虚数，则a= (　　) A.-1 B.1 C.±1 D.2 解析：选A　因为i2 023=i505×4+3=i3=-i，所以原式=ai+a2(-i+1)-1=a2-1+(a-a2)i为纯虚数.所以解得a=-1. 2.若i为虚数单位，则的值为 (　　) A.1 B.-1 C.i D.-i 解析：选B　===i6=(i2)3=-1. 3.i3(3+2i)= (　　) A.2+3i B.2-3i C.-2+3i D.-2-3i 解析：选B　i3(3+2i)=-i(3+2i)=2-3i. 4.已知a为实数，若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数，则= (　　) A.i B.-i C.1 D.-1 解析：选B　因为复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数，所以解得a=1.所以====-i. 5.已知复数z=i2 022+i2 023，则z的共轭复数= (　　) A.-1+i B.1-i C.1+i D.-1-i 解析：选A　因为z=i2 022+i2 023=(i2)1 011+(i2)1 011·i=(-1)1 011+(-1)1 011·i=-1-i，所以=-1+i. 逐点清(二)　复数的除法 [多维理解] 1.复数的除法 我们把满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+di≠0)的复数x+yi(x，y∈R)叫作复数a+bi除以c+di所得的商，记作或(a+bi)÷(c+di). 2.复数的除法法则 一般地，我们有==+i. |微|点|助|解| (1)复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，所以一般不能直接约分化简. (2)复数除法的一般做法：通常先把(a+bi)÷(c+di)写成的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即(a+bi)÷(c+di)= +i. (3)常用公式 ①=-i;②=i;③=-i;④=(≠0). [微点练明] 1.= (　　) A.1+2i　　 B.1-2i　　 C.2+i　　 D.2-i 解析：选D　===2-i. 2.(2025·全国Ⅱ卷)已知z=1+i，则= (　　) A.-i B.i C.-1 D.1 解析：选A　===-i. 3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=，则z-= (　　) A.-i B.i C.0 D.1 解析：选A　因为z===-，所以=，所以z-=--=-i，故选A. 4.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a，b∈R)为“理想复数”，则 (　　) A.a-5b=0 B.3a-5b=0 C.a+5b=0 D.3a+5b=0 解析：选D　z=+bi=+bi=+i.由题意知，=--b，则3a+5b=0. 5.已知i是虚数单位，则复数(1-i)2--4i2 019=　　　　.  解析：原式=-2i-+4i =-2i-+4i=-2i-2i+4i=0. 答案：0 逐点清(三)　复数范围内方程根的问题 [典例]　在复数范围内解方程x2+4x+6=0. 解：法一　因为x2+4x+6=0， 所以(x+2)2=-2， 因为(i)2=(-i)2=-2， 所以x+2=i或x+2=-i， 即x=-2+i或x=-2-i， 所以方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i. 法二　由x2+4x+6=0知Δ=42-4×6=-8<0， 所以方程x2+4x+6=0无实数根. 在复数范围内，设方程x2+4x+6=0的根为x=a+bi(a，b∈R且b≠0)， 则(a+bi)2+4(a+bi)+6=0， 所以a2+2abi-b2+4a+4bi+6=0， 整理得(a2-b2+4a+6)+(2ab+4b)i=0， 所以 又因为b≠0， 所以 解得a=-2，b=±. 所以x=-2±i， 即方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i. |思|维|建|模| 　　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法： (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x=. ②当Δ<0时，x=. (2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解. [针对训练] 1.在复数范围内方程2x2+3x+4=0的解为　　　　.  解析：因为Δ=32-4×2×4=-23<0， 所以方程2x2+3x+4=0的根为 x==. 答案： 2.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值; (2)试判断1-i是否是方程的根. 解：(1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根， ∴(1+i)2+b(1+i)+c=0，即(b+c)+(2+b)i=0.∴解得 (2)由(1)知方程为x2-2x+2=0，把1-i代入方程左边，得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0，显然方程成立，∴1-i也是方程的一个根. 学科网（北京）股份有限公司 $