11.2 第2课时 正弦定理的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

第2课时　正弦定理的应用[教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标]　进一步理解正弦定理，及掌握三角形面积公式的应用，能灵活利用正、余弦定理解决一些综合问题. 题型(一)　正弦定理的实际应用 [例1]　如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 解：在△BCD中，∠BCD=α，∠BDC=β， ∴∠CBD=180°-(α+β). ∴=， 即=.∴BC=·s. 在△ABC中，由于∠ABC=90°，∴=tan θ. ∴AB=BC·tan θ=·s. |思|维|建|模| 解决正弦定理的实际应用问题的关键是根据题意将已知量置于可解的三角形中，通过正弦定理与其他知识解三角形后，根据实际问题得出结论. [针对训练] 1.如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从点D测得∠ADC=67.5°，从点C测得∠ACD=45°，∠BCE=75°，从E点测得∠BEC=60°.若测得DC=2，CE=，则A，B两点间的距离为　　　　.  解析：根据题意，在△ADC中，∠ACD=45°，∠ADC=67.5°，DC=2，则∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°，则AC=DC=2.在△BCE中，∠BCE=75°，∠BEC=60°，CE=，则∠EBC=180°-75°-60°=45°，由正弦定理得=，可得BC===.在△ABC中，AC=2，BC=，∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=12+3-2×2××=9，故AB=3. 答案：3 题型(二)　三角形面积问题 三角形的面积公式 (1)S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半. (2)S△ABC=ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长. (3)S△ABC=r(a+b+c)=rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. [例2]　如图，在△ABC中，BC=5，AC=4，cos∠CAD=，且AD=BD，求△ABC的面积. 解：设CD=x，则AD=BD=5-x，在△CAD中， 由余弦定理可知cos∠CAD===， 解得x=1，则AD=4，CD=1. 在△CAD中，由正弦定理可知=， ∴sin C=·=4=.∴S△ABC=AC·BC·sin C=×4×5×=.∴△ABC的面积为. |思|维|建|模| (1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值. (2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式. [针对训练] 2.已知△ABC的面积为，且b=2，c=，则A的大小为 (　　) A.60°或120° B.60° C.120° D.30°或150° 解析：选A　由S△ABC=bcsin A得=×2××sin A，所以sin A=.故A=60°或A=120°.故选A. 3.在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，A=30°，c=，则△ABC的面积为　　　　.  解析：在钝角△ABC中，由a=1，A=30°，c=，利用正弦定理可得C=120°(60°舍)，得到B=30°，利用面积公式得S△ABC=×1××=. 答案： 题型(三)　正弦定理的综合应用 [例3]　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a-bcos C)=csin B. (1)求角B的大小; (2)若a=3，c=2，D为BC边上一点，CD=DB，求cos2∠BDA的值. 解：(1)因为(a-bcos C)=csin B， 所以a-bcos C=csin B. 由正弦定理得sin A-sin Bcos C=sin Csin B， 即sin(B+C)=sin Bcos C+sin Csin B， 化简得cos Bsin C=sin Csin B. 又因为sin B≠0，sin C≠0，所以cos B=sin B， 即tan B=.因为B∈(0，π)，所以B=. (2)因为a=3，CD=DB，所以CD=，DB=. 在△ABD中，由余弦定理得AD2=22+-2×2××=，所以AD=. 由正弦定理得=， 所以sin∠BDA=. 所以cos2∠BDA=1-sin2∠BDA=. |思|维|建|模| 　　正、余弦定理主要应用就是实现边角互化，要注意边化为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换化简，注意式子结构的灵活变换. [针对训练] 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证： (1)=; (2)++=0. 证明：(1)= =·cos B-·cos A =·-· =-=. (2)由正弦定理得 a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C， 所以== =4R2(cos B-cos A). 同理=4R2(cos C-cos B)， =4R2(cos A-cos C). 从而++ =4R2(cos B-cos A+cos C-cos B+cos A-cos C)=0. 学科网（北京）股份有限公司 $