11.1 第1课时 余弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

　解三角形 　　　　　　　　　　11.1　余弦定理 第1课时　余弦定理[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程. 2.掌握余弦定理及其变形，并能利用余弦定理解决相关问题. 1.余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 文字 语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号 语言 a2=b2+c2-2bccos A，b2=c2+a2-2cacos B，c2=a2+b2-2abcos C 推论 cos A=，cos B=， cos C= 2.解三角形的定义 我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形. |微|点|助|解| 1.余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量. 2.余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.在△ABC中，c2=a2+b2⇔C为直角;c2>a2+b2⇔C为钝角;c2<a2+b2⇔C为锐角. 3.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形. (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形. 基础落实训练 1.在△ABC中，已知a=9，b=2，C=150°，则c等于 (　　) A. B.8 C.10 D.7 解析：选D　由余弦定理得 c= ==7. 2.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A= (　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 解析：选A　法一　∵BC<AC，BC<AB，三边相等时，A=，∴A<，结合选项可知A正确. 法二　∵cos A= ===， 且A∈(0，π)，∴A=. 3. 在△ABC中，若a2-c2+b2=ab，则cos C=　　　.  解析：∵a2-c2+b2=ab，∴c2=a2+b2-ab.又∵c2=a2+b2-2abcos C，∴2cos C=1.∴cos C=. 答案： 题型(一)　已知两边和一角解三角形 [例1]　(1)在△ABC中，已知b=3，c=2，A=30°，求a的值; (2)在△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，解这个三角形. 解：(1)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2×cos 30°=3.所以a=. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°， 即a2-9a+18=0，解得a=3或a=6. 当a=3时，A=B=30°，C=120°; 当a=6时，由余弦定理得cos A==0， 又0°<A<180°，所以A=90°，C=60°.综上，当a=3时，A=30°，C=120°;当a=6时，A=90°，C=60°. |思|维|建|模|　已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. [针对训练] 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，b=，B=60°，则c= (　　) A.1 B. C.3 D.1或3 解析：选C　由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，得7=4+c2-2c，即(c-3)(c+1)=0，解得c=3.故选C. 2.△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若cos B=，c=5，a=3，则b= (　　) A. B. C. D. 解析：选D　由cos B=，c=5，a=3以及余弦定理得b===，故选D. 题型(二)　已知三边(或三边关系)解三角形 [例2]　在△ABC中，已知a=2，b=6+2，c=4，求A，B，C的大小. 解：根据余弦定理的推论， 得cos A= ==. ∵A∈(0，π)，∴A=. cos C===. ∵C∈(0，π)，∴C=.∴B=π-A-C=π--=，∴A=，B=，C=. |思|维|建|模| 已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. [针对训练] 3.若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，b=，且c2+ab-a2=3，则角C的大小为 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　∵c2+ab-a2=3且b=， ∴c2+ab-a2=b2，即ab=a2+b2-c2. 根据余弦定理可得cos C==， 又∵0<C<π，∴C=. 4.在△ABC中，已知a=4，b=5，c=7. (1)求cos A的值; (2)若点D在边BC上，且BD=3CD，求AD的长. 解：(1)cos A==. (2)如图所示， cos B==. 因为BD=3CD，a=4， 所以BD=3.所以AD2=72+(3)2-2×7×3×=25，即AD=5. 题型(三)　判断三角形的形状 [例3]　在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C， 试判断△ABC的形状. 解：将已知等式变形为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B) =2bccos Bcos C.由余弦定理并整理，得 b2+c2-b2-c2 =2bc××， ∴b2+c2= ==a2.∴A=90°.∴△ABC是直角三角形. |思|维|建|模| 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. [针对训练] 5.在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sin A=2sin Bcos C，试确定△ABC的形状. 解：∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc， ∴a2=b2+c2-bc.而a2=b2+c2-2bccos A， ∴2cos A=1.∴cos A=.∴A=60°. 又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C， sin A=2sin B·cos C， ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0， 即sin(B-C)=0，∴B=C. 又∵B+C=120°，∴A=B=C=60°.故△ABC为等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $